专题7.4 一元一次不等式组-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

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【知识点 一元一次不等式组】
定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解.
【题型1 一元一次不等式组的定义】
【例1】（2021春•安庆期中）下列不等式组：
①x＞-2x＜3；②x＞0x+2＞4；③x+1＞0y-4＜0；④x+3＞0x＜-7；⑤x2+1＜xx3+2＞4，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解题思路】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【解答过程】解：①x＞-2x＜3是一元一次不等式组；
②x＞0x+2＞4是一元一次不等式组；
③x+1＞0y-4＜0含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④x+3＞0x＜-7是一元一次不等式组；
⑤x2+1＜xx3+2＞4，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【变式1-1】（2021•利州区模拟）（2021春•福州校级期末）写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组： x+1＞0x-2＜0 ．
【解题思路】由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是空心圆，表示x＞﹣1；
从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组的解集为﹣1＜x＜2，只要解集为﹣1＜x＜2的不等式组皆可．
【解答过程】解：x+1＞0x-2＜0．答案不唯一
【变式1-2】（2021春•南通期末）写出一个无解的一元一次不等式组为 x≤2x＞3 ．
【解题思路】本题为开放性题，按照口诀大大小小找不到（无解）列不等式组即可．如：根据“大大小小找不到”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＜b即可．
【解答过程】解：当解集为无解时，
构造的不等式组为x≤2x＞3．答案不唯一．
【变式1-3】（2021春•靖江市校级月考）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：
甲：它的所有的解为非负数；
乙：其中一个不等式的解集为x≤8；
丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 8-x≥0x≥0（答案不唯一） ．
【解题思路】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为x≥0，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．
【解答过程】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，
∴其中一个不等式的解集必为x≥0，
∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
∴其中一个不等式中x的系数为负数，
∴符合条件的一元一次不等式组可以为：8-x≥0x≥0（答案不唯一）．
故答案为：8-x≥0x≥0（答案不唯一）．
【题型2 解一元一次不等式组】
【例2】（2021春•吉林期末）解不等式组2(x+2)＞x-1①x+8≥4x-1②并把它的解集在数轴上表示出来．
【解题思路】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答过程】解：∵解不等式①得：x＞﹣5，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是﹣5＜x≤3，
在数轴上表示为：
【变式2-1】（2021春•福田区校级期中）若不等式组x-a＞04-x≥0无解，则a的取值范围为 a≥4 ．
【解题思路】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得答案．
【解答过程】解：由x﹣a＞0，得：x＞a，
由4﹣x≥0，得：x≤4，
∵不等式组无解，
∴a≥4，
故答案为：a≥4．
【变式2-2】（2021•利州区模拟）（2021春•丰台区校级期末）下列不等式组中，无解的是（ ）
A．x+5＞0x-5＞0B．3+x＞0x-2＜0
C．2x＜013x＞2D．2(x-1)＜0-3x＞5
【解题思路】根据不等式组的解法分别解出每个不等式组可得答案．
【解答过程】解：A、分别解每个不等式可得x＞-5x＞5，其解集为x＞5；
B、分别解每个不等式可得x＞-3x＜2，其解集为﹣3＜x＜2；
C、分别解每个不等式可得x＜0x＞6，无解；
D、分别解每个不等式可得x＜1x＜-53，其解集为x＜-53．
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•滨江区期末）（2021•历城区二模）解不等式组2(x+1)＞x1-2x≥x-32，并写出它的非负整数解．
【解题思路】根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
【解答过程】解：2(x+1)＞x①1-2x≥x-32②，
由不等式①，得
x＞﹣2，
由不等式②，得
