2023-2024学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 0.3×10−6B. 3×10−6C. 3×10−7D. 3×107
3.下列各式的变形中，是因式分解的是( )
A. 3x(2x+5)=6x2+15xB. 2x2−x+1=x(2x−1)+1
C. x2−xy=x(x−y)D. (x+1)(x+3)=x2+4x+3
4.下列计算正确的是( )
A. a6÷a2=a3B. (−1)0=0C. (−12)−2=14D. 2a5⋅a3=2a8
5.若一个多边形的每一个内角都等于120∘，则它的边数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB//ED，AC//FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE
B. AC=DF
C. ∠A=∠D
D. BF=EC
7.若分式x2−92x+6的值为0，则x的值为( )
A. 3B. −3C. ±3D. 0
8.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB=7，AC=6，BC=8，则△APC周长的最小值是( )
A. 13
B. 14
C. 15
D. 13.5
9.已知x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值为( )
A. ±10B. 10C. −10D. ±5
10.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h.根据题意，下列方程正确的是( )
A. 15x+12=152xB. 15x=152x+12C. 15x+30=152xD. 15x=152x+30
11.如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为( )
A. 1
B. 32
C. 54
D. 43
12.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①△EPF是等腰直角三角形；
②∠AFE=∠FPC；
③S四边形AEPF=12S△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，BE+CF=EF.
上述结论中始终正确的有( )
A. ①②B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知点P1(−1,5)关于x轴对称的点P2的坐标是(a,b)，则a+b=______.
14.分解因式：x3−xy2=______.
15.已知等腰三角形的一个顶角的度数为70∘，则它的底角的度数是__________.
16.已知xm=3，xn=2，则x2m+n=______.
17.如图，△ABC的外角的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，若AD=2，AC=8，则AB=______.
18.若整数a使关于x的分式方程ax−3+43−x=12的解为非负数，且使关于y的不等式组y+7≤2(y+4)5y−a3<1有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______.
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
计算和解方程：
(1)计算：[(2x−y)2−(2x−3y)(2x+3y)]÷2y；
(2)解方程：1x−2=1−x2−x−3.
20.(本小题7分)
先化简，再求值：(m+2−5m−2)÷m2−6m+9m−2，其中m满足与2和3构成△ABC的三边，且m为整数.
21.(本小题7分)
如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C=65∘，∠BED=68∘，求∠ABC和∠BAC的度数.
22.(本小题7分)
如图，点D在线段BC上，∠B=∠C=∠ADE=60∘，AB=DC.
(1)求证：△ABD≌△DCE；
(2)判断△ADE是什么特殊三角形，并说明理由.
23.(本小题9分)
习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
24.(本小题9分)
已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
(1)如图1，点B的坐标是(0,1).
①若∠ABO=60∘，则AB=______；
②若A的坐标是(−3,0)，求点C的坐标；
(2)如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间的数量关系；
(3)如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意.
故选：C.
2.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10−7.
故选：C.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n(1≤|a|<10,n是正整数)，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法-表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3.【答案】C
【解析】解：A.3x(2x+5)=6x2+15x，是整式乘法，故不符合题意；
B.2x2−x+1=x(2x−1)+1，没没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不符合题意；
C.x2−xy=x(x−y)，是因式分解，故符合题意；
D、(x+1)(x+3)=x2+4x+3，是整式乘法，故不符合题意．
故选：C.
直接利用因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意；
B、(−1)0=1，故此选项不符合题意；
C、(−12)−2=4，故此选项不符合题意；
D、2a5⋅a3=2a8，故此选项符合题意；
故选：D.
根据同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘单项式法则分别计算判断即可．
本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘单项式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于120∘，
∴多边形的每一个外角都等于180∘−120∘=60∘，
∴边数n=360∘÷60∘=6.
故选：A.
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360∘除以每一个外角的度数即可得到边数．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
6.【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C.
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
7.【答案】A
【解析】解：∵分式x2−92x+6的值为0，
∴x2−9=0且2x+6≠0，
∴x=3，
故选：A.
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
8.【答案】A
【解析】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC=6+7=13.
故选：A.
根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
9.【答案】A
【解析】解：∵x2+mx+25是一个完全平方式，
∴mx=±2⋅x⋅5，
解得：m=±10.
故选：A.
根据完全平方式的定义得出mx=±2⋅x⋅5，再求出m即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
10.【答案】B
【解析】解：∵骑车师生的速度为xkm/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2xkm/h，
又∵30min=12h，
∴15x=152x+12.
故选：B.
