福建省漳州市台商区第一中学2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份福建省漳州市台商区第一中学2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若是非负数，则用不等式表示是（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题的逆命题正确的是( )
A．全等三角形对应角相等B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果，那么D．等边三角形是锐角三角形
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和7厘米，这个三角形的周长是( )厘米．
A．12B．17C．19D．17或19
5．已知，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．用反证法证明：，至少有一个是，应该假设 （ ）
A．，都不是B．，只有一个是
C．，至多一个是D．，两个都是
7．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三个内角角平分线的交点D．三边高的交点
8．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=4，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
9．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（ ）
①；②；
③当时，，分别是，的中点；
④若，，则
A．①②B．①②④C．③④D．①③④
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是 米．
12．若，且，则的取值范围是 ．
13．因式分解： ．
14．如图，在中，，，，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，那么的长为 ．
15．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则点到的距离为 ．
16．如图，是的外角的角平分线，，于点，若，，则的长为 ．
三、解答题（本题共9题，共86分．）
17．（1）将不等式化成“”或“”的形式：
（2）因式分解：
18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
19．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．如图，中，，是高，，求证：．
21．求证：等腰三角形两腰上的高相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明）
22．如图，，．

(1)过点作的垂线交. 与点，连接尺规作图，并保留作图痕迹
(2)如果，，求的长．
23．折纸艺术起源于中国．它是用一张完整的纸，利用折叠的方法而成就的各种人物、动物或草木的形态的方法．它不仅具有艺术审美价值，还蕴含数学运算和几何原理；在折叠前需要经过数学推理，才能完成折纸作品．这吸引了无数数学爱好者以折痕为研究对象，关注所得平面图形的性质．如图，长方形纸片中，．
(1)请你折叠长方形纸片得到等腰直角三角形．说明折叠方法，画出展开之后的平面图形（用虚线表示折痕），并加以证明；
(2)请你折叠长方形纸片得到等边三角形．说明折叠方法，画出展开之后的平面图形（用虚线表示折痕），并加以证明．
24．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如求代数式的最小值，．
可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为： ；
(2)若与，判断的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，，求代数式的值．
25．如图，是等边三角形，点在边上（ “点D不与重合），点是射线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为边作作等边三角形，连接.
（1）如图1，当的延长线与的延长线相交，且在直线的同侧时，过点作，交于点，求证：；
（2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：；
（3）如图3， 当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想、、之间的等量关系，并说明理由.
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了列不等式，根据非负数即为大于等于的数，即可求解．
【解答】解：是非负数，则用不等式表示是，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了命题和定理；平行线的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，先写出个命题的逆命题，再逐项分析判断．
【解答】解：A的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
B的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
C的逆命题为：如果，则，，是假命题，还可以是，；
D的逆命题为：锐角三角形是等边三角形，是假命题，例如：三个角分别是：，，；
故选：B．
3．D
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得．
【解答】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；
B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；
C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；
D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键．
4．D
【分析】分两种情况：当5厘米为腰时，当7厘米为腰时，根据周长的概念和三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：当5厘米为腰时，三边为5、5、7，符合三角形三边关系，周长，
当7厘米为腰时，三边为5、7、7，符合三角形三边关系，周长，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时乘以3，不等号的方向不变，即3x＞3y，原变形错误，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时减去5，不等号的方向不变，即x-5＞y-5，原变形错误，故本选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时乘以-2，不等号的方向改变，即-2x＜-2y，原变形错误，故本选项不符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＞y+1，原变形正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
6．A
【分析】此题主要考查了反证法的步骤，根据命题：“、至少有一个为”的反面是：“、都不是”，可得假设内容．
【解答】解：由于命题：“、至少有一个为”的反面是：“、都不是”，
故用反证法证明：“、至少有一个为”，应假设“、都不是”，
故选A．
7．A
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
8．B
【分析】利用角平分线性质定理可得，角平分线上的点到角两边的距离相等，通过等量代换即可得.
