物理必修 第三册第一章 静电场的描述第五节 电势差及其与电场强度的关系学案及答案

这是一份物理必修 第三册第一章 静电场的描述第五节 电势差及其与电场强度的关系学案及答案，共18页。
1．定义：电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫电压，用符号U表示。
2．公式：设电场中点A的电势为 φA，点B的电势为 φB，则A、B两点之间的电势差为：UAB＝φA－φB。B、A两点之间的电势差为：UBA＝φB－φA。
3．电势差的正负：电势差是标量，但有正负。电势差的正负表示两点电势的高低。
4．电势差的单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V。
5．电场力做功与电势差的关系
(1)公式：WAB＝qUAB，UAB＝WABq。
(2)物理意义：电场中A、B两点间的电势差UAB，等于把单位电荷从A点移到B点时电场力所做的功。
(3)适用范围：任意电场。
电势差UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，所以有UAB＝－UBA。
知识点二 电势差与电场强度的关系
1．关系：在匀强电场中任意两点之间的电势差等于场强与这两点沿电场方向的距离的乘积。
2．关系式：U＝Ed。
3．适用条件：匀强电场，d是沿电场方向两点间的距离。
4．从电势差的角度理解电场强度
(1)表达式：E＝Ud。
(2)物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向的距离的比值。也就是说，在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向距离为每单位长度的两点间的电势差。
由E＝Ud得电场强度的单位是伏每米(V/m)，这个单位与前面学过的单位牛每库(N/C)是相同的，即 1 V/m＝1 N/C。
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)电势差的正、负代表了电势差的大小。(×)
(2)把正电荷从A点移到B点，电场力做正功，则有UAB＞0。(√)
(3)由E＝Ud可知，E与U成正比，与d成反比。(×)
2．填空某一电场的电场线和等势面如图所示，已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，则b点电势为φb＝4_V。
如图所示，B、C、D三点处在同一等势面上，沿A→B、A→C、A→D电势是升高还是降低？哪个方向电势降低最快？
[提示] 沿A→B、A→C、A→D三个方向电势都降低，且电势下降的值相等。但AC沿电场线方向，距离最短，单位长度上电势下降最大，即电势降低最快。
电势差与静电力做功的关系
1．电势差的“两性”
(1)标量性：电势差是标量，但有正、负之分，其正负表示两点电势的高低，可表示为UAB＝－UBA，电势差的大小叫电压，U＝|UAB|＝|UBA|。
(2)绝对性：电场中两点间的电势差只与两点的位置有关，与电势零点的选取无关，只要两点的位置是确定的，两点间的电势差就是确定值。
2．对公式WAB＝qUAB或UAB＝WABq的理解
(1)UAB＝WABq可以看成电势差的定义式，是按比值法定义的物理量。电势差UAB由电场本身决定，与q、WAB无关。
(2)在一般的计算中，各物理量都要带符号，即WAB、UAB、q均可正可负，其中WAB取正号表示从A点移动到B点时静电力做正功，WAB取负号表示从A点移动到B点时静电力做负功，做负功时也可以说成电荷克服电场力做功。
(3)注意：用公式WAB＝qUAB或UAB＝WABq计算时W与U的角标要对应。
【典例1】 把带电荷量2×10-8 C的正点电荷从无限远处移到电场中的A点，要克服静电力做功8×10-6 J，若把该电荷从无限远处移到电场中的B点，需克服静电力做功2×10-6 J，取无限远处电势为零。求：
(1)A点的电势；
(2)A、B两点的电势差；
(3)若把2×10-5 C的负电荷由A点移动到B点，静电力做的功。
思路点拨：(1)一般选大地或无限远处为零电势点。
(2)克服电场力做功就是做负功。
[解析] (1)无限远处电势能为零，克服静电力做功，电势能增加，所以EpA＝8×10-6 J，φA＝EpAq＝8×10-6J2×10-8C＝400 V。
(2)同理φB＝2×10-62×10-8 V＝100 V
故UAB＝φA－φB＝300 V。
(3)若把2×10-5 C的负电荷由A点移动到B点，则
WAB＝q′UAB＝－2×10-5×300 J＝－6×10-3 J。
[答案] (1)400 V (2)300 V (3)－6×10-3 J
求解静电力做功的常用方法
(1)功的定义法：W＝qEd，仅适用于匀强电场，公式中d表示始末位置沿电场线方向的距离。
(2)电势差法：WAB＝qUAB，既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，计算时要注意带正负号运算。
