2024年新高考数学一轮复习达标检测第60讲离散型随机变量的均值与方差正态分布（学生版）

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1．已知随机变量X～B（6，），D（2X+1）＝（ ）
A．6B．9C．2D．4
2．若随机变量X的分布列为
则X的数学期望E（X）＝（ ）
A．2a+bB．a+2bC．2D．3
3．随机变量X的分布列如表，则D（X）＝（ ）
A．B．C．D．
4．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量X的取值为1，2，3，若，E（X）＝2，则P（X＝2）＝（ ）
A．B．C．D．
6．已知ξ的分布列为
设η＝2ξ﹣5，则E（η）＝（ ）
A．B．C．D．
7．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞8）＝0.15，则P（2≤ξ＜5）＝（ ）
A．0.3B．0.35C．0.5D．0.7
8．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1，D（X）＝，则P（X＝1）的值为（ ）
A．B．C．D．
9．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X表示向上一面出现6点的次数，则X的数学期望E（X）的值为（ ）
A．B．C．D．
10．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取i（i＝1，2）个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为Xi（i＝1，2），则（ ）
A．P（X1＝2）＞P（X2＝2），E（X1）＞E（X2）
B．P（X1＝2）＜P（X2＝2），E（X1）＞E（X2）
C．P（X1＝2）＞P（X2＝2），E（X1）＜E（X2）
D．P（X1＝2）＜P（X2＝2），E（X1）＜E（X2）
11．（多选）设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝3X+1，则下列结果正确的有（ ）
A．q＝0.2B．EX＝2，DX＝1.4
C．EX＝2，DX＝1.8D．EY＝7，DY＝16.2
12．（多选）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
A．抽取2次后停止取球的概率为
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数ξ的期望为2
D．取球次数ξ的方差为
13．若，则E（2X﹣1）＝ ．
14．已知离散型随机变量X的分布列为
则q＝ ，D（2X+5）＝ ．
15．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝ ，E（ξ）＝ ．
16．若随机变量X～N（μ，σ2），P（X＞4）＝P（X＜﹣2）＝0.1，则P（1≤X≤4）＝ ．
17．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（x）＝3，D（X）＝2，则p＝ ，P（X＝1）＝ ．
18．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有 种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用ξ示他遇到红灯的次数，则E（ξ）＝ ．（用数字作答）
19．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小华每次投掷的结果相互独立．
（1）求小华恰好套中一次的概率；
（2）求小华总分X的分布列及数学期望．
20．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元．
（1）记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的数学期望；
（2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由．
21．2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个．已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（1）求甲、乙两人共答对2个问题的概率；
（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；
（3）求乙答对题目数的分布列和期望．
22．随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条．花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后来说，他们更习惯提前消费．某研究机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：
每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率．
（1）估计90后使用蚂蚁花呗的概率；
（2）在所抽取的1000人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记X为这4人中使用蚂蚁花呗的人数，求X的分布列及数学期望和方差．
23．某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率为，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为、购买B产品的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为Pn．
（1）求P2，并证明数列是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求E（X）；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A、B产品各多少份．（直接写结论、不必说明理由）．
[B组]—强基必备
1．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n（1≤n≤6，n∈N*）个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着n（1≤n≤6，n∈N*）的增加，下列说法正确的是（ ）
A．Eξ增加，Dξ增加B．Eξ增加，Dξ减小
C．Eξ减小，Dξ增加D．Eξ减小，Dξ减小
2．一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球3个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依此取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1，则Eξ1＝ ；若第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球．记取出的红球总数为ξ2，则Eξ2＝ ．
3．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn﹣1+qn﹣1的递推关系式和Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．X
1
2
3
P
a
b
a
X
0
1
P
ξ
1
2
3
4
P
m
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
P
q2
信用支付方式
银行信用卡
蚂蚁花呗
京东白条
其他
人数
300
a
150
50