首先根据题意得汽车的速度是2xkm/h，再将30min转化为12h，然后根据“同时到达”列出方程即可得出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，解答此题的关键是求出汽车的速度，进而根据“同时到达”列出方程，特别提醒：单位要统一，这也是解答此题的易错点之一．
11.【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60∘，AB=AC=BC=2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD=∠CEF=90∘，
∴∠ADF=∠CFE=90∘−60∘=30∘，
∴AF=12AD，CE=12CF(30∘所对直角边等于斜边的一半)，
∵点D是AB的中点，
∴AD=1，
∴AF=12，CF=32，CE=34，
∴BE=BC−CE=2−34=54.
故选：C.
根据在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．
本题考查了含30∘角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30∘角直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠C=45∘，
∵P是BC的中点是，
∴AP⊥BC，PA=PB=PC=12BC，∠PAB=∠PAC=12∠BAC=45∘，
∴∠PAB=∠C，∠APC=90∘，
∵∠EPF=90∘，
∴∠EPA=∠FPC=90∘−∠APF，
在△APE和△CPF中，
∠PAE=∠CPA=PC∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF(ASA)，
∴PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
故①正确；
∴∠PEF=∠PFE=45∘，
∴∠PEF=∠PAC，
设EF交PA于点G，则∠EPA=∠AGE−∠PEF=∠AGE−∠PAC=∠AFE，
∵∠EPA=∠FPC，
∴∠AFE=∠FPC，
故②正确；
∵S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPFA=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=12S△ABC，
故③正确；
∵S四边形AEPFA=S△APC=S△APB，
∴S△PEF+S△AEF=S△APB，
∴S△PEF∵S△PEF=12PE⋅PF=12PE2，S△APB=12PA⋅PB=12PB2，
∴12PE2<12PB2，
∴2PE2<2PB2，
∵EF2=PE2+PF2=2PE2，AB2=PA2+PB2=2PB2，
∴EF2∴EFEF，
∵AE=CF，
∵AB=BE+AE=BE+CF，
∴BE+CF>EF，
故④错误，
故选：C.
由AB=AC，∠BAC=90∘，得∠B=∠C=45∘，由P是BC的中点是，得AP⊥BC，PA=PB=PC，∠PAB=∠PAC=45∘，则∠PAB=∠C，∠APC=90∘，而∠EPF=90∘，则∠EPA=∠FPC=90∘−∠APF，即可证明△APE≌△CPF，得PE=PF，则△EPF是等腰直角三角形，可判断①正确；设EF交PA于点G，可证明∠EPA=∠AFE，所以∠AFE=∠FPC，可判断②正确；由S△APE=S△CPF，可推导出S四边形AEPFA=S△APC=12S△ABC，可判断③正确；由S△PEF+S△AEF=S△APB，得S△PEFEF，则BE+CF>EF，可判断④错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△APE≌△CPF是解题的关键．
13.【答案】−6
【解析】解：∵点P1(−1,5)关于x轴对称的点P2的坐标是(a,b)，
∴a=−1，b=−5，
∴a+b=−1−5=−6.
故答案为：−6.
根据关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标相同，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14.【答案】x(x+y)(x−y)
【解析】解：x3−xy2=x(x2−y2)=x(x+y)(x−y).
故答案为：x(x+y)(x−y).
提公因式x再运用平方差公式即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15.【答案】55∘
【解析】解：等腰三角形的一个顶角的度数为70∘，则它的底角的度数=12×(180∘−70∘)=55∘，
故答案为：55∘
根据等腰三角形的性质解答即可．
此题考查等腰三角形，关键是根据等腰三角形的两个底角相等解答．
16.【答案】18
【解析】解：x2m+n=(xm)2⋅xn=32×2=9×2=18，
故答案为：18.
利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法公式，x2m+n=(xm)2⋅xn=32×2代入求值．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
PB=PCPD=PE，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL)，
∴BD=CE，
在Rt△ADP和Rt△AEP中，
PD=PEAP=AP，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，
∴AD=AE，
∴AD+AB=AC−AE，
∴2+AB=8−2，
解得，AB=4，
故答案为：4.
根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，根据角平分线的性质得到PD=PE，证明Rt△BPD≌Rt△CPE，证明Rt△ADP≌Rt△AEP，得到AD=AE，进而解答即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18.【答案】21
【解析】解：分式方程可得：x=2a−5，因为分式方程的解为非负数，所以2a−5≥0，
解得：a≥52，
由于分式方程分母为x−3，
所以x≠3，即2a−5≠3，
所以a≠4，
解关于y的不等式组y+7≤2(y+4)5y−a3<1得：y≥−1y因不等式组有3个整数解，即−1，0，1三个整数解，
故2≥a+35>1，
解得：7≥a>2，
综上所得：7≥a>52且a≠4，则a的整数值为：3，5，6，7，
因为3+5+6+7=21，
故答案为：21.
