人教版九年级数学上册举一反三专题24.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册举一反三专题24.2圆心角、弧、弦的关系【九大题型】(原卷版+解析)，共36页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10143" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc29632" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc29632 \h 2
\l "_Tc23598" 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc23598 \h 3
\l "_Tc17828" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc17828 \h 4
\l "_Tc17783" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc17783 \h 5
\l "_Tc25614" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc25614 \h 6
\l "_Tc30214" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc30214 \h 7
\l "_Tc24345" 【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】 PAGEREF _Tc24345 \h 8
\l "_Tc20062" 【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 PAGEREF _Tc20062 \h 9
【知识点1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】
【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．AB=ADD．∠BCA＝∠DCA
【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF+AH=BF+AF，其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60°B．30°C．45°D．40°
【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（ ）
A．1B．2C．2D．22
【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（ ）
A．32B．32C．3D．23
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ ．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=CB，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于 ．
【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 ．
【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 ．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．253C．2534D．2532
【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ ．
【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（ ）
A．50°B．25°C．80°D．65°
【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为 ．
【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＞2ACD．AB＜2AC
【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】
【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接CB．
求证：BC＝CF．
【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：BD=BE．（用两种不同的方法证明）
【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．
【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）AD=BC；
（2）AE＝CE．
【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】
【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则CE与BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论．
【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10143" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc29632" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc29632 \h 4
\l "_Tc23598" 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc23598 \h 6
\l "_Tc17828" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc17828 \h 9
\l "_Tc17783" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc17783 \h 12
\l "_Tc25614" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc25614 \h 16
\l "_Tc30214" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc30214 \h 19
\l "_Tc24345" 【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】 PAGEREF _Tc24345 \h 22
\l "_Tc20062" 【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 PAGEREF _Tc20062 \h 25
【知识点1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】
【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．AB=ADD．∠BCA＝∠DCA
【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到BC=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝CD．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，
∴BC=CD，
∴BC＝CD，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 ①②③④ （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O中，AB=CD，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴AC=BD故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF+AH=BF+AF，其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为CBD的中点，
∴CF=DF，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴CH=BF，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴AH的度数+CF的度数＝180°，
∴CH的度数+AF的度数＝180°，
∴AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF，故④正确，
故选：C．
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵AE=BD，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60°B．30°C．45°D．40°
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【解答】解：∵AB=CD，
∴∠2＝∠1＝45°，
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ 120° ．
【分析】证明AC=BD可得结论．
【解答】解：∵AC＝BD，
∴AC=BD，
∴∠BOD＝∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 51° ．
【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵BC=CD=DE，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO=12×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（ ）
A．1B．2C．2D．22
【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得AC=BD，继而可得BC=AD，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=2R，由此即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴AC=BD，
∴BC=AD，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD=2R，
∵AD＝22，
∴R＝2，
故选：C．
【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（ ）
A．32B．32C．3D．23
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出MD即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°，
∵M为弧AE的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴OD=12OA=12×6=3，
∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，
故选：C．
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC＝DF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．
【解答】解：连接OF，如图：
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，AD=AF，
∵D为弧AC的中点，
∴AD=DC，
∴ADC=DAF，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直径为10，
∴OF＝OA＝5，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=OF2−OE2=52−33=4，
∴DE＝EF＝4，
∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，
故选：D．
【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ 32 ．
【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD=2AF，想办法求出AF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝25，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF是正方形，
