2024年新高考数学一轮复习达标检测第19讲任意角和蝗制及任意角的三角函数（教师版）

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A．B．C．D．
【分析】终边相同的角相差了的整数倍，由，，令，即可得解．
【解答】解：终边相同的角相差了的整数倍，
设与角的终边相同的角是，则，，
当时，．
故选：．
2． 是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】先将写成的整数倍加上一个0到范围的角，再由此角的终边位置和象限角的定义进行判断．
【解答】解：因为；
则与的终边相同，即是第四象限角，
故选：．
3．若第二象限角，则在第几象限
A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限
【分析】由是第二象限的角，可得，故，，从而得到所在的象限．
【解答】解：是第二象限的角，，，
，，故是第一、三象限角，
故选：．
4．已知扇形的弧长为2，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是
A．4B．2C．D．
【分析】设扇形的弧长为，圆心角大小为，半径为，利用扇形的弧长公式，面积公式即可求解．
【解答】解：设扇形的弧长为，圆心角大小为，半径为，
因为扇形的弧长为2，面积是1，
则，
可得扇形的面积，可得．
故选：．
5．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
（平方米）．
故选：．
6．已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则
A．2B．C．D．
【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．
【解答】解：点在角的终边上，
，
故选：．
7．如图．角和角的终边重直，且角与单位圆的交点坐标为，则
A．B．C．D．
【分析】由任意角的三角函数的定义可知，进而利用诱导公式即可求解的值．
【解答】解：由任意角的三角函数的定义可知，所以．
故选：．
8．（多选）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则下列各式一定为正的是
A．B．C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及三角函数在各个象限中的符号，得出结论．
【解答】解：角以为始边，终边经过点，，是第四象限角，
，，
不一定是正数，故排除；
，故正确；
，故一定错误；
，故正确，
故选：．
9．（多选）设、、分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是
A．B．C．D．
【分析】作出角的三角函数线图象，由图象进行判断，即可得到，，0，之间的大小关系．
【解答】解：由，，分别为角的正弦线、余弦线，正切线，如图，
，，；
．
故选：．
10． 弧度，它是第 象限角；
【分析】由，得，则角度制可化弧度制，所在象限可求．
【解答】解：，，
，它是第三象限角．
故答案为：；三．
11．大于且终边与角重合的负角是 ．
【分析】由角终边相等的性质进行求解
【解答】解：，
故答案为：．
12．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，则 ．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，即可得的值．
【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，是角终边上一点，
，，，
．
故答案为：．
13．圆心角为1弧度的扇形半径为1，则该扇形的周长为 ，面积为 ．
【分析】由题意计算扇形的弧长和周长与面积．
【解答】解：由题意知，弧长为，
所以扇形的周长为；
面积为．
故答案为：3，．
14．如图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点，，则 ．
【分析】根据三角函数的定义得出和的值，代入原式求解即可．
【解答】解：由三角函数的定义得，，，故．
故答案为：．
15．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边上有一点，则 ．
【分析】由已知利用三角函数的定义可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：因为角的终边上有一点，
所以．
所以．
故答案为：．
16．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为 ；如果小轮的转速为180转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为 ．
【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动的角度；
经换算得到其弧度，通过小轮的转速得到大轮的转速，从而求出结果．
【解答】解：小轮转动两周时，大轮转动的角度为
；
如果小轮的转速为180转分，则大轮的转速为
；
又大轮半径为，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为
．
故答案为：，．
17．已知扇形的圆心角为，周长为4．那么当其面积取得最大值时，的值是 ．
【分析】根据已知可求，进而可求最大值，即可得解．
【解答】解：扇形的圆心角为，周长为4．
，可得，
，
，，解得，
当时，扇形的面积取得最大值1，此时，．
故答案为：2．
18．已知角．
（Ⅰ）把角写成的形式，并确定角所在的象限；
（Ⅱ）若角与的终边相同，且，求角．
【分析】（Ⅰ）化角度制为弧度制，可得．再由是第二象限角得答案．
（Ⅱ）由角与的终边相同，得．结合即可求得的值．
【解答】解：（Ⅰ），，
．
角与终边相同，角是第二象限角．
（Ⅱ）角与的终边相同，
设．
，
由，可得．
又，．
．
19．（2019秋•西宁期末）已知一个扇形的周长为，圆心角为，求这个扇形的面积．
【分析】设扇形的半径为，弧长为，利用已知条件求出弧长与半径，然后求出扇形面积．
【解答】（本小题满分12分）
解：设扇形的半径为，面积为，由已知，扇形的圆心角为，
扇形的弧长为，由已知得，，
解得：，
．
故扇形的面积是．
20．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
【解答】解：（1）角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，
终边经过点，其中，
故，．
（2）若，，则．
[B组]—强基必备
1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是
A．B．C．D．
【分析】本题可以画出图形，由，利用对称性得到角的关系，然后利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标为，以及，可解得的取值范围．
【解答】解：设，
，则，、、均为，，
又，．
而，．
又，．
依题设，即，，
即有，则，
故选：．
2．在一般的时钟上，自十九点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？
【分析】自十九点到分针与时针第一次重合，设时针转过弧度，则分针转过，化为相同的单位列等式求解．
【解答】解：自十九点到分针与时针第一次重合，设时针转过弧度，则分针转过．
时针走一弧度相当于经过小时分，分针转一弧度相当于经过分，
故有，解得．
自十九点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是．