北京市第一七一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为 ( )．
A. 4B. 16
C. 8D. 2
2. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）．
A.
B
C.
D.
3. 3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 72
4. 下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A. y＝sin2xB. y＝x3－xC. y＝xexD. y＝－x＋ln(1＋x)
5. 设函数的导函数为，且，则.
A 0B. -4C. -2D. 2
6. 若函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. [1，＋∞)B. [，2)C. [1,2)D. [1，)
7. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A. [0，1)B. (0，1)
C. (－1，1)D.
8. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，下列命题正确的是（ ）
①是奇函数；
②在R上是增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2.
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上）
11. 甲、乙等 5 个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是________．（用数字作答）
12. 函数有极值的充要条件是_____
13. 已知函数在时有极值为0，则______.
14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________
15. 已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.
三、解答题（本大题共6个小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 已知函数在区间上有极大值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间[0，3]的最值．
17. 如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
18. 已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
19. 已知椭圆经过点 ，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线的斜率为时，求的面积；
（3）在椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
20. 已知函数.
(Ⅰ)若曲线在处的切线斜率为0，求a的值；
(Ⅱ）若恒成立，求a取值范围；
(Ⅲ）求证：当时，曲线 (x>0)总在曲线的上方．
21. 已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列.
（Ⅰ）写出数列的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列.若数列的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p的最大值；
（Ⅲ）设数列为等比数列，公比为q，项数为.判定数列是否存在长度为3递增子列：？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.