2024年江西省九江市永修县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年江西省九江市永修县中考一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，等内容，欢迎下载使用。

1.满分120分，答题时间为120分钟．
2.请将各题答案填写在答题卡上，
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
2．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
3．若一个扇形的半径是6，扇形的圆心角的度数是，则这个扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是4，则k的值是（ ）
A．1B．2C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．一元二次方程的根是 ．
8．如图，半径为2的经过原点O和点C，B是y轴左侧上的一点，且，则的长为 ．
9．若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
10．如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为 ．
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是 ．
12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A(0，3)、B(5，3)，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：．
（2）如图，矩形的对角线相交于点O，，．求证：四边形是菱形．
14．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图．
15．已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值．
16．五一小长假期间，小林和小云一起来到昆明旅游，晚上他们打算去特色街吃饭，他们看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么，他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A过桥米线；B野生菌火锅；C鲜花饼；D汽锅鸡，将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好．小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张．
(1)小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是 ；
(2)请利用列表或画树状图的方法，求两个人抽到同一种特色美食的概率．
17．如图一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点到桥的另一端点的俯角为，无人机由点继续竖直上升10米到点，测得桥的另一端点的俯角为，求桥的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
19．“元宵节”吃元宵是中国的传统习俗，某超市购进一种品牌元宵，每盒进价是30元，并规定每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒．根据以往的销售经验发现，当每盒售价定为40元时，日销售量为500盒，且每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当时，_____；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
20．如图，在中，，O是上的一点，以点O为圆心，的长为半径作，且与相切于点H，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
22．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．

(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标；
(2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______；
②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知是比例三角形，，，求的长；
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．
①求证：；
②求证：是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【解答】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：A．
2．C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】将抛物线向左平移2个单位所得解析式为：；
再向上平移3个单位为：．
故选：C．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．C
【分析】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：扇形的半径为6，圆心角为，
扇形的面积是：．
故选：C
4．C
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用同弧所对的圆周角相等可求出的度数，即可求出的度数．
【解答】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号．
6．B
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键．
连接，作轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形的面积，再求证出三角形是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可．
【解答】解：连接，作轴于D，
的面积是4，，
的面积为2，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
∵反比例函数的图象位于第一象限，
．
故答案为：B．
7．，
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
把方程左边因式分解得，解之即可求出方程的根
【解答】解：，
，
或，
，，
故答案为：，．
8．##
【分析】本题考查了圆周角定理和弧长的计算，连接，根据圆周角定理得，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式．由题意得出一元二次方程只有一个实数解，据此即可求解．
【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：．
10．10
【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．连接．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接，
为的直径，弦于，
，
设的半径为，则，
，即
解得，
故答案为10
11．##
【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．
连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解．
【解答】解：连接并延长交于点，连接，
则，
故答案为：．
12．（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
【分析】由正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），先求出AB长，进而得出C（5，8），D（0，8），画出图形：当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），分三种情况，①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，准确画出图形利用全等，轴对称即可求出C′的坐标．
【解答】解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），则AB=5-0=5，C（5，8），D（0，8），
所以画图如下：
当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），作CE⊥x轴于E，分三种情况
①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵AB′＝AB＝5，OA＝3，
∴OB′＝＝4，
∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，
∴点C的对应点C′的坐标为（7，4）；
②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图，
B′C′＝AB＝BC′＝5，
yC=3-5=-2，xC=AB=5，
∴点C的对应点C′的坐标为（5，﹣2）；
③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图，
∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上所述：点C的对应点C′的坐标为（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
故答案为：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，掌握正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，利用分三种情况考虑点B′的位置求点C′坐标是解题关键．
13．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）本题考查矩形的性质，菱形的判定，根据邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可．
【解答】（1）原式
．
（2）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．
14．图见解析
【分析】本题考查画三视图，根据主看列找最大，左看行找最大，画出主视图和左视图即可．
【解答】解：如图：
15．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．
【解答】解：方程的两个实数根分别为，，
由根与系数的关系可知，，.