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE=4，
∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5．
故选：B．
【点拨】掌握角平分线的性质为本题的关键.
9．D
【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.
【解答】∵，，，
∴，
，
，
∴
故选D.
【点拨】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.
10．B
【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④．
【解答】和的平分线相交于点，
，，
，正确；
，
，又，
，
，
同理，
，正确；
当时，，
，不是，的中点，错误；
作于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，，
，正确．
故选：B．
11．6．
【分析】建立直角三角形模型，利用含30°角的直角三角形的性质解题即可.
【解答】∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，
如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折断前高度为2+4＝6（米）．
故答案为6．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，熟知30°角所对的直角边是斜边的一半是解题关键.
12．
【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围．
【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
13．
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【解答】解：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
14．##
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理；连接，根据垂直平分线的性质可得，设，则，在中，勾股定理，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：
故答案为：．
15．
【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理；根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点到的距离，本题得以解决．
【解答】由题意可得，为的角平分线，
，平分，
，
设与交于点，作于点，连接
，，，，
，，，
，
由三角形面积计算可得，．
∴，
解得，，
故答案为．
16．
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出两对全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点作于，
是的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，
解得．
故答案为．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查不等式的性质，因式分解；
（1）利用不等式的性质求解即可；
（2）提公因式，即可求解．
【解答】解：（1）
两边同时减去，，
即，
两边同时除以，；
（2）．
18．证明见解析
【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．
【解答】证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
【点拨】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．(1)13
(2)30
【分析】本题考查了完全平方公式以及提公因式法分解因式，求代数式的值．
（1）根据完全平方公式得出，再代入求出即可；
（2）提公因式得出，再代入求出即可．
【解答】（1）解：∵．
∴；
（2）解：∵．
∴．
20．见解析
【分析】根据直角三角形的性质，结合直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．
【解答】∵，，
∴，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
21．见解析
【分析】先作出两个腰的高，再通过角角边证明两个含高的三角形全等，从而得出对应边（高）相等．
【解答】已知：如图，中，于点D，于点E．
求证：
证明：于点D,于点E
∴
∴.
【点拨】本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，掌握角角边的证明方法是本题关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作垂线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
（1）根据题意，在上截取线段，作的垂直平分线即可，
（2）勾股定理求得，证明，进而根据全等三角形的性质以及线段和，即可求解．
【解答】（1）如图所示，即为所求作的图形

（2）垂直，
，
和都为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，
()，
，
．
23．(1)方法、图形、证明见解析
(2)方法、图形、证明见解析
【分析】（1）根据折叠和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据折叠的性质和等边三角形是轴对称图形的性质解答即可．
【解答】（1）解：如图1所示，沿过点B的直线BM折叠长方形，使点C落在AB边上的E处，折痕为BM，将图形展开，是等腰直角三角形．（写出折叠方法画出图形）
证明：根据轴对称的性质可得：
．
，
．
．
．
因此，是等腰直角三角形．
（2）如图2，折叠长方形，使CD与AB重合，折痕为EF，将图形展开，再将长方形沿过B点的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，将图形展开，连接HC，则是等边三角形．（写出折叠方法画出图形）
证明：对折长方形纸片，使与重合，
．
折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕．
．
．
因此，是等边三角形．
【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角直角三角形和等边三角形的性质是解答本题的关键．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解；
（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可．
【解答】（1）解：，
当时，由最大值，为，
代数式的最大值为，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
25．（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）=+，理由见解答.
【分析】(1)由是等边三角形，，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，是等边三角形，易证∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；
(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论.
【解答】（1）∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，
在∆ GDE和∆ CDF中，
∵，
∴∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，
∴；
（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，
∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在∆ GDE和∆ CDF中，
∵，
∴∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，
∴，
∴
（3）=+，理由如下：
过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3，
∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在∆ GDE和∆ CDF中，
∵，
∴∆ GDE≅ ∆ CDF(SAS)，
∴=GC+CE=CD+CE.
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.