2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆内接正多边形

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A．8B．10C．12D．14
2．如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．54°C．60°D．72°
3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
4．正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（ ）
A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．27πcm2
5．如图，点P1～P6是⊙O的六等分点．若△P1P5P6，△P2P3P5的周长分别为C1，C2，面积分别为S1，S2，则下列正确的是（ ）
A．C1＝C2B．C2＝2C1C．S1＝S2D．S2＝2S1
二．填空题（共5小题）
6．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 ．
7．如图，要拧开一个边长a＝18mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 mm．
8．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ．
9．如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 ．
10．如图，在圆内接正内边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，已知半径为3，则BG的长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别是边BC，CD上的点，且CM＝DN，AM与BN交于点Q．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AQB的度数．
12．如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P，若⊙O的半径为1．
（1）求AC的长；
（2）求∠APD的度数．
13．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，连接AM，BN交于点O，且BM＝CN．
（1）△ABM与△BCN全等吗？为什么？
（2）求∠AON的度数．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
（2）已知△ADF的面积为．
①求∠DAF的度数；
②求⊙O的半径．
15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．
（1）求∠CAD的度数．
（2）已知AB＝2，求DF的长．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆内接正多边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【考点】正多边形和圆；三角形的面积．
【专题】三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB、OC，则OA＝OD，得S△OAB＝S△OBDS△ABD＝2，即可解决问题．
【解答】解：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB，
则OA＝OD，
∴S△OAB＝S△OBDS△ABD4＝2，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6×2＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及三角形面积，熟练掌握正六边形的性质是就听到关键．
2．如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．54°C．60°D．72°
【考点】正多边形和圆；三角形的外角性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；模型思想．
【答案】C
【分析】根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【解答】解：如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O，
则∠AOB40°，∠COD＝2∠AOB＝80°，
∴∠ADB∠AOB＝20°，∠CBD∠COD＝40°，
∴∠1＝∠ADB+∠CBD＝20°+40°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握正多边形与圆以及多边形的外角和定理是正确计算的前提．
3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】A
【分析】作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出MO＝2OH＝4，再由勾股定理确定即可得出结果．
【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，
∴MO＝2OH＝4，
∴
∴点M的坐标为：
故选：A．
【点评】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键．
4．正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（ ）
A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．27πcm2
【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵正六边形的边长为6cm，
∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，
∴OG＝OA•sin60°＝63（cm），
∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3cm．
该正六边形的内切圆面积为cm2
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、等边三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．如图，点P1～P6是⊙O的六等分点．若△P1P5P6，△P2P3P5的周长分别为C1，C2，面积分别为S1，S2，则下列正确的是（ ）
A．C1＝C2B．C2＝2C1C．S1＝S2D．S2＝2S1
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OP1，OP6，P3P4，由于点P1～P6是⊙O的六等分点，可得P1P6∥P2P5∥P3P4，P1P6＝P5P6＝P2P3，P1P5＝P3P5，进而得出两个三角形面积之间的关系和周长之间的关系．
【解答】解：连接OP1，OP6，P3P4，
∵点P1～P6是⊙O的六等分点，
∴P1P6∥P2P5∥P3P4，P1P6＝P5P6＝P2P3，P1P5＝P3P5，∠P1OP6＝60°，
∴△P1OP6是等边三角形，
∴P2P5＝2P1P6，
∴S2S1，故D正确，C不正确；
∴两个三角形有两条边相等，一条边是2倍关系，
∴C2≠C1≠2C1，故A、B不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是添加辅助线得出P2P5与P1P6的数量关系．
二．填空题（共5小题）
6．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，40°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
7．如图，要拧开一个边长a＝18mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要 18 mm．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设正六边形的相邻四个顶点为A、B、C、D，延长AB、DC交于点E，由BC＝DC，∠BCD＝120°，得∠CBD＝∠CDB＝30°，而∠EBC＝∠ECB360°＝60°，所以∠E＝60°，∠DBE＝90°，则△BCE是等边三角形，所以BE＝CE＝BC＝CD＝18mm，则BDBE＝18mm，于是得到问题的答案．