x≤1，
故原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴它的非负整数解是0，1．
【题型3 方程组的解构造不等式组求字母范围】
【例3】（2021秋•余杭区期中）（2021春•仁寿县期末）关于x，y的方程组x+3y=4-ax-y=3a，其中﹣3≤a≤1．
（1）若x，y的值互为相反数，求a的值；
（2）当x≤1时，求y的取值范围．
【解题思路】（1）将两方程相加可得x+y＝a+2，再结合x+y＝0可得关于a的方程，解之即可；
（2）由题意知x+a=4-3yx-3a=y，据此得x=3-2ya=1-y，再根据﹣3≤a≤1，x≤1知3-2y≤11-y≥-31-y≤1，解之即可得出答案．
【解答过程】解：（1）x+3y=4-a①x-y=3a②，
①+②得：2x+2y＝2a+4，
∴x+y＝a+2，
∵x，y的值互为相反数，
∴x+y＝0，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2；
（2）由题意得x+a=4-3yx-3a=y，
解得x=3-2ya=1-y，
∵﹣3≤a≤1，x≤1，
∴3-2y≤11-y≥-31-y≤1，
解得1≤y≤4．
【变式3-1】（2021春•庆阳期末）已知关于x、y的方程组2x+2y=4mx-y=3m-4，且x＞0，y＞0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答过程】解：（1）方程组整理，得：x+y=2m①x-y=3m-4②，
①+②，得：2x＝5m﹣4，
解得x=5m-42，
①﹣②，得：2y＝﹣m+4，
解得y=-m+42，
所以方程组的解为x=5m-42y=-m+42；
（2）∵x＞0，y＞0，
∴5m-42＞0③-m+42＞0④，
解不等式④，得：m＞45，
解不等式④，得：m＜4，
则不等式组的解集为45＜m＜4．
【变式3-2】（2021春•柘城县期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=1+2mx+2y=2-m的解满足不等式组x-y＜8x+y＞1，则m的取值范围是什么？
【解题思路】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．
【解答过程】解：在方程组2x+y=1+2m①x+2y=2-m②中，
①+②，得：3x+3y＝3+m，即x+y=3+m3，
①﹣②，得：x﹣y＝﹣1+3m，
∵x-y＜8x+y＞1，
∴3m-1＜83+m3＞1，
解得：0＜m＜3．
【变式3-3】（2021春•武昌区校级月考）已知方程组2x+y=6-5mx-2y=-15的解x、y都是非负数，且x的值小于y的值，求m的取值范围．
【解题思路】解方程组用含m的式子表示x、y，再根据题意列出关于m的不等式组，解之可得．
【解答过程】解：解方程组得x=-3-10m5y=36-5m5，
根据题意，得：-3-10m5≥0①36-5m5≥0②-3-10m5＜36-5m5③，
解不等式①，得：m≤-310，
解不等式②，得：m≤365，
解不等式③，得：m＞-395，
则-395＜m≤-310．
【题型4 根据不等式组的解集求字母范围】
【例4】（2021春•昆都仑区校级期中）若关于x的不等式组x-m≥n2x-n＜2m+1的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
【解题思路】先把mn当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组的解集是2≤x＜5相比较得出关于mn的方程组，求出m、n的值即可．
【解答过程】解：x-m≥n①2x-n＜2m+1②，
由①得，x≥m+n；
由②得，x＜2m+n+12，
∵不等式组的解集为2≤x＜5，
∴m+n=2①2m+n+12=5②，把①代入②得，m+2+12=5，解得m＝7，把m＝7代入①得，n+7＝2，解得m＝﹣5，
∴m+n＝7﹣5＝2．
【变式4-1】（2021•利州区模拟）已知x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，求实数a的取值范围．
【解题思路】根据x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答过程】解：∵x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，
∴4a﹣3a﹣1＜0，
解得：a＜1，
∵x＝2不是这个不等式的解，
∴2a﹣3a﹣1≥0，
解得：a≤﹣1，
∴a≤1．
【变式4-2】（2021•合肥模拟）若不等式2x+53-1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，求m的取值范围．
【解题思路】求出不等式2x+53-1≤2﹣x的解，再求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答过程】解：解不等式2x+53-1≤2﹣x得：x≤45，
解关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x），
得x＜1-m2，
∵不等式2x+53-1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，
∴1-m2＞45，
解得：m＜-35．
【变式4-3】（2021春•鲤城区校级期中）若不等式组x-m＞0x-m＜1的解集中每一个x值均不在2≤x≤5的范围内，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1或m＞5B．m≤1或m≥5C．m＞1或m＜5D．m≤1