(3)电势能变化法：WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB，适用于任何电场。
(4)动能定理法：W静电力＋W其他力＝ΔEk，适用于任何电场。
[跟进训练]
1．(多选)下面关于电势、电势差和电势能的关系的说法中，正确的是( )
A．电荷在某点的电势能越大，该点的电势越高
B．在电场中的两点之间移动电荷，电场力做功越多，这两点的电势差越大
C．由于电势零点的选取是任意的，所以电场中两点间的电势差也是不确定的
D．电场中A点电势比B点电势高1 V，则电荷量为10-2 C的正电荷从A移到B电势能减少了10-2 J
BD [根据电势能的公式EpA＝qφA可知，电场中电势越高的地方，正电荷在该点具有的电势能越大，负电荷在该点具有的电势能越小，故A错误；根据公式UAB＝WABq，在电场中的两点之间移动电荷，电场力做功越多，这两点的电势差越大，故B正确；电势差与电势零点的选取无关，电势零点的选取是任意的，但是电场中两点间的电势差是确定的，故C错误；电场中A点电势比B点电势高1 V，则电荷量为10-2 C的正电荷从A移到B，电场力做功10-2 J，电势能减少了10-2 J，故D正确。]
匀强电场中电势差与电场强度的
关系
1．电势差与电场强度的区别与联系
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)在匀强电场中，不与电场线垂直的同一直线上距离相同的两点间的电势差相等，相互平行的等长线段的两端点电势差也相等。
(2)在匀强电场中，不与电场线垂直的同一条直线上或几条相互平行的直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比。如图所示，AC∥PR，则UABxAB＝UBCxBC＝UPQxPQ＝UQRxQR。
【典例2】 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A．200 V/m B．200 3 V/m
C．100 V/m D．100 3 V/m
思路点拨：在x轴上找出B点的等势点→作出过B点的等势线 →由E=Ud求出电场强度的大小
A [x轴上OA的中点C的电势为3 V，则BC的连线为等势线，如图所示，电场的方向与等势线垂直，且由电势高处指向电势低处。根据几何图形，O点到BC的距离为d＝1.5 cm，所以E＝Ud＝30.015 V/m＝200 V/m，故A正确。
]
“等分法”计算匀强电场中的电势
(1)“等分法”：在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势降落都是均匀的，把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的 1n。
(2)已知电场中几点的电势，求某点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点。
[跟进训练]
2．如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大，以至于分子破碎，于是空气中出现了可以自由移动的电荷，那么空气变成了导体。这种现象叫作空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网的电压为27.5 kV，阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时，空气就有可能被击穿。
探究：乘客阴雨天打伞站在站台上时，伞尖与高压电接触网的安全距离至少为多少？
[解析] 根据U＝Ed可得，安全距离至少为dmin＝UE＝27.5×1032.5×104m＝1.1 m。
[答案] 1.1 m
1．如图所示，A、B是电场线上的两点，将一点电荷q从A点移动到B点，静电力做功W，且知A、B间的距离为d，下列说法正确的是( )
A．由公式W＝qU可得，A、B两点间的电势差为Wq
B．由公式W＝qEd可得，A点的电场强度为E＝Wqd
C．由公式W＝qEd可得，B点的电场强度为E＝Wqd
D．A点的电势为 Wq
A [由W＝qU知UAB＝Wq，故A正确；由于不知该电场是不是匀强电场，静电力可能不为恒力，故B、C错误；题中没有指明电势零点，A点的电势无法确定，故D错误。]
2．如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
A．UOP＝－10sin θ(V)
B．UOP＝10sin θ(V)
C．UOP＝－10cs θ(V)
D．UOP＝10cs θ(V)
A [由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的。沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值。根据电势差与场强的关系UOP＝－Ed＝－E·R sin θ＝－10sin θ(V)，故A正确。]