，
，即，
解得，
，
.
16．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法求概率，概率公式：
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）列出图表得出所有等可能的结果数和抽到的两张卡片恰好是同一种美食的结果数，再利用概率公式直接计算．
【解答】（1）∵共有四张卡片，
∴小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是，
故答案为：；
（2）所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有16种等可能出现的结果，其中两人抽到同一种食物的有4种，
，
两人抽到同一种美食的概率为．
17．(1)一次函数的解析式为
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）图像法解不等式即可．
【解答】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）由图象可知：不等式的解集为或．
18．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：根据题意，得，，米．
在中，，
．
在中，，
．
米，
，
解得米．
答：桥的长约为米．
19．(1)400
(2)当时，日销售利润W取得最大值，最大利润为8750元
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒，列出算式进行求解即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数进行求解即可．
【解答】（1）解：由题意，；
故答案为：400；
（2）由题意，得：，
∵日销售量不低于350盒，
∴，
∴，
，
整理，得：，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值为8750；
答：当时，日销售利润W取得最大值，最大利润为8750元．
20．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，由切线的性质推出，可证，由角平分线判定定理即可证明平分；
（2）设，则，证明得，从而，然后在中利用勾股定理即可求出的半径长．
【解答】（1）如图，连接．
∵与相切于点H，
∴．
∵，
∴．
又，
，
平分．
（2），
设，则．
，，
，
，
．
，
．
在中，，即，
解得或（舍去），
的半径为．
【点拨】本题考查切线的性质，解直角三角形，勾股定理，角平分线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
21．（1）见解析；（2）DC＝6.4cm；（3）当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【分析】（1）根据三角形相似的判定定理即可得到结论；
（2）由△ACD∽△BAC，得，结合＝8cm，即可求解；
（3）若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF＝BE时， ②当EF＝EB时，③当FB＝FE时，分别求出t的值，即可．
【解答】（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
又AC⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）在Rt△ABC中，＝8cm，
由（1）知，△ACD∽△BAC，
∴ ，
即: ，解得：DC＝6.4cm；
（3）△BEF能为等腰三角形，理由如下：
由题意得：AF＝2t，BE＝t，
若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得：t=；
②当EF＝EB时，如图1，过点E作AB的垂线，垂足为G，
则，此时△BEG∽△BAC，
∴，即 ，
解得：t=；
③当FB＝FE时，如图2，过点F作AB的垂线，垂足为H，
则，此时△BFH∽△BAC，
∴，即 ，
解得：；
综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合以及等腰三角形的性质与勾股定理，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
22．(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为
(2)①，，，；②是，这条直线的解析式为
【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标；
（2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，；
②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式．
【解答】（1）解：抛物线为，
，
“衍生直线”的表达式为．
“衍生直线”与x轴交于点B，
点B的坐标为．
抛物线与x轴交于点，，
抛物线的表达式为．
令，解得或，
把代入，得，
点A的坐标为；
（2）解：①对于，令，则，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上，
∴，
∴．
同理可求出，…，．
故答案为：，，，；
②点，，…，在同一条直线上．
令，，
∴，
∴，
这条直线的表达式为．
【点拨】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键．
23．（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能．
【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．
（1）根据比例三角形的概念，分类讨论，列式计算即可求解；
（2）①利用两角对应相等，证明即可；
②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解；
（3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可．
【解答】解：（1）是比例三角形，且，，
①当时，得，
解得，
，
（不符合题意，舍去）；
②当时，得，
解得.
，
（不符合题意，舍去）；
③当时，得，
解得（负值已舍去），
当时，是比例三角形，
（2）①证明：四边形是矩形，
，
，
又，
；
②证明：由①，知，
，即.
∵，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；
（3）能，
当点C与点Q重合时，，
，
，
，
，
，
，，
；
在中，，即，
解得或（舍去），
．
（小林，小云）
A
B
C
D
A
B
C
D