安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题

这是一份安徽省皖北县中联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题，共8页。试卷主要包含了的展开式中含的项的系数为，“谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影，已知实数，且，，，则，已知四面体满足，，则等内容，欢迎下载使用。

1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的三个花盆中，不同的种植方法有（ ）
A．81种B．64种C．24种D．4种
2．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．5B．80C．85D．88
4．“谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影．”是宋代文学家苏轼的《东坡题跋·记游定惠院》中的优美诗句，通过描绘人的影子，表达了作者孤独而自由的心境．如图，为固定的一盏路灯，为垂直于轴的人，为该人在路灯下的黑影，若人沿轴正方向均匀垂直向前移动，则点所作的运动是（ ）
A．匀速B．减速C．加速D．先减速后加速
5．如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．设数列的前项和为，已知，，若，则正整数的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
7．已知实数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，经过的直线交双曲线的左支于，，内切圆的圆心为，的角平分线交于，且，若的面积记为，的面积记为，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“点”，下列函数中，具有“点”的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知四面体满足，，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．点为直线上的动点，到距离的最小值为
D．二面角平面角的余弦值为
11．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ）
A．可能为等差数列
B．可能为等比数列
C．均能写成的两项之差
D．对任意，，总存在，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，则的最小值是______．
13．已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______．
14．已知函数若对任意实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值集合为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数，其导函数为，不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
16．（本小题满分15分）
在二项式的展开式中，______．给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；
②若展开式中第四项与第五项的二项式系数比值为．
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中含的项．
（备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分）
17．（本小题满分15分）
近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力．某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏．游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份．游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止．
（1）若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？
（2）若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？
（3）游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员．三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人．试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？
18．（本小题满分17分）
已知函数，记的图象为曲线．
（1）若以曲线上的任意一点为切点作的切线，求切线的斜率的最小值；
（2）求证：以曲线上的两个动点，为切点分别作的切线，，若恒成立，则动直线恒过某定点．
19．（本小题满分17分）
自然常数是自然对数的底数，是极为重要的常数，通常称为欧拉数．它的发现和研究跨越了多个世纪，涉及了众多数学家的贡献，从雅各布·伯努利的早期工作到莱昂哈德·欧拉的深入研究，再到现代数学家对其性质的进一步探索，充分展现了数学知识的积累和发展，以及数学精神的传承．瑞士数学家雅各布·伯努利于1683年通过研究复利首先发现，即是数列的极限．
（1）证明：；
（2）已知函数．
①若，证明：；
②讨论的极值点的个数．
2023~2024学年第二学期安徽县中联盟高二3月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．613．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．解：（1）由的解集为，
则，．
（2），，，则
则，
由，，则．
16．解：（1）选择①：依题意，得，即，
即，即，解得或（舍去）．
所以的展开式中，
当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，考虑，
根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即．
选择②：依题意，得，即，解得．
所以的展开式中，
当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，此时
根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即．
（2）由（1）得的展开式中，令，得，
所以的展开式中含的项为．
17．解：（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法，
再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法，
再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法．
所以共有种不同的搜索方法．
（2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”，
则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现，
所以共有种不同的搜索方法．
（3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花．这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙．同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中．因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况．
设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中．
则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数，
所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针），
则，．
所以，，，，
综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种．
18．解：（1）由，得，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
当且仅当，即当切点为时，切线斜率取得最小值．
（2）设，坐标分别为，，且．
由知，即，
从而，所以，
此时
，
从而，点是线段的中点，即动直线恒过定点．
另解：
（2）设，坐标分别为，，且．
由知，即，
从而，所以，
则直线的方程为，
即，
则有时，，得，．
即动直线恒过定点．
19．解：（1）当时，符合；
当时，由二项式定理，
，
由，知；
另一方面，，，
则
，
综上，．
（2）①当时，，，，，
由在上单调递增，
知当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
从而．
②函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
当时，，，所以函数在内有一个零点，
且，，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
当时，由①知，函数在上有且仅有一个极值点；
当时，，，
因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
且，，，
故在单调递减，在单调递增；
所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
A
B
C
B
A
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD
AC
2
大于零
等于零
小于零
单调递增
极大值
单调递减