∴AD=2AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴BD=CD，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD=2AF＝32，
故答案为：32．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=CB，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．
【解答】解：如图，连接OD、OC．
∵AD=DC=CB（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于 12 ．
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长．
【解答】解：∵C是AB的中点
∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△AOC和△BOC都是等边三角形
∴OA＝OB＝CA＝CB＝3
所以四边形AOBC的周长等于12．
故填12．
【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 9cm ．
【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB
∵AB＝3cm，
∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．
故答案为：9cm．
【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 63π ．
【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴ABC=BAD，
∴BC=AD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝33，
∴⊙O的周长是2×π×33=63π，
故答案为63π．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．253C．2534D．2532
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：连OC，如图，
∵C是AB的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×12×52×32=2523．
故选：D．
【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ 25π2 ．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，
∴S甲＝S乙=12S圆=25π2，
故答案为：25π2．
【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD=12OC＝1，
∴CD=OC2−OD2=22−12=3，
∴△OCD的面积=12×OD×CD=32，
同理可得，△OCE的面积=12×OE×CE=32，
∴四边形DOEC的面积=32+32=3．
【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，在Rt△AGC中，CG＝AG=62，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．
【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB＝OA＝OB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB的度数＝60°，
又∵AB＝BC＝CD，
∴弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，
∵AN＝AF＝OE=2，∴AD平分NF，∴EF过O点，
∴弧FD＝弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=22AD=2，
在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，
在Rt△AGC中，CG＝AG=62，
∴S△ACF=12CF•AG=12×（22+62）×62=3+34．
故选：D．
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（ ）
A．50°B．25°C．80°D．65°
【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE＝50°，可得结论．
【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥CB，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC＝25°，
∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，
∴DE的度数为50°，
故选：A．
【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴BD的度数为56°．
故选：C．
【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为 50° ．
【分析】连接BC，如图，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明AB=CD得到AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB的度数，从而得到弧AB的度数．
【解答】解：连接BC，如图，
∵弧AD＝100°，
∴∠ACD＝50°，
∵AC＝BD，
∴AC=BD，
即AB+AD=AD+CD，
∴AB=CD，
∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，
∵AB＝ED，
∴CD＝ED，
∴∠DEC＝∠DCE＝50°，
∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，
∴∠ECB=12∠DEC＝25°，
∴弧AB的度数为50°．
故答案为：50°．
【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=12BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故BC的度数是150°．
故选：C．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＞2ACD．AB＜2AC
【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，由已知条件AB=2AC，得出AD=BD=AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．
【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，
∵AB=2AC，
∴AD=BD=AC，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故选：D．
【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD．
【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．
【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．
【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；
（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．
【解答】解：（1）∵BC=3AD，CD=2AD
∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD
∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°
∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°
∴∠DAB=12∠BOD=12（∠BOC+∠COD）＝75°
∠ABC=12∠AOC=12（∠AOD+∠COD）＝45°
（2）①若AD＜CB，则∠DAB＞∠ABC；
②若AD=CB，则∠DAB＝∠ABC；
③若AD＞CB，则∠DAB＜∠ABC
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】
【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接CB．
求证：BC＝CF．
【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．
【解答】证明：连接AE
∵CE=BE
∴∠A＝∠FBC，
∵AB为直径，
∴∠E＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠FDB＝90°，
∴∠CFB+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CFB，
∴∠FBC＝∠CFB，
∴BC＝CF．
【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：BD=BE．（用两种不同的方法证明）
【分析】方法一：由CE∥AB知AC=BE，再由∠BOD＝∠AOC知AC=BD，据此可得证；
方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得∠BOD＝∠BOE，继而可得证．
【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，
∴AC=BE，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴AC=BD，
∴BD=BE；
方法二：连接OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB∥CE，
∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，
∴∠BOD＝∠BOE，
∴BD=BE．
【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴AD=CD，
即D为AC的中点．
【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）AD=BC；
（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD，推出AB=CD，推出AD=CD．
（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AC+BC=AD+AC，
∴AD=BC．
（2）∵AD=BC，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】
【例9】（2022•原州区期末）在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则CE与BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论．
【分析】连接OE，证出OD=12CO=12OE，得出∠DEO＝30°，求出∠DOE＝60°，∠BOE＝30°，即可得出结论．
【解答】解：CE=2BE，理由如下：
连接OE，如图所示：
∵CO⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵DE∥AB，
∴DE⊥CO，
∴∠ODE＝90°，
∵D是CO的中点，
∴OD=12CO=12OE，
∴∠DEO＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE=2BE．
【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，
∴OD=12OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD=12BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴BC=12AC，
故选：A．
【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．
则弦所对的圆心角∠AOB=14×360°＝90°；
∴△AOB是等腰直角三角形，
过O作OC⊥AB于C，
∴OC=12AB，
∴弦心距与弦长的比为1：2，
故选：D．
【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=3BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，
∴BCAC=xx+2x=12+1，
∴AC＝（2+1）BC．
故选：C．