2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题（原卷版+解析版）

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2024年普通高等学校招生全国统一考试
（第二次模拟考试）
文科数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合A满足，则（ ）
A B.
C. D.
2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 设m，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
8. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于点对称D. 在区间上有2个零点
9. 在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
11. 设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.
14. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______.
15. 若实数满足约束条件，则的最小值为__________.
16. 已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.
（1）根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
（2）根据（1）选择模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）
18. 如图，在多面体中，是等边三角形，.

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
19. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）求函数的单调区间.
20. 已知椭圆过点，且焦距.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.
21. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
（1）写出所有4的1增数列；
（2）当时，若存在的6增数列，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若最小值为，正实数，，满足，求证： ．
序号
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2