2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题34平面向量的数量积及其应用（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题34平面向量的数量积及其应用（学生版），共8页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
【考点预测】
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【方法技巧】
1.计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
2.求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
3.求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
4.用向量方法解决实际问题的步骤
二、【题型归类】
【题型一】平面向量数量积的基本运算
【典例1】a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.
【典例2】在平面四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|
＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(2,3)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
【典例3】在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若eq \(BD,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，则x＋y＝________；②eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝________.
【题型二】平面向量数量积的简单应用
【典例1】设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
【典例2】已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉等于( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)
【典例3】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
【题型三】两平面向量垂直问题
【典例1】已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【典例2】已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq \r(3)，eq \r(2))，则|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(5)
C.eq \r(17) D．eq \r(15)
【典例3】(多选)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【题型四】向量数量积的综合应用
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
【典例2】已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求边c的长．
【题型五】平面向量的实际应用
【典例1】已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
【典例2】若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2) N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
三、【培优训练】
【训练一】在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若eq \(CP,\s\up6(→))＝xeq \(CD,\s\up6(→))＋yeq \(CE,\s\up6(→))，则x＋y的值可以是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【训练二】已知f(x)＝eq \f(\r(3),2)|sin πx|，A1，A2，A3为图象的顶点，O，B，C，D为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5.记ni＝eq \(OA2,\s\up6(—→))·eq \(OQi,\s\up6(—→))(i＝1,2，…，5)，则n1＋…＋n5的值为( )
A.eq \f(15,2)eq \r(3) B．45 C.eq \f(45,2) D.eq \f(15,4)eq \r(3)
【训练三】定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sina，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；
③若a＝λb，则a⊗b＝0；
④若a＝λb且λ>0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．
正确的序号是________．
【训练四】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝eq \f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
【训练五】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
【训练六】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
四、【强化测试】
【单选题】
1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A.－eq \f(9,2) B.0 C.3 D.eq \f(15,2)
2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
3. 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
4. 已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
5. 在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(2，t)，则|eq \(CD,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \r(5) B．5 C．2eq \r(5) D．20
6. a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
7. 若向量eq \(OF1,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A.eq \r(10) B．2eq \r(5)
C.eq \r(5) D．eq \r(15)
8. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为( )
A.eq \f(3,2) B．eq \r(3)
C．2 D．3
【多选题】
9. (多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
10. 如图，点A，B在圆C上，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
11. 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
12. 已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为eq \f(\r(3),2)，则|e1＋e2|等于( )
A．1 B.eq \r(3) C．3 D．2
【填空题】
13. 设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
14. 已知点M，N满足|eq \(MC,\s\up6(→))|＝|eq \(NC,\s\up6(→))|＝3，且|eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))|＝2eq \r(5)，则M，N两点间的距离为________．
15. 若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
16. 已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
【解答题】
17. 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
19. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
20. 已知向量m＝(eq \r(3)sin x，cs x－1)，n＝(cs x，cs x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝eq \r(3)，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
21. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ceq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值.