适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量解答题专项四第1课时利用空间向量证明平行垂直与利用空间向量求距离课件北师大版

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考情分析:从近两年的新高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,分值约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积,点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.
1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
2.空间位置关系的向量表示
3.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则
(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则
(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则
4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离
(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离
例题如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,
(2)如图,取AP的中点E,连接BE,
又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又BE⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
规律方法 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
对点训练在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.证明:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.
证明 (1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则
即B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
例题(12分)(2023·四川遂宁高三检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC为正三角形,四边形ACC1A1是菱形,D,E分别是AC,CC1的中点,平面ACC1A1⊥平面ABC.(1)求证:A1C⊥平面BDE.
(2)若∠C1CA=60°,在线段DB1上是否存在点M,使得AM∥平面BDE?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
【教师讲评】 (1)连接AC1,由四边形ACC1A1为菱形可得DE⊥A1C,再证得BD⊥A1C,利用线面垂直的判定定理解决.(2)连接C1D,根据几何体特点建立空间直角坐标系,先假设存在满足条件的点,在此条件下,转化为向量之间的关系,由此建立方程,如果有解且满足题意,则说明这样的点存在,如果无解或者解不满足题意,则不存在.
规律方法 存在问题的两种探索方式
对点训练(12分)如图,四棱锥S-ABCD中,ABCD为矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=1,AB=2,SD= ,E为CD上一点,且CE=3DE.(1)求证:AE⊥平面SBD.(2)M,N分别为在线段SB,CD上的点,是否存在点M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB?若存在,确定点M,N的位置;若不存在,说明理由.
(2)解 ∵SD⊥AD,且SD⊥AB,∴SD⊥平面ABCD,
例题在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解 (1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间坐标系,
规律方法 利用向量法求点到平面的距离的步骤
对点训练(2022·山东临沂三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过AB1E的平面截此正方体,得如图所示的多面体,F为棱CC1上的动点.(1)点H在棱BC上,当CH= CB时,FH∥平面AEB1,试确定动点F在棱CC1上的位置,并说明理由;(2)若AB=2,求点D到平面AEF的最大距离.
解 (1)设平面BCC1B1与平面AEB1的交线为l,因为FH∥平面AEB1,平面BCC1B1∩平面AEB1=l,FH⊂平面BCC1B1,所以FH∥l.由正方体ABCD-A1B1C1D1知,平面ADD1E∥平面BCC1B1.又因为平面ADD1E∩平面AEB1=AE,平面BCC1B1∩平面AEB1=l,所以AE∥l,所以AE∥FH.取BC中点G,连接C1G,易知AE∥GC1,所以GC1∥FH.又因为H为CG中点,所以F为CC1中点.