【解题思路】解不等式组求出x的范围，根据任何一个x的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式得到答案．
【解答过程】解：由x﹣m＞0，得：x＞m，
由x﹣m＜1，得：x＜m+1，
∵解集中每一个x值均不在2≤x≤5的范围内，
则m≥5或m+1≤2，
解得m≥5或m≤1，
故选：B．
【题型5 利用整数解求字母取值范围 】
【例5】（2021秋•昌江区校级期末）已知关于x的不等式组2x+53-t＞5x+32-t＞x恰有三个整数解，则t的取值范围为 -32≤t＜-43 ．
【解题思路】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出：一定存在一个整数k，满足满足下列关系：k-1≤32t+5＜k①k+2＜3-2t≤k+3②，并分情况讨论得出k的取值，再得t的取值范围．
【解答过程】解：2x+53-t＞5①x+32-t＞x②
解不等式①得：x＞32t+5，
解不等式②得：x＜3﹣2t，
则不等式组的解集为：32t+5＜x＜3﹣2t，
∵不等式组有3个整数解，
∴一定存在一个整数k，满足满足下列关系：
k-1≤32t+5＜k①k+2＜3-2t≤k+3②，
解不等式组①得，2k-123≤t＜2k-103，
解不等式组②得，-k2≤t＜1-k2，
（1）当2k-123≤-k22k-103≤1-k2，即k≤237时，则-k2≤t＜2k-103，
于是，-k2＜2k-103，解得，k＞207，
∴207＜k≤237，
∵k为整数，
∴k＝3，
∴-2≤t＜-43-32≤t＜-1，
∴-32≤t＜-43；
（2）当2k-123≤-k22k-103≥1-k2时，即237≤k≤247时，不存在整数k，
∴此时无解；
（3）当2k-123≥-k22k-103≤1-k2，此时无解；
（4）当2k-123≥-k22k-103≥1-k2，即k≥247时，则2k-123≤t＜1-k2，
于是，2k-123＜1-k2，
解得，k＜277，
∴247≤k＜277，不存在整数k，
∴此时无解．
综上，-32≤t＜-43．
故答案为：-32≤t＜-43．
【变式5-1】（2021•南通）若关于x的不等式组2x+3＞12x-a≤0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤8
【解题思路】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的3个整数解是5，6，7，再求出a的取值范围即可．
【解答过程】解：2x+3＞12①x-a≤0②，
解不等式①，得x＞4.5，
解不等式②，得x≤a，
所以不等式组的解集是4.5＜x≤a，
∵关于x的不等式组2x+3＞12x-a≤0恰有3个整数解（整数解是5，6，7），
∴7≤a＜8，
故选：C．
【变式5-2】（2021秋•滨江区期末）（2021•浙江自主招生）使得不等式组917＜nn+k＜815对唯一的整数k成立的最大正整数n为 144 ．
【解题思路】根据题目中的不等式，先变形，然后即可得到78＜kn＜89，再根据k是唯一的整数，可以得到n的取值范围，然后通过计算可以得到唯一的整数k，从而可以得到n的最大正整数值．
【解答过程】解：∵917＜nn+k＜815，
∴917＜11+kn＜815，
∴158＜1+kn＜179，
∴78＜kn＜89，k是唯一的整数，
∴k-1n≤78且k+1n≥89，
∴2n=k+1n-k-1n≥89-78=172，
∴n≤144，
当n＝144时，由78＜kn＜89，可得126＜k＜128，
∴k可取唯一的整数127，
由上可得，n的最大值是144，
故答案为：144．
【变式5-3】（2021秋•昌江区校级期末）已知关于x的不等式组2x+53-t＞5x+32-t＞x恰有三个整数解，则t的取值范围为 -32≤t＜-43 ．
【解题思路】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出：一定存在一个整数k，满足满足下列关系：k-1≤32t+5＜k①k+2＜3-2t≤k+3②，并分情况讨论得出k的取值，再得t的取值范围．
【解答过程】解：2x+53-t＞5①x+32-t＞x②
解不等式①得：x＞32t+5，
解不等式②得：x＜3﹣2t，
则不等式组的解集为：32t+5＜x＜3﹣2t，
∵不等式组有3个整数解，
∴一定存在一个整数k，满足满足下列关系：
k-1≤32t+5＜k①k+2＜3-2t≤k+3②，
解不等式组①得，2k-123≤t＜2k-103，
解不等式组②得，-k2≤t＜1-k2，
（1）当2k-123≤-k22k-103≤1-k2，即k≤237时，则-k2≤t＜2k-103，
于是，-k2＜2k-103，解得，k＞207，
∴207＜k≤237，
∵k为整数，
∴k＝3，
∴-2≤t＜-43-32≤t＜-1，
∴-32≤t＜-43；
（2）当2k-123≤-k22k-103≥1-k2时，即237≤k≤247时，不存在整数k，
∴此时无解；
（3）当2k-123≥-k22k-103≤1-k2，此时无解；
（4）当2k-123≥-k22k-103≥1-k2，即k≥247时，则2k-123≤t＜1-k2，
于是，2k-123＜1-k2，
解得，k＜277，
∴247≤k＜277，不存在整数k，
∴此时无解．
综上，-32≤t＜-43．
故答案为：-32≤t＜-43．
【题型6 不等式组中的新定义问题】
【例6】（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．
（1）求m、n的值；
