2024年新高考数学一轮复习达标检测第32讲数列的概念与简单表示（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第32讲数列的概念与简单表示（教师版），共9页。

A．B．
C．D．
【分析】根据题意，写出数列前4项，然后归纳出通项公式．
【解答】解：根据题意，数列的前4项为，，，，…
则有a1，
a2，
a3，
a4，
则数列的通项公式可以为an；
故选：C．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+2，则a8＝（ ）
A．13B．15C．17D．19
【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．
【解答】解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2×7+2）＝13，
故选：A．
3．现有这么一列数：1，，，，___，，，…，按照规律，___中的数应为（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别求出分子分母的规律即可求解结论．
【解答】解：由题意可得：分子为连续的奇数，分母依次为首项为1、公比为2的等比数列，
即其通项为：；
故括号中的数应该为．
故选：A．
4．已知数列{an}的前n项和，则a5﹣a1＝（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】数列{an}的前n项和，可得a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4，即可得出．
【解答】解：数列{an}的前n项和，
∴a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4＝（2×52+1）﹣（2×42+1）＝18．
则a5﹣a1＝18﹣3＝15．
故选：C．
5．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（ ）
A．an＝3n﹣1B．an＝2n﹣1C．an＝3nD．an＝2n﹣1
【分析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别得出，即可得出{an}的通项公式．
【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为：a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，
因此{an}的通项公式可以是：an＝3n﹣1．
故选：A．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2•an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用数列{an}的前n项和 Sn＝n2an（n≥2），a1＝1，代入即可计算a2，a3，从而可以猜想an．
【解答】解：（1）∵Sn＝n2an，∴an+1＝Sn+1﹣Sn＝（n+1）2an+1﹣n2an
∴an+1an，
∴a2，
a3•，
猜测；an，
故选：B．
7．已知数列{an}的通项公式为an（n∈N*），其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2019中，有理数项的项数为（ ）
A．42B．43C．44D．45
【分析】本题先要对数列{an}的通项公式an运用分母有理化进行化简，然后求出前n项和为Sn的表达式，再根据Sn的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．
【解答】解：由题意，可知：
an
．
∴Sn＝a1+a2+…+an
＝1
＝1．
∴S3，S8，S15…为有理项，
又∵下标3，8，15，…的通项公式为bn＝n2﹣1（n≥2），
∴n2﹣1≤2 019，且n≥2，
解得：2≤n≤44，
∴有理项的项数为44﹣1＝43．
故选：B．
8．数列{an}的通项an＝﹣3n2+2020n+1，当an取最大值时，n＝（ ）
A．336B．337C．336或337D．338
【分析】根据数列{an}的通项公式，结合二次函数的知识，分析计算即可得到当n取最大值时n的值．
【解答】解：依题意，an＝﹣3n2+2020n+1，表示抛物线f（n）＝3n2+2020n+1当n为正整数时对应的函数值，
又y＝3n2+2020n+1为开口向下的抛物线，
故到对称轴n距离越近的点，函数值越大，
故当n＝337时，an＝f（n）有最大值，
故选：B．
9．大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取特殊值代入即可求解结论．
【解答】解：因为第一项为0，故D错；
第三项为4，故AC错；
故选：B．
10．（多选）下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（ ）
A．anB．an＝sin2
C．an＝cs2D．an
【分析】分n为奇数和偶数分别验证即可．
【解答】解：可以验证，当n为奇数时，ABCD对应的项均为1，
当n为偶数时，ABCD对应的项均为0，
故选：ABCD．
11．在数列中，第3项是 ；是它的第 项．
【分析】根据题意，设该数列为{an}，易得an，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设该数列为{an}，则数列的通项公式为an，
则其第三项a3，
若an，解可得n＝7，
故答案为：，7．
12．已知数列{an}的前项n和为Sn＝n2，则a4＝ ．
【分析】根据题意，分析可得a4＝S4﹣S3，代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}的前项n和为Sn＝n2，则a4＝S4﹣S3＝42﹣32＝16﹣9＝7；
故答案为：7
13．已知数列{an}满足an，则S3＝ ．
【分析】求出数列的前3项，然后求解即可．
【解答】解：数列{an}满足an，
可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，
所以S3＝1+3+6＝10．
故答案为：10．
14．已知数列{an}的通项公式为．若a1＝1，a2＝3，则a7＝ ．
【分析】由，a1＝1，a2＝3，可得：a+b＝1，a2+b2＝3，由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，解得b，a．不妨取b，a．即可得出a7．
【解答】解：∵，a1＝1，a2＝3，
∴a+b＝1，a2+b2＝3，
由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，
解得b，
∴b，a；b，a．
不妨取b，a．
可得：an，
则a7＝a7+b729．
