2024年中考第一次模拟考试题：数学（湖南卷）（学生用）

这是一份2024年中考第一次模拟考试题：数学（湖南卷）（学生用），共6页。试卷主要包含了如图，的半径为5，弦，则的长为，如图所示几何体的俯视图是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×106
6．如图，的半径为5，弦，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ）
A．众数是90分B．方差是10C．平均数是91分D．中位数是90分
9．如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作交于点N，若四边形的面积是4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
10．抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论①；②；③关于x的方程有两个不相等实数根；④当时，y随x增大而增大；⑤；⑥y的最小值为．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13．圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
14．如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数为 ．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
16．如图所示，在平行四边形中，点在上，且，则 ．
17．《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为 ．
18．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求广告牌的高度．
22．如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，若，求的长．
23．为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
24．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)求平移的距离及线段扫过的面积．
25．如图，在中，，是的直径，交于点D，过点D的直线交于点E，交的延长线于点P，是的切线．
(1)求的度数；
(2)若，，求图1中阴影部分的周长；
(3)如图2，若，连接，交于点N，若，求的值．
26．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．