2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第57讲二项式定理（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第57讲二项式定理（教师版），共5页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数的性质等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
题型归纳
题型1二项展开式中特定项及系数问题
【例1-1】二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的展开式中，eq \r(x)项的系数是( )
A.eq \f(15,2) B．－eq \f(15,2)
C．15 D．－15
【解析】选B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的二项展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝(－1)r22r－10Ceq \\al(r,10)x，令5－eq \f(3r,2)＝eq \f(1,2)，得r＝3，所以eq \r(x)项的系数是(－1)3·2－4·Ceq \\al(3,10)＝－eq \f(15,2).故选B.
【例1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的展开式中的常数项为________．
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8x3)))r＝Ceq \\al(r,8)28－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))r·x8－4r.
令8－4r＝0，得r＝2，∴ 常数项为T3＝Ceq \\al(2,8)26eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))2＝28.
【答案】28
【跟踪训练1-1】在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)·(eq \r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，
当项为常数项时，r＝0，T1＝Ceq \\al(0,9)·(eq \r(2))9·x0＝(eq \r(2))9＝16eq \r(2).
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
【答案】16eq \r(2) 5
【跟踪训练1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.
【解析】法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(ax)6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))r＝Ceq \\al(r,6)a6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ceq \\al(3,6)a6－3＝160，解得a＝2.
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))，要得到常数项，则需ax与eq \f(1,x)的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ceq \\al(3,6)a3＝160，解得a＝2.
【答案】2
【名师指导】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).
题型2二项式系数的性质及各项系数和
【例2-1】(1)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
【解析】 (1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ceq \\al(2,6)a4b2，x5项的系数为Ceq \\al(1,6)a5b，则由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(2,6)a4b2＝135，,C\\al(1,6)a5b＝－18，))解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.
(2)由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－x)r＝Ceq \\al(r,5)(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.
(3)二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Ceq \f(n,2)n，即得eq \f(n,2)＝5，解得n＝10.
【答案】 (1)D (2)A (3)10
【跟踪训练2-1】若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A．6eq \r(3,x)B.eq \f(4,\r(x))
C．4xeq \r(6,x)D.eq \f(4,\r(x)) 或4xeq \r(6,x)
【解析】选A 令x＝1，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是Ceq \\al(2,4)(eq \r(x))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq \r(3,x).
【跟踪训练2-2】已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( )
A．1 B．243
C．121 D．122
【解析】选B 令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
【跟踪训练2-3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
【解析】令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
【答案】－3或1
【跟踪训练2-4】已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
【解析】由已知得Ceq \\al(n－2,n)＋Ceq \\al(n－1,n)＋Ceq \\al(n,n)＝121，则eq \f(1,2)n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝Ceq \\al(7,15)(3x)7和T9＝Ceq \\al(8,15)(3x)8.
【答案】Ceq \\al(7,15)(3x)7和Ceq \\al(8,15)(3x)8
【名师指导】
1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
题型3多项式展开式中特定项系数问题
【例3-1】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是( )
A．10 B．15
C．20 D．25
【解析】 含x2项的系数为Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,5)＝20.
【答案】 C
【例3-2】(1) (1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
【解析】 (1)(1＋x)4的二项展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)xk(k＝0,1,2,3,4)，故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为Ceq \\al(3,4)＋2Ceq \\al(1,4)＝12.故选A.
(2)(ax＋1)6的展开式中x2的系数为Ceq \\al(4,6)a2，x的系数为Ceq \\al(5,6)a，因为(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，所以－Ceq \\al(4,6)a2＋Ceq \\al(5,6)a＝0，解得a＝0或a＝eq \f(2,5).因为a为正实数，所以a＝eq \f(2,5).
【答案】 (1)A (2)eq \f(2,5)
【例3-3】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋2))5的展开式中x2的系数是________．
【解析】 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＋2))5的展开式中，含x2的项为2Ceq \\al(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4,23Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,4)＋23Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(0,2)＝40＋80＝120.
【答案】 120
【跟踪训练3-1】在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－1))6的展开式中，含x5项的系数为( )
A．6 B．－6
C．24 D．－24
【解析】选B 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－1))6＝Ceq \\al(0,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))6－Ceq \\al(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))5＋Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4－…－Ceq \\al(5,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＋Ceq \\al(6,6)，可知只有－Ceq \\al(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))5的展开式中含有x5，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－1))6的展开式中含x5项的系数为－Ceq \\al(0,5)Ceq \\al(1,6)＝－6，故选B.
【跟踪训练3-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－3x＋\f(4,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5的展开式中常数项为( )
A．－30 B．30
C．－25 D．25
【解析】选C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－3x＋\f(4,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5＝x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5＋eq \f(4,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－1)req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))r，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝Ceq \\al(4,5)(－1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))4，令r＝2，T3＝Ceq \\al(2,5)(－1)2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))2，故所求常数项为Ceq \\al(4,5)－3×Ceq \\al(2,5)＝5－30＝－25，故选C.
【名师指导】
1. 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
3.(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法