本溪市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份本溪市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足，则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A.192B.240C.96D.48
4．下列函数中，最小值为2的是( )
A.B.
C.D.
5．标准的围棋共19行19列，361个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是( )（）
A.B.C.D.
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则( )
A.B.C.D.
7．过双曲线C：内一点且斜率为的直线交双曲线于A，B两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系xOy中，，，若直线上存在点P满足，则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为棱BC，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.B.
C.直线与所成角的余弦值为D.Q到平面的距离为
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则( )
A.四名同学的报名情况共有种
B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
11．已知点P是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是( )
A.的面积为
B.若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C.内切圆的面积为
D.点P的纵坐标为
12．已知函数，的定义域均为R，为偶函数，，且当时，，则( )
A.的图象关于点对称
B.
C.
D.方程在区间上的所有实根之和为260
三、填空题
13．抛物线C：的准线方程为______.
14．某产品的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下表：
据上表可得回归直线方程为，则______.
15．已知的展开式中常数项为80，则______.
16．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是______.
四、解答题
17．在等差数列中，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
18．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
（1）求角B的大小；
（2）AC边上的中线，求的面积的最大值.
19．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，.
20．设是数列的前n项和，.
（1）求的通项公式，并求的最小值；
（2）设，求数列的前n项和.
21．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点.
（1）求点B到平面EAC的距离；
（2）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为，求出的值.
22．已知A，B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，.P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
参考答案
1．答案：B
解析：集合，，.故选：B.
2．答案：C
解析：，则，即，其虚部为.故选：C.
3．答案：A
解析：丙在正中间（4号位），甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有种情况，故不同的坐法的种数为.故选A.
4．答案：B
解析：当时，，故A错误；，当且仅当，即时取等号，故B正确；当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误.，当且仅当，时取等号，又，故D错误；故选：B.
5．答案：A解析：由题意，对于，有，所以，分析选项A中与其最接近.故选：A.
6．答案：A
解析：因为函数是定义在R上的偶函数，则，，由在定义域内单调递减，则；由在定义域内单调递增，则；由在内单调递增，则；故，又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以.故选：A.
7．答案：D
解析：设，，由题意可得，，且，又因为，两式相减得，即有，所以，则，则双曲线C的离心率.故选D.
8．答案：C
解析：设点P的坐标为，因为，，，所以，整理得：，所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；所以圆心到的距离为，要使直线上存在点P满足，只需满足直线与圆相交或相切.即，解得：.故选：C.
9．答案：ABC
解析：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
对于选项A，，，则有，所以，故，所以选项A正确；
对于选项B，，因为，所以，故，所以选项B正确；
对于选项C，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为，故选项C正确；
对于选项D，因为，，设平面的法向量为，
则有，即，令，则，，所以，
又，故Q到平面的距离为，故选项D错误.故选：ABC.
10．答案：CD
解析：对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；对于D，由已知有：，，所以，D正确.
11．答案：AC
解析：椭圆的方程为，则，，，根据椭圆定义得.对于A选项，①，在中，由余弦定理得，即②，由①和②得，则的面积，故A选项正确.
对于B选项，设点，则，，当时，取得最大值5，故B选项错误.
对于C选项，设内切圆的半径为r，由A选项知的面积为，则，即，解得，所以内切圆的面积为，故C选项正确.
对于D选项，由A选项知的面积为，则，即，故D选项错误.故选：AC.
12．答案：ABD
解析：因为为偶函数，所以，即，又，可得，故的图象关于点对称，故A正确；
，故是以4为周期的周期函数，根据题意，，，，，，故，故B正确；
，其中，故，故C错误；
是周期函数，最小正周期是8，由，得其对称轴为，，显然与的图象有公共的对称轴，，方程的实根是与的图象的公共点的横坐标，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可知，，所以，由图易知在，，…，上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，故在区间上的所有实根之和为，故D正确.故选：ABD.
13．答案：
解析：抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为.
14．答案：77
解析：由题意可得，，所以样本中心点的坐标为，代入回归直线方程，得，解得.
15．答案：
解析：由展开式的通项公式为，令，无整数解，令，解得，，令，解得，，∴展开式中的常数项为，解得.故答案为.
16．答案：
解析：将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，因为正四面体ABCD的棱长为4，所以正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为.故答案为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
则，解得，
则，.
（2），，，…，构成首项为，公差为9的等差数列.
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选①在中，因为，
故由可得，
由正弦定理得：，即，
则，又，故；
选②，则，，
又，；
选③由及正弦定理得：，
又，所以，
即，因为，，
所以，
又，得；
综上所述：选择①②③，都有.
（2），
当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.
19．答案：（1）有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关
（2）见解析
解析：（1）依题意可得列联表如下：
零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联，
则，
我们有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关.
（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.
则X的可能取值为0、1、2、3，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
所以.
20．答案：（1）-36
（2）
解析：（1）由数列的前n项和，
当时，；
当时，
；
令时，，满足题意，
所以数列的通项公式，，
由得，
，2，3，4时，时，
的最小值为.
（2）由（1）知，当时，；
时，，，
当时，.
当时，，
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接MC，是正三角形，，又M是AB的中点，，
平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，
平面ABCD，
又平面ABCD，，在菱形ABCD中，，是正三角形，
.
ME、MC、MB两两垂直.
以点M为坐标原点，MB、MC、ME所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面ACE的一个法向量，
则，令，
得，
设点B到平面ACE的距离为d，则，
所以点B到平面EAC的距离为.
（2）由题意可知，平面ABE的一个法向量为，
，，
设，
则，
直线AP与平面ABE所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意，，，，，
，
椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，，
设，则直线PA的方程为，
联立，
由韦达定理，
代入直线PA的方程得，，
即，
直线PB的方程为，
联立，
由韦达定理，
代入直线PB的方程得，，
即，
直线CD的斜率，
直线CD的方程为，
整理得，
直线CD过定点.
x
6
7
8
9
y
40
31
24
21
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
X
0
1
2
3
P