（2）若a＞0，解不等式组P(2a，a-1)＜4P(-12a-1，-13a)≤-5．
【解题思路】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；
（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，-12a﹣1＜-13a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．
【解答过程】解：（1）由题意，得：2m+n=7-n+m=-1，
解得m=2n=3；
（2）∵a＞0，
∴2a＞a，
∴2a＞a﹣1，-12a＜-13a，
∴-12a﹣1＜-13a，
∴2×2a+3(a-1)＜4①3(-12a-1)+2×(-13a)≤-5②，
解不等式①，得：a＜1，
解不等式②，得：a≥1213，
∴不等式组的解集为1213≤a＜1．
【变式6-1】（2021春•邗江区校级期末）对于任意有理数x，我们用[x]表示不大于x的最大整数，若[x]＝n，则n≤x＜n+1．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，若[3x+2]＝﹣3，则x的取值范围是（ ）
A．-53≤x≤-43B．-53＜x≤-43C．-53＜x＜-43D．-53≤x＜-43
【解题思路】根据题意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，根据不等式的解法即可求解．
【解答过程】解：根据题意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，
解得-53≤x＜-43，
故选：D．
【变式6-2】（2021春•海陵区期末）规定符号f（x）（x是正整数）满足下列性质：
①当x为质数时，f（x）＝1（质数：是指除了本身和1之外，再没有其他因数的数）．
②对于任意两个正整数m和n，f（m•n）＝mf（n）+nf（m）．
例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）+3f（2）＝2×1+3×1＝5．
（1）直接写出f（3）＝ 1 ，f（4）＝ 4 ．
（2）求f（18）和f（24）的值；
（3）求满足不等式组f(18x)-18f(x)≥5x+f(24)f(2x)-2f(x)＜6的x的值．
【解题思路】（1）先判断3时质数，4不是质数，且4＝2×2，结合定义求出f（3），f（4）；
（2）由18＝3×6，24＝4×6，结合f（3），f（4），f（6）和定义，求出f（18）和f（24）；
（3）先将f（18x），f（2x）化简，然后将不等式变形化简，从而求出x的值．
【解答过程】解：（1）∵3是质数，4＝2×2，且2是质数，
∴f（3）＝1，f（4）＝f（2×2）＝2f（2）+2f（x）＝4．
故答案为：1，4．
（2）f（18）＝f（3×6）＝3f（6）+6f（3）＝3×5+6×1＝21，
f（24）＝f（4×6）＝4f（6）+6f（4）＝4×5+6×4＝44．
（3）∵f（18x）＝18f（x）+xf（18）＝18f（x）+21x，
f（2x）＝2f（x）+xf（2）＝2f（x）+x，
∴不等式组可化为：21x≥5x+44x＜6，
解得：114≤x＜6．
【变式6-3】（2021春•溧阳市期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①2x-4=05x-2＜3；
②x-53=2-3-x2x+32-1＜3-x4．
（2）若关于x的组合5x+15=03x-a2＞a是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合5a-x2-3=2x-3ax-a2+1≤x+a是“无缘组合”；求a的取值范围．
【解题思路】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【解答过程】解：（1）①∵2x﹣4＝0，
∴x＝2，
∵5x﹣2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②x-53=2-3-x2，
去分母，得：2（x﹣5）＝12﹣3（3﹣x），
去括号，得：2x﹣10＝12﹣9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝﹣13．
解不等式x+32-1＜3-x4，
去分母，得：2（x+3）﹣4＜3﹣x，
去括号，得：2x+6﹣4＜3﹣x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜13．
∵﹣13在x＜13范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝﹣3，
解不等式3x-a2＞a，得：
x＞a，
∵关于x的组合5x+15=03x-a2＞a是“有缘组合”，
∴﹣3在x＞a范围内，
∴a＜﹣3；
（3）解方程5a-x2-3＝2x﹣3a，
去分母，得5a﹣x﹣6＝4x﹣6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a﹣6，
化系数为1得：x=11a-65，
解不等式x-a2+1≤x+a，
去分母，得：x﹣a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥﹣3a+2，
∵关于x的组合5a-x2-3=2x-3ax-a2+1≤x+a是“无缘组合，
∴11a-65≤-3a+2，
解得：a＜813．
【题型7 根据程序框图列不等式组】