3．如图所示，三角形ABC所在平面与匀强电场方向平行，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm。把一个电荷量q＝1×10-5 C的正电荷从A点移到B点，静电力做的功为零；从B点移到C点，静电力做的功为－1.73×10-3 J，则该匀强电场的电场强度大小和方向是( )
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．1 000 V/m，垂直AB斜向上
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
D [把电荷q从A点移到B点，静电力做的功为零，说明A、B两点在同一等势面上，由于该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB是一条等势线，电场强度方向应垂直于等势线AB，故A、B错误；UBC＝WBCq＝-1.73×10-31×10-5 V＝－173 V，B点电势比C点电势低173 V，因沿电场强度方向电势降低，所以电场强度方向垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝UCBBCsin60°＝1730.2× 32 V/m≈1 000 V/m，故C错误，D正确。]
4．(新情境题，以“带电粒子在匀强电场中运动”为背景，考查W＝qU与E＝Ud)如图所示，在匀强电场中，将一电荷量大小为2×10-5 C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.1 J，已知A、B两点间距离为2 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：
(1)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)该匀强电场的电场强度E的大小。
[解析] (1)根据电场力做功与电势能的关系WAB＝EpA-EpB＝－ΔEp得，
WAB＝－ΔEp＝－0.1 J，即电场力做了－0.1 J的功。
(2)由W＝qU可得A、B两点间的电势差
UAB＝WABq＝5×103 V。
(3)由E＝Ud得E＝UABLABcs60°＝5×105 V/m。
[答案] (1)－0.1 J (2)5×103 V (3)5×105 V/m
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是电势差？其表达式是什么？是标量还是矢量？
[提示] 电场中电势的差值叫电势差，用UAB＝φA-φB表示，是标量。
2．写出静电力做功与电势差的关系式。
[提示] WAB＝qUAB适用于任何电场。
3．试写出匀强电场中电场强度与电势差的关系。
[提示] E＝Ud，d是沿电场线方向两点间的距离。
课时分层作业(五) 电势差及其与电场强度的关系
题组一 电势差及其与静电力做功的关系
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．沿电场线的方向，电势逐渐降低
B．A、B两点间的电势差与电势零点的选取有关
C．电势差是一个标量，但有正值和负值之分
D．电场中某点的电势和放入该点的试探电荷的电性、电荷量无关
ACD [沿电场线的方向，电势逐渐降低，故A正确；某点的电势和电势零点的选取有关，但两点间的电势差和电势零点的选取无关，故B错误；电势差是标量，可正、可负，故C正确；电场中某点的电势和试探电荷无关，由电场本身的性质决定，故D正确。]
2．(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，说法正确的是( )
A．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
B．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB-φA
C．UAB和UBA是不同的，它们的关系：UAB＝－UBA
D．电势零点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地或无穷远处为电势零点
CD [电势、电势差都是标量，A错误；UAB表示A点与B点之间的电势差为UAB＝φA－φB＝－UBA，B错误，C正确；由题意可知，D正确。]
3．如图所示，三个等势面上有a、b、c、d四点，若将一正电荷由c经a移到d点，电场力做正功W1；若由c经b移到d点，电场力做正功W2。则W1与W2，c、d两点电势φc、φd关系为( )
A．W1＞W2，φc＞φd B．W1＜W2，φc＜φd
C．W1＝W2，φc＜φd D．W1＝W2，φc＞φd
