高中数学一轮复习考点规范练：第八章　立体几何 单元质检八B Word版含解析

这是一份高中数学一轮复习考点规范练：第八章　立体几何 单元质检八B Word版含解析，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为( )
2.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC的中点,则等于( )
A.3 B.2
C.1D.0
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
4.
如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为( )

A.B.
C.D.〚导学号37270590〛
5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1〚导学号37270591〛
6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )
A.B.
C.D.〚导学号37270592〛
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.在菱形ABCD中,AB=2,∠BCD=60°,现将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图),则异面直线AB与CD所成的角的余弦值为 .
8.已知球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为 .〚导学号37270593〛
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.
(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
10.(15分)
(2016北京,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)求证:PD⊥平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
〚导学号37270594〛
11.(15分)
如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(1)求证:GF∥平面ADE;
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
〚导学号37270595〛
参考答案
单元质检八 立体几何(B)
1.B 解析 由正视图和俯视图还原几何体如图所示,由正视图和俯视图对应线段可得AB=BD=AD=2,当BC⊥平面ABD时,BC=2,△ABD的边AB上的高为,只有B选项符合,当BC不垂直平面ABD时,没有符合条件的选项,故选B.
2.D 解析 =()··()==0.
3.B 解析 如图,由题意,得EF∥BD,且EF=BD.
HG∥BD,且HG=BD,
故EF∥HG,且EF≠HG.
因此,四边形EFGH是梯形.
又EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故选B.
4.A 解析 MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,则球的体积为V=π·r3=.
∵∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,120°为360°的,只取半球的,
则V'=.
5.D 解析 根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥D-ABC,如图,显然S1=S△ABC=×2×2=2,S2=S3=×2×.故选D.
6.A 解析 建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.
则E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),C1(0,,2),G.
∴=(-2,0,-1),=(-1,0,1),,
设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),
由
得
令x=1,则n=(1,-,1).
设B1F与平面GEF所成角为θ,
则sin θ=|cs|
=.
7. 解析 如图,取BD的中点O,连接AO,CO,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AB=2,∠BCD=60°,
∴A(0,0,),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),
∴=(1,0,-),=(-1,-,0),
∴cs =
==-.
∴异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.
8. 解析 记球O的半径为R,由△ABC是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面,易求R=.
作SD⊥AB于D,连接OD,OS,易知SD⊥平面ABC,
注意到SD=,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值为,
因此高SD的最大值是=1.
又三棱锥S-ABC的体积为S△ABC·SD=×22×SD=SD,
所以三棱锥S-ABC的体积的最大值是×1=.
9.(1)证明 如图,连接BD交AC于点O,连接EO.
因为平面ABCD为矩形,
所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,
则P(0,0,1),D(0,,0),E.
设B(m,0,0)(m>0),
则C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设|cs|=,即,解得m=.
因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.
三棱锥E-ACD的体积V=.
10.(1)证明 因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD,
所以PD⊥平面PAB.
(2)解 取AD的中点O,连接PO,CO.
因为PA=PD,所以PO⊥AD.
又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.
因为CO⊂平面ABCD,
所以PO⊥CO.
因为AC=CD,所以CO⊥AD.
如图,建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2, 0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=2,则x=1,y=-2.
所以n=(1,-2,2).
又=(1,1,-1),
所以cs==-.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(3)解 设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1]使得=λ.
因此点M(0,1-λ,λ),=(-1,-λ,λ).
因为BM⊄平面PCD,所以BM∥平面PCD当且仅当·n=0,
即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.
解得λ=.
所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时.
11.(1)证法一 如图,取AE的中点H,连接HG,HD,
又G是BE的中点,
所以GH∥AB,且GH=AB.
又F是CD的中点,
所以DF=CD.
由四边形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,
从而四边形HGFD是平行四边形,
所以GF∥DH.
又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.
证法二 如图,取AB中点M,连接MG,MF.
又G是BE的中点,可知GM∥AE.
又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点,得MF∥AD.
又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE,
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF=M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF,
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF⊂平面GMF.
所以GF∥平面ADE.
(2)解 如图,在平面BEC内,过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE,所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC,
所以AB⊥BE,AB⊥BQ.
以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC,所以=(0,0,2)为平面BEC的法向量.
设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.
又=(2,0,-2),=(2,2,-1),
由
取z=2,得n=(2,-1,2).
从而cs=.
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.