先解分式方程，根据分式方程的解为非负数，所以2a−5≥0，得出a≥52，根据分式有意义的条件得出a≠4，然后解不等式组，根据不等式组有3个整数解，得出7≥a>2，继而求得整数a，求其和即可求解．
本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
19.【答案】解：(1)原式=(4x2−4xy+y2−4x2+9y2)÷2y
=(10y2−4xy)÷2y
=5y−2x；
(2)方程两边同乘(x−2)，得1=x−1−3x+6，
得x=2.
检验：当x=2时，x−2=0，
所以x=2是增根，原方程无解．
【解析】(1)原式利用乘法公式以及多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
(2)方程去分母化为整式方程，再解一元一次方程可得x的值，然后再进行检验即可．
考查了整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解(1)的关键，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解(2)的关键．
20.【答案】解：(m+2−5m−2)÷m2−6m+9m−2
=[(m+2)(m−2)m−2−5m−2]⋅m−2(m−3)2
=m2−4−5m−2⋅m−2(m−3)2
=(m+3)(m−3)m−2⋅m−2(m−3)2
=m+3m−3，
∵m足与2和3构成△ABC的第三边，
∴1∵m−2≠0，m−3≠0，
∴m≠2，3，
∴m=4，
当m=4时，原式=4+34−3=7.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据三角形的三边关系求出m的值，代入分式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及三角形的三边关系，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠BED+∠EBD=90∘，
∵∠BED=68∘，
∴∠EBD=22∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBD=44∘；
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180∘，
∵∠C=65∘，
∴∠BAC=71∘.
【解析】分析题意，根据AD是BC边上的高可得∠ADB=∠ADC=90∘，∠BED+∠EBD=90∘，再根据∠BED=68∘可求得∠EBD=22∘，根据BE平分∠ABC，可得∠ABC=2∠EBD=44∘，根据∠ABC+∠BAC+∠C=180∘，∠C=65∘可得∠BAC=71∘.
此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质，熟知三角形内角和是180∘是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=60∘+∠CDE，∠ADC=∠B+∠BAD=60∘+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
∠B=∠CAB=DC∠BAD=∠CDE，
∴△ABD≌△DCE(ASA)；
(2)解：△ADE是等边三角形，理由如下：
由(1)可知，△ABD≌△DCE，
∴AD=DE，
又∵∠ADE=60∘，
∴△ADE是等边三角形．
【解析】(1)证∠BAD=∠CDE，再由ASA证△ABD≌△DCE即可；
(2)由全等三角形的性质得AD=DE，再由等边三角形的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，
依题意得：15x+1=10x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2+1=3.
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，
依题意得：3m+2(20−m)≤46，
解得：m≤6.
答：甲种农机具最多能购买6件．
【解析】(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，利用数量=总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入(x+1)中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；
(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，利用总价=单价×数量，结合总价不超过46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)①2，②C(−1,4)(2)见解析(3)见解析
【解析】解：(1)①∵B(0,1)，
∴OB=1，
在Rt△AOB中，∠ABO=60∘，
∴∠OBA=30∘，
∴AB=2OB=2，
故答案为2；
②如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC=90∘=∠AOB，
∵A(−3,0)，B(0,1)，
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90∘，
∴∠ABO+∠CBH=90∘，
∵∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠CBH=∠BAO，
∴△ABO≌△BCH(AAS)，
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴OH=OB+BH=4，
∴C(−1,4)；
(2)OA=CD+OD；理由：
∵CD⊥y，
∴∠BDC=90∘=∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90∘，
∴∠ABO+∠CBD=90∘，
∵∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠CBD=∠BAO，
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴CD=OB，OA=BD，
∴OA=BD=OB+OD=CD+OD；
(3)CF=12AE，理由：
如图3，延长CF与AB，相交于G，
∴∠CBG=90∘，
∵CF⊥x轴，
∴∠BCG+∠G=90∘，
∵∠GAF+∠G=90∘，
∴∠BCG=∠GAF，
∴△ABE≌△CBG(ASA)，
∴AE=CG，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴CF=GF，
∴CF=12CG=12AE.
(1)①先求出OA=1，再用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论；
②利用三垂直，判断出△ABO≌△BCH，进而求出CH=1，BH=3，即可得出结论；
(2)同②的方法，即可得出结论；
(3)先判断出△ABE≌△CBG，进而得出AE=CG，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，利用三垂直判断两三角形全等是解本题的关键．