故答案为：29．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝﹣3n2+37n，则数列{an}中最小正项是 项．
【分析】Sn＝﹣3n2+37n，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，n＝1时，a1＝S1．可得an，令an＞0，解得n，可得数列{an}中最小正项．
【解答】解：Sn＝﹣3n2+37n，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣3n2+37n﹣[﹣3（n﹣1）2+37（n﹣1）]＝﹣6n+40，
n＝1时，a1＝S1＝﹣3+37＝34．对于上式成立．
可得an＝﹣6n+40．
令an＝﹣6n+40＞0，解得n6．
∴数列{an}中最小正项是第6项．
故答案为：6．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，2n+1，则a1+a7＝ ．
【分析】由题意利用数列的前n项和与第n项的关系，求得结果．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，2n+1，故 Sn＝2n2+n﹣1，
∴a1＝S1＝2，a7＝S7﹣S6＝（2×72+7﹣1）﹣（2×62+6﹣1）＝27，
则a1+a7＝2+27＝29，
故答案为：29．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+2n+1，则数列{an}的通项公式an＝ ．
【分析】根据公式an计算，并检验是否可以合并．
【解答】解：n＝1时，a1＝S1＝4；
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n+1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝2n+1，
n＝1时不符合上式，
∴an，
故答案为：．
18． 18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每一项除以10得到：0.4，0.7，1.0，，5.2，10.0，…，这个数列称为提丢斯数列．则提丢斯数列的通项an＝ ．
【分析】由题意可得：n≥3，10an﹣4，为数列0，3，6，12，24，48，96，192，…，可得：10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．验证n＝1，2时，即可得出．
【解答】解：由题意可得：n≥3，10an﹣4，为数列0，3，6，12，24，48，96，192，…，
∴10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．
n＝2时，a2＝0.7，也满足条件．
n＝1时，a1＝0.4．
故答案为：an，n∈N*．
19．已知数列{an}的通项公式为an．
（1）求这个数列的第10项；
（2）在区间（）内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请明理由．
【分析】（1）根据题意，由数列的通项公式可得a10，即可得答案；
（2）根据题意，解可得n的取值范围，进而分析可得n的值，据此可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，数列{an}的通项公式为an，
则a10；
（2）根据题意，，解可得：n，
又由n为正整数，则n＝2，
则在区间（）内只存在数列的一项．
20．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣5n+4
（1）数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【分析】（1）令an＝n2﹣5n+4＜0，解出n的范围，由此可得负项的项数；
（2）对an进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值．
【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，
故数列中有两项为负数；
（2）an＝n2﹣5n+4，
因此当n＝2或3时，an有最小值，最小值为﹣2．
[B组]—强基必备
1．已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（ ）
A．515B．896C．1027D．1792
【分析】根据条件，通过限定t的取值，先判断符合条件的项有多少，将数列问题转化为排列组合问题；再推断a121项所在的位置，进而求得a121的值．
【解答】解：当t＝2时，r只能取0，s只能取1，故符合条件的项有项；
当t＝3时，r和s从0，1，2中取两个，故符合条件的项有项；
同理，当t＝4时，符合条件的项有项；
以此类推可知，因为；
∴a121是当t＝10时，r，s，t所组成的最小的项，即r＝0，s＝1；
∴；
故选：C．
2．设0＜α，若x1＝sinα，xn+1＝（sinα）（n＝1，2，3…），则数列{xn}是（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．奇数项递增，偶数项递减的数列
D．偶数项递增，奇数项递减的数列
【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0＜sinα＜1，进而可得函数y＝（sinα）x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，0＜α，则0＜sinα＜1，
指数函数y＝（sinα）x为减函数，
∴（sinα）1＜（sinα）sinα＜（sinα）0＝1，
即，
∴，
即0＜x1＜x3＜x4＜x2＜1，
∴，
即0＜x1＜x3＜x5＜x4＜x2＜1，…，
0＜x1＜x3＜x5＜x7＜…＜x8＜x6＜x4＜x2＜1．
∴数列{xn}是奇数项递增，偶数项递减的数列
故选：C．
3．定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则an＝ ．
【分析】当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，则由此可求得an．
【解答】解：由题意得：当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，
{x{x}}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，
所以，当x∈（0，1]时，{x{x}}有1个；当x∈（1，2]时，{x{x}}有2个；当x∈（2，3]时，{x{x}}有3个；……，当x∈（n﹣1，n]时，{x{x}}有n个．
所以x∈（0，n]时，{x{x}}共有1+2+3+……+n个数．
故．
故答案为：．