【例7】（2021秋•苏州期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞26”为一次程序操作，如果程序操作进行了2次后停止，那么满足条件的所有整数x的和为（ ）
A．30B．35C．42D．39
【解题思路】由该程序操作进行了2次后停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数值即可得出x的值，再将其相加即可求出结论．
【解答过程】解：依题意，得：3x-1≤263(3x-1)-1＞26，
解得：103＜x≤9．
∵x为整数值，
∴x＝4，5，6，7，8，9．
4+5+6+7+8+9＝39．
故选：D．
【变式7-1】（2021春•汉阳区期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥19”为一次程序如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 32≤x＜4 ．
【解题思路】由程序运行两次的结果小于19及程序运行三次的结果大于等于19，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答过程】解：依题意，得：2x+1＜192(2x+1)+1＜192[2(2x+1)+1]+1≥19，
解得：32≤x＜4．
故答案为：32≤x＜4．
【变式7-2】（2021春•朝阳区校级期末）按下列程序进行运算（如图）：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x＝5，则运算进行 4 次才停止；若运算进行了5次才停止，求x的取值范围．
【解题思路】把x＝5代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可．
【解答过程】解：若x＝5．
第一次：5×3﹣2＝13，
第二次：13×3﹣2＝37，
第三次：37×3﹣2＝109，
第四次：109×3﹣2＝325＞244→→→停止，
故答案为4；
第1次，结果是3x﹣2，
第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，
第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，
第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80，
第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2＝243x﹣242；
∴243x-242＞244①81x-80≤244②，
由①得：x＞2，
由②得：x≤4，
∴2＜x≤4．
即：5次停止的取值范围是：2＜x≤4．
【变式7-3】（2021春•郯城县期末）对一个实数x按图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作．
（1）当输入实数x＝3时，要操作 5 次才停止；
（2）如果操作只进行一次就停止，求x的取值范围；
（3）如果操作恰好进行三次才停止，求x的取值范围．
【解题思路】（1）将x＝3代入3x﹣2逐次判断是否大于190即可得；
（2）表示出第一次输出结果，根据“操作只进行一次就停止”列不等式求解可得；
（3）表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可．
【解答过程】解：（1）当x＝3时，3x﹣2＝7＜190，
当x＝7时，3x﹣2＝19＜190，
当x＝19时，3x﹣2＝55＜190，
当x＝55时，3x﹣2＝163＜190，
当x＝163时，3x﹣2＝487＞190，
∴当输入实数x＝3时，要操作5次才停止，
故答案为：5；
（2）第一次的结果为：3x﹣2，输出，则
3x﹣2＞190，
解得：x＞64．
故x的取值范围是x＞64；
（3）第一次的结果为：3x﹣2，没有输出，则3x﹣2≤190，
解得：x≤64；
第二次的结果为：3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，没有输出，则9x﹣8≤190，
解得：x≤22；
第三次的结果为：3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，输出，则27x﹣26＞190，
解得：x＞8；
综上可得：8＜x≤22．
【题型8 不等式组的实际应用】
【例8】（2021•范县模拟）为加快老旧小区改造，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输60箱物资：5辆大货车与6辆小货车一次可以运输135箱物资．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货次需费用300元．若运输物资不少于150箱，且总费用小于5400元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需費用最少，最少费用是多少？
【解题思路】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输60箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输135箱”，可列方程组，即可求解；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，由“运输物资不少于150箱，且总费用小于5400元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解．
