微重点04 平面向量数量积的最值与范围问题（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：求参数的最值(范围)
规律方法 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))，点E为线段CD上异于C，D的动点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ2＋μ2的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9)))
【解析】由题意设eq \(CE,\s\up6(→))＝meq \(CD,\s\up6(→))，m∈(0,1)，
因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(m,3)))eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(m,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(m,3)，,μ＝1＋\f(m,3)，))
所以λ2＋μ2＝1＋eq \f(2,3)m＋eq \f(2,9)m2
＝eq \f(2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,2)))2＋eq \f(1,2)，
又因为m∈(0,1)，由二次函数的性质得
y＝eq \f(2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,2)))2＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9)))，
所以λ2＋μ2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9))).
【变式1】设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
【答案】 A
【解析】∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cs θ＝2cs θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cs θ≥0恒成立，
∵cs θ∈[－1,1]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13－λ2＋8－4λ≥0，,13－λ2－8＋4λ≥0，))解得－1≤λ≤3.
【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由三点共线可得，再由基本不等式，即可得到结果.
【详解】
因为，则，
由三点共线可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则函数的最小值为 .
【答案】3
【分析】根据向量的线性关系及已知求得，代入已知函数并利用基本不等式求函数最小值，注意取值条件.
【详解】∵，∴，∴，
则，由于，则，
故，
当且仅当即时取等号，
∴函数的最小值为3.
故答案为：3
【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为( )
A.eq \f(2,3)＋eq \r(2) B.eq \f(2＋2\r(2),3)
C.eq \f(4,3) D．1
【答案】C
【解析】如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，则A，G，D三点共线，且eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2λ)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2μ)eq \(AF,\s\up6(→))，所以eq \f(3,2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2λ)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2μ)eq \(AF,\s\up6(→))，即eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3λ)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3μ)eq \(AF,\s\up6(→))，
又E，G，F三点共线，所以eq \f(1,3λ)＋eq \f(1,3μ)＝1，
故λ＋μ＝(λ＋μ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3λ)＋\f(1,3μ)))
＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ,λ)＋\f(λ,μ)))
≥eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×2eq \r(\f(μ,λ)·\f(λ,μ))＝eq \f(4,3)，
当且仅当λ＝μ＝eq \f(2,3)时，等号成立．
考点二：求向量模、夹角的最值(范围)
易错提醒 找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b－eq \f(5,3)且λ≠0，
所以λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0))∪(0，＋∞)．
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】因向量与共线，令，
则，而向量，为单位向量，且，
于是得
，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
考点三：求向量数量积的最值(范围)
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
【例3】 (1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且AB＝1，O为坐标原点，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2－\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1＋\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2－\r(2),4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(2),2)，1))
【答案】 B
【解析】由题意可得△OAB为直角三角形，
且AB＝1，设eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为α，
则A(cs α，0)，B(0，sin α)，
其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得C(cs α＋sin α，cs α)，
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝cs α(cs α＋sin α)
＝eq \f(1,2)cs 2α＋eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)，
又2α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，
则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1＋\r(2),2))).
(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq \r(2)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋\r(2),2) B.eq \f(1＋2\r(2),2) C．1＋eq \r(2) D．2＋eq \r(2)
【答案】A
【解析】连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
因为|PO|＝eq \r(2)，
所以由勾股定理可得|PA|＝1，
则∠POA＝eq \f(π,4).
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，
则－eq \f(π,4)