高中数学高考8 第8讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布　新题培优练

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这是一份高中数学高考8 第8讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布　新题培优练，共9页。

[基础题组练]
1．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X>1)＝p，则P(－1 A.＋p　 B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：选D.因为随机变量X服从正态分布N(0，1)，所以正态分布曲线关于直线x＝0对称，
所以P(X>0)＝P(X<0)＝，P(X>1)＝P(X<－1)＝p，所以 P(－1 2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.
3．(2018·安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有(　　)
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ A．4 093件 B．4 772件
C．6 827件 D．8 186件
解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ 4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)
A．6，2.4 B．2，2.4
C．2，5.6 D．6，5.6
解析：选B.由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.
因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)
A．3 B.
C．2 D.
解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，未通过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
6．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知随机变量X服从正态分布N(72，4)，则P(X<70或X>76)等于________．
(附：(P(μ－σ 解析：因为随机变量X服从正态分布N(72，4)，所以μ＝72，σ＝2，所以P(7076)＝0.022 75，所以P(X<70或X>76)＝0.158 65＋0.022 75＝0.181 4.
答案：0.181 4
7．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
8．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
9．(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)．

解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，
解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，
而50个样本中小球重量的平均数为＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克．
(2)该盒子中小球重量在[5，15]内的概率为，
则X～B，X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C×＝，
P(X＝2)＝C×＝，
P(X＝3)＝C＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或者E(X)＝3×＝.)
10．(2019·长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益/万元
20
15
10
7.5
若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．
解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6，
基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.
所以基地收益X的分布列为
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，
所以基地的预期收益为14.4万元．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，
则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)．
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．
[综合题组练]
1．某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．
(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：瓶，n∈N)的函数解析式；
(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为5)：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望；
②若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．
解：(1)当n≥30时，y＝30×(7－3)＝120；
当n≤29时，y＝(7－3)n－3(30－n)＝7n－90.故y＝，n∈N.
(2)①X的可能取值为85，92，99，106，113，120，
P(X＝85)＝0.05，
P(X＝92)＝0.1，
P(X＝99)＝0.1，
P(X＝106)＝0.05，
P(X＝113)＝0.1，
P(X＝120)＝0.6.
X的分布列为
X
85
92
99
106
113
120
P
0.05
0.1
0.1
0.05
0.1
0.6
E(X)＝(85＋106)×0.05＋(92＋99＋113)×0.1＋120×0.6＝111.95.
②购进29瓶时，当天利润的数学期望为t＝(25×4－4×3)×0.05＋(26×4－3×3)×0.1＋(27×4－2×3)×0.1＋(28×4－1×3)×0.05＋29×4×0.7＝110.75，
因为111.95＞110.75，所以应购进30瓶．
2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率

购买基金
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p

q
(1)当p＝时，求q的值．
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．
解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p＋＋q＝1.又p＝，所以q＝.
(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则C＝A∪A∪AB，且A，B独立．
由题意可知，P(A)＝，P(B)＝p，
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)
＝(1－p)＋p＋p＝＋p.
因为P(C)＝＋p＞，所以p＞.
又p＋＋q＝1，q≥0，所以p≤.
所以p的取值范围为.
(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，
所以随机变量X的分布列为
X
4
0
－2
P

则E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝.
假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，
所以随机变量Y的分布列为
Y
2
0
－1
P

则E(Y)＝2×＋0×＋(－1)×＝.
因为E(X)＞E(Y)，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为

(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
(ⅱ)由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)
＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，所以
p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1
＝.
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．