北师大版七年级下册第一章 整式的乘除5 平方差公式优秀一课一练

这是一份北师大版七年级下册第一章 整式的乘除5 平方差公式优秀一课一练，共13页。
A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2
C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
2．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
3．（2021·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
7．（2020·湖南郴州·统考中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
9．（2020·河北·统考中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．（2012下·江苏·七年级统考期中）为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ）
A．增加6ｍ2 B．增加9ｍ2 C．减少9ｍ2 D．保持不变
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·山西太原·七年级校考阶段练习）计算：（a+1）（a﹣1）= ．
12．（2022·四川广安·统考中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为 ．
13．（2022·湖南益阳·统考中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
14．（2021·四川德阳·统考中考真题）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ．
15．（2021上·河南信阳·八年级统考期末）计算： ．
16．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则 ．
17．（2019·浙江衢州·统考中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为 .
18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：．
20．（8分）（2023·浙江金华·统考中考真题）已知，求的值．
21．（10分）（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
22．（10分）（2022·浙江丽水·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
23．（10分）（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
（1）用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
（2）若，，求比多出的使用面积．
24．（12分）（2018·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．
参考答案：
1．C
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；
C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；
D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．
2．A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
解：∵
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式的计算法则进行求解即可．
解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．C
【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据同底数幂的乘法判断B，根据幂的乘方判断C，根据平方差公式判断D．
解：A. 不是同类二次根式，不能合并，选项说法错误，不符合题意；
B. ，选项说法错误，不符合题意；
C. ，选项说法正确，符合题意；
D. ，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了合并同类二次根式、同底数幂的乘法、幂的乘方、平方差公式，关键注意平方差公式．
5．C
【分析】逐一分析各选项，利用对应法则进行计算即可判断出正确选项．
解：A选项中：，因此错误；
B选项中：，因此错误;
C选项中：，因此正确；
D选项中：，因此错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容，解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．
6．C
【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．
解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为
所以面积变小了，
故选C．
【点拨】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
7．B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-1），
所以x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
8．D
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
解：设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．
9．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式变形得：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
10．C
解：设正方形草坪的原边长为a，则面积=a2；
将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a﹣3，
面积为a2﹣9．故减少9m2．故选C．
11．a2﹣1
【分析】符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可．
解：（a+1）（a﹣1）=a2﹣1，
故答案为：a2﹣1.
【点拨】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题.
12．10
【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解．
解：a2﹣b2 +2b+9


故答案为：10
【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
13．3
【分析】观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．
解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
14．6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点拨】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
15．4041
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
解：
=
=
=4041
故答案为：4041．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．
16．15
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
解：∵，，
∴
故答案为15
【点拨】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
17．3
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案．
解：∵，，
∴.
故答案为3
【点拨】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答．
18．
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，
，时，智慧数为，
，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为
故答案为：，．
【点拨】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
19．
【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．
解：
．
【点拨】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．
【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解：
．
当时，原式．
【点拨】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．，6
【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答．
解：，
，
；
当时，原式．
【点拨】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键．
22．；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
解：
当时，
原式．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
23．（1）；（2）50
【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；
（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．
（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
，，
，
答：比多出的使用面积为50．
【点拨】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．
24．（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．
【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．
（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.
解：（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[（m-n）+（m+n）]=4m；
（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当m=7，n=4时，S=72-42=33．
【点拨】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．