D [由电场力做功与路径无关可知，W1＝W2，故A、B错误；因为Wcd＝qUcd，又Wcd＞0，q＞0，所以Ucd＞0，Ucd＝φc－φd＞0，所以φc＞φd，故D正确，C错误。]
4．一个带负电的质点，带电荷量为2.0×10-9 C，在静电场中由a点移动到b点。在这个过程中，除电场力外，其他外力做的功为6.0×10-5 J，质点的动能减少了 8.0×10-5 J，则a、b两点间的电势差Uab为( )
A．1×104 V B．－1×104 V
C．7×104 V D．－7×104 V
C [设电场力做功为W，由动能定理知W＋6.0×10-5 J＝－8.0×10-5 J，可求得W＝－1.4×10-4 J，因此a、b两点间的电势差为Uab＝Wq＝7×104 V，故C正确。]
题组二 电场强度与电势差的关系
5．如图所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，由此可知c点的电势为( )
A．4 V B．8 V
C．12 V D．24 V
B [Uad＝φa－φd＝20 V－4 V＝16 V，在匀强电场中，相互平行的等长线段两端点电势差相等，故Ubc＝Uad，又Ubc＝φb－φc，所以φc＝φb－Uad＝24 V－16 V＝8 V，B正确。]
6．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V、φC＝15 V，由此可以判断( )
A．电场强度的方向由C指向B
B．电场强度的方向垂直AD连线斜向上
C．电场强度的大小为10 V/m
D．电场强度的大小为 203 3 V/m
D [匀强电场中，φB＝－5 V，φC＝15 V，则B、C连线的中点D的电势为φD＝φB+φC2＝-5+152 V＝5 V，故φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直且沿着电场线方向电势降低可知，电场强度的方向垂直于AD连线斜向下，故A、B错误；电场强度的大小E＝UABlABcs30°＝10 32 V/m＝203 3 V/m，故C错误，D正确。]
7．如图所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定电场强度的方向及大小为( )
A．竖直向下，E＝0.4 V/m
B．水平向右，E＝0.4 V/m
C．水平向左，E＝40 V/m
D．水平向右，E＝40 V/m
D [电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝Ud＝100.25V/m＝40 V/m，故D正确。]
8．(多选)在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、D、E的电势分别为－2 V、0 V、6 V、4 V。则下列说法正确的是( )
A．C点的电势φC＝2 V
B．A、F间的电势差UAF＝2 V
C．C、F间的电势差UCF＝4 V
D．该匀强电场的电场强度大小E＝200 V/m
CD [连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点为M、N；设六边形的中心点为O，如图所示，由图可知，AD与BF、CE都垂直，由六边形的特点可知，AM＝MO＝ON＝ND，所以可知M、O、N的电势分别是0 V、2 V、4 V，因为φN＝φE＝4 V，故CE为等势线，C点的电势一定与N点相等，为4 V，故A错误；由正六边形的对称性可知，F点的电势与B点的电势相等，也是0 V，UAF＝φA－φF＝－2－0＝－2 V，故B错误；点C、F之间的电势差UCF＝φC－φF＝(4－0) V＝4 V，故C正确；由几何关系可知，AD＝2L＝2×2 cm＝4 cm＝0.04 m，所以电场强度的大小E＝UDAAD ＝6--20.04V/m＝200 V/m，故D正确。]
9．天空中有两块乌云，它们之间的竖直距离为1.0×103 m，水平相距5.0×103 m。受气流影响，两块乌云均以10 m/s的速率沿水平方向互相靠近。
当一块乌云位于另一块乌云正下方时，云间电场强度达到1.0×106 V/m。若此时两块云间的电场可视为匀强电场，这时空气恰被击穿而变成导体，两块乌云通过空气放电，形成闪电。
探究：(1)两块乌云即将放电时云间的电势差为多大？
(2)地面观察者看到闪电后8.0 s才听到雷声，则闪电发生点离观察者多远？(声音在空气中的传播速度约为3.4×102 m/s)
[解析] (1)当一块乌云位于另一块乌云正下方时，两块乌云间的距离为d＝1.0×103 m。两块乌云间的电势差为U＝Ed＝1.0×106×1.0×103 V＝1.0×109 V。
(2)光传播到地面所需的时间可以忽略不计，声音在空气中以3.4×102 m/s的速度传播，所以闪电发生点离观察者的距离为s＝vt＝3.4×102×8.0 m＝2.72×103 m。
[答案] (1)1.0×109 V (2)2.72×103 m
