适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量解答题专项4第2课时求空间角课件新人教A版

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考点一 异面直线所成的角
例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PD=2,点E是PC的中点.(1)求证:BC∥平面PAD;(2)求直线AC与BE所成角的余弦值.
(1)证明 因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)解 因为PD⊥平面ABCD,AD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC,又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥DC,如图,以D为坐标原点,以直线DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(0,1,1),
[对点训练1](2024·江苏南京模拟)如图所示,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4,求异面直线AQ与PB所成角的正弦值.
解 由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则AC⊥BD,则OP⊥平面ABCD,OQ⊥平面ABCD,故PQ⊥平面ABCD.以O为坐标原点,以直线CA,DB,QP分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
考点二 直线与平面所成的角
例2(2023·全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,
又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.
(方法二　空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.
[对点训练2](2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB, AD=DC=CB=1,AB=2,DP= .(1)证明:BD⊥PA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PD⊥BD.取AB的中点E,连接DE.∵CD=1,BE= AB=1,CD∥BE,∴四边形CDEB是平行四边形,∴DE=CB=1.∵DE= AB,∴△ABD为直角三角形,AB为斜边,∴BD⊥AD.∵PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD,∴BD⊥PA.
考点三 平面与平面的夹角
例3(12分)(2023·新高考Ⅰ,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;
突破口:注意到正四棱柱各条棱的长度,可以发现相关棱的中点或四等分点.关键点:题目条件并未明确这两条线共面,不能直接应用.
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.关键点:建立空间直角坐标系后,根据点P的位置,用一个未知量表示其坐标.审题指导:(1)(思路一)建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向量坐标相等证明.(思路二)作辅助线,结合平行线的传递性,证明多个平行四边形,从而得线线平行.
(思路三)选择一组基底,把 都用基底表示,由向量相等证明.(2)建立坐标系,写出相关点的坐标,设出点P的坐标,求出二面角两个半平面的法向量,利用公式建立方程,求解即可.
规范解答:(1)证明(方法一　向量法)
要选取合适的点和线建系
由题意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).
此处要确保每个点的坐标正确,这样才能保证后面的运算准确
向量平行不等价于线线平行, 所以需要强调四点不共线
(方法二　几何法)设棱DD1上的点N满足DN=AA2=1,取CC1的中点M,连接A2N,MN,B2M.
因为点A2,B2,C2,D2分别是棱的中点或四等分点
因为DN∥AA2,且DN=AA2,
证明平行四边形一般利用一组对边平行且相等
所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可证,B2M∥BC,且B2M=BC.因为AD∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.
厘清这三个平行四边形之间的联系
所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,　故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.
利用线线平行的传递性证明线线平行
合理选择相关的基底是关键
注意将问题中涉及的向量用同一组基底表示
　　　 　　　　　
将线线关系转化为向量关系来证明
由题意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),设点P(0,2,a),其中0≤a≤4.
点P在棱BB1上,包括端点
取z2=2,可得x2=a-1,y2=3-a,
赋值时应确保法向量的每个坐标均用整数或整式型表示,并对三个坐标中的公因式或公约数进行约简
注意两向量的夹角与二面角大小的关系
　回扣题干,结合图形审核条件
[对点训练3](12分)(2023·新高考Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;