【解答过程】解：（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：2x+3y=605x+6y=135，
解得：x=15y=10，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：500a+300(12-a)＜540015a+10(12-a)≥150，
解得：6≤a＜9，
又∵a须为整数，
∴a＝6，7，8；
∴共有三种方案，
方案①6辆大货车，6辆小货车，方案②7辆大货车，5辆小货车，方案③8辆大货车，4辆小货车；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝500×6+300×6＝4800元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝500×7+300×5＝5000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝500×8+300×4＝5200元，
∵4800＜5000＜5200，
∴方案③，即当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为4800元．
【变式8-1】（2021春•原州区期末）某希望小学收到捐赠的一批图书，要分给同学，让他们带回家方便阅读，读完后再交换给其他同学阅读．如果每名同学分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学就分不到3本．捐赠的这批书有多少本？共有多少名同学？
【解题思路】根据如果每名同学分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学就分不到3本，可以列出相应的不等式组，然后再根据人数为整数，从而可以求得共有多少名同学，捐赠的这批书有多少本．
【解答过程】解：设共有x名同学，
由题意可得，0≤3x+8﹣5（x﹣1）＜3，
解得5＜x≤6.5，
∵x为整数，
∴x＝6，
∴3x+8＝3×6+8＝18+8＝26，
答：捐赠的这批书有26本，共有6名同学．
【变式8-2】（2021•句容市一模）为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带．
（1）求A队每人每天和B队每人每天各完成多少米绿化带；
（2）该公司决定派A、B工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且B工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？
【解题思路】（1）设A队平均每天完成x米绿化带，B队平均每天完成y米绿化带，则依据等量关系：A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带，列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可以列出相应的不等关系式，从而可以求得有几种方案．
【解答过程】解：（1）设A队平均每天完成x米绿化带，B队平均每天完成y米绿化带，依题意有
2x+3y=3105x+6y=700，
解得x=80y=50．
故A队平均每天完成80米绿化带，B队平均每天完成50米绿化带；
（2）设该公司决定派A工程队共a人参与建设绿化带，依题意有
80a+50(20-a)≥148020-a≥2，
解得16≤a≤18，
故人事安排方案为：A：16，B：4或A：17，B：3或A：18，B：2．
【变式8-3】（2021春•通川区期末）某工厂用A，B两种原件组装成C，D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件．
（1）现有A原件162个，B原件340个，若要组装C，D两种产品共100个，设组装C产品x个．
①根据题意，完成下面表格：
②按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？
（2）现有A原件162个，B原件a个，组装C，D两种产品，A，B两种原件均恰好用完，已知290＜a＜306，求a的值．
【解题思路】（1）①根据A，B两种原件组装成C，D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件，直接得出答案即可．
②设组装C产品x个，根据现有A原件162个，B原件340个，若要组装C，D两种产品共100个，列出不等式，求出x的取值范围，再根据x为整数，即可得出生产方案；
（2）设生产C产品m件，生产D产品n件，根据A原件162个，B原件a个，列出方程组，求出m+n的值，再根据290＜a＜306，即可求出a的值．
【解答过程】解：（1）①根据题意，填表如下：
故答案为：2（100﹣x），4x；
②根据题意得：x+2(100-x)≤1624x+3(100-x)≤340，
解得：38≤x≤40，
∵x为整数，
∴x＝38，39，40，
∴共有3种生产方案，
方案一：生产C产品38件，生产D产品62件；
方案二：生产C产品39件，生产D产品61件；
方案三：生产C产品40件，生产D产品60件；
（2）设生产C产品m件，生产D产品n件，根据题意得：
m+2n=162①4m+3n=a②，
①+②得：5m+5n＝a+162，
m+n=a+1625，
∵m+n为正整数，290＜a＜306，
∴a＝293，298，303． 原件 产品
C（件）
D（件）
A（个）
x
2（100﹣x）
B（个）
4x
3（100﹣x）
原件 产品
C（件）
D（件）
A（个）
x
2（100﹣x）
B（个）
4x
3（100﹣x）