10．(多选)(2021·江苏南京、盐城二模)真空中两个点电荷Q1、Q2分别固定于x轴上x1＝0和x2＝4a的两点，在它们的连线上场强E与x关系如图所示(取x轴正方向为场强正方向，无穷远处电势为零)，以下判断正确的是( )
A．Q1带正电、Q2带负电
B．Q1的电荷量是Q2的9倍
C．x轴上3a处的电势为零
D．正点电荷q在x轴上a处的电势能比在2a处的大
BD [由题图可知，两点电荷连线间某点场强为零，可知两点电荷电性相同，再由场强的正负可知两点电荷均带正电，A错误；x轴上3a处的合场强为零，根据点电荷场强公式E＝k Qr2可得，Q1的电荷量是Q2的9倍，B正确；x轴上3a处的场强为零，但是Q1、Q2均带正电，所以电势大于零，C错误；在x轴上场强从a处指向2a处，沿场强方向电势越来越低，由Ep＝qφ可知正点电荷q在x轴上a处的电势能比在2a处的大，D正确。]
11．(多选)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A．Ea∶Eb＝4∶1
B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1
D．Wbc∶Wcd＝1∶3
AC [由题图知，a、b、c、d四个点距点电荷的距离依次增大，且rb＝2ra，由E＝kQr2知，Ea∶Eb＝4∶1，故A正确；rd＝2rc，由E＝kQr2知，Ec∶Ed＝4∶1，故B错误；在移动电荷的过程中，电场力做的功与电势能的变化量大小相等，则Wab∶Wbc＝q(φa－φb)∶q(φb－φc)＝3∶1，故C正确；Wbc∶Wcd＝q(φb－φc)∶q(φc－φd)＝1∶1，故D错误。]
12．如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10-6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10-5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角。
(1)求A、B两点间的电势差UAB；
(2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB；
(3)求电场强度E的大小，并判断其方向。
[解析] (1)由题意知，静电力做负功为
WAB＝－3×10-5 J
由UAB＝WABq
得UAB＝30 V。
(2)UAB＝φA－φB
故φB＝φA－UAB＝(－1－30) V＝－31 V。
(3)A、B两点间沿电场线方向的距离为
d＝2×10-2cs 60° m＝0.01 m
从而得E＝UABd＝300.01 V/m＝3 000 V/m
方向沿电场线指向左下方。
[答案] (1)30 V (2)－31 V (3)3 000 V/m 沿电场线指向左下方
13．如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑。已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为 3gh，不计其他阻力。求：
(1)小球由A到B的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点的电势差。
[解析] (1)因为杆是光滑的，所以小球从A点到B点的过程中只有两个力做功：电场力做功WAB和重力做功mgh，由动能定理得
WAB＋mgh＝12mvB2
代入已知条件vB＝3gh
电场力做的功为WAB＝12m·3gh－mgh＝mgh2。
(2)B、C两点在同一条等势线上，可知φB＝φC
因此UAC＝UAB＝WAB-q＝－mgh2q
即A、C两点的电势差为－mgh2q。
[答案] (1) mgh2 (2)－mgh2q
学习任务
1．知道电势差的概念，知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。
2．会用公式UAB＝φA－φB及UAB＝WABq进行有关计算，能推导E＝UABd及1 V/m＝1 N/C，理解电势差与电场强度的物理意义。
3．通过区分三个公式：E＝Fq，E＝kQr2和E＝UABd，学会科学分析问题的方法，培养进行科学普及的兴趣与责任。
物理量
电势差U
电场强度E
定义式
UAB＝WABq
E＝Fq
大小
数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，静电力所做的功
数值上等于单位电荷受到的静电力
方向
标量、无方向
矢量，规定与正电荷在该点所受电场力的方向相同
联系
(1)场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向
(2)场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即E＝Ud或U＝Ed(匀强电场)