【解答】解：设正六边形的相邻四个顶点为A、B、C、D，延长AB、DC交于点E，
∵BC＝DC，∠BCD（6﹣2）×180°＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB（180°﹣120°）＝30°，
∵∠EBC＝∠ECB360°＝60°，
∴∠E＝180°﹣2×60°＝60°，∠DBE＝30°+60°＝90°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝CD＝18mm，
∴DE＝2CD＝2BE，
∴BDBE＝18mm，
故答案为：18mm．
【点评】此题重点考查正多边形的内角与外角、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 10 ．
【考点】正多边形和圆；全等图形．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】10．
【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
9．如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 18 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：360°÷20°＝18．
故这个正多边形的边数为18．
故答案为：18．
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
10．如图，在圆内接正内边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，已知半径为3，则BG的长为 2 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据正六边形的性质得出直角三角形BCG中，BC＝3，∠CBG＝30°，由直角三角形的边角关系即可求出BG即可．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠BOC60°，∠BCD＝∠CDE120°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是正三角形，
∴OB＝OC＝BC＝3，
∵BC＝CD＝DE，
∴∠CBD＝∠DCE30°，
∴∠BCG＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BCG中，BC＝3，∠CBG＝30°，
∴BG2，
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别是边BC，CD上的点，且CM＝DN，AM与BN交于点Q．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠AQB的度数．
【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．
【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）60°．
【分析】（1）根据六边形ABCDEF是正六边形，可以得到AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，即可利用SAS判定全等；
（2）利用全等三角形的性质可得∠BMA＝∠CNB，∠BAM＝∠CBN，观察图形，根据三角形内角和定理可得∠BQM＝180°﹣（∠BMA+∠CBN）＝180°﹣（∠CNB+∠CBN），再根据正多边形的内角和公式求得正六边形的内角，由此即可求出∠AQB的度数．
【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝∠BCN＝120°，AB＝BC＝CD．
∵CM＝DN，
∴BC﹣CM＝CD﹣DN，即BM＝CN．
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABM≌△BCN，
∴∠BMA＝∠CNB，∠CBN＝∠BAM，
根据多边形内角和公式，得，
∴∠BQM＝180°﹣（∠BMA+∠CBN）＝180°﹣（∠CNB+∠CBN）＝∠BCN＝120°，
∴∠AQB＝180°﹣∠BQM＝60°．
【点评】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形内角和公式，三角形内角和定理，熟练利用全等三角形的性质进行角度的转换是解题的关键．
12．如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P，若⊙O的半径为1．
（1）求AC的长；
（2）求∠APD的度数．
【考点】正多边形和圆；勾股定理；圆周角定理．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；（2）135°．
【分析】（1）连接OA，OB，OB与AC交于点Q，先根据正八边形和圆的性质求出∠AOB，再根据特殊角三角函数值求出AC的长；
（2）根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出∠APD．
【解答】解：（1）如图，连接OA，OB，设OB与AC交于点Q，
由题意可知，QA＝QC，OB⊥AC，
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB45°，
∴QA＝OQ＝OAsin∠AOB＝sin45°，
∴AC＝2QA；
（2）∵所对的圆心角为5∠AOB＝225°，
∴所对的圆周角为∠ABD225°＝112.5°，
∵∠BAC45°＝22.5°，
∴∠APD＝∠ABD+∠BAC＝135°．
【点评】本题考查了正八边形与圆的综合，熟练运用正八边形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键．
13．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，连接AM，BN交于点O，且BM＝CN．
（1）△ABM与△BCN全等吗？为什么？
（2）求∠AON的度数．
【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】（1）△ABM≌△BCN，理由见解答；
（2）∠AON的度数是108°．
【分析】（1）由正多边形的性质得AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，而BM＝CN，即可根据“SAS”证明△ABM≌△BCN；
（2）由全等三角形的性质得∠BAM＝∠CBN，而∠ABC（5﹣2）×180°＝108°，所以∠AON＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝108°．
【解答】解：（1）△ABM≌△BCN，
理由：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）．
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABC（5﹣2）×180°＝108°
∴∠AON＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝108°，
∴∠AON的度数是108°．
【点评】此题重点考查正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的内角和、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，根据正多边形的性质推导出AB＝BC，∠ABM＝∠BCN是解题的关键．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
（2）已知△ADF的面积为．
①求∠DAF的度数；
②求⊙O的半径．
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
【专题】三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）①60°；②2．
【分析】（1）在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，利用弦和圆周角的关系即可求出∠BPF的值；
（2）①证明△AOF是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出，AD＝2AF，再根据△ADF的面积为即可求出．
【解答】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF＝AB，，
∴，
∵AF＝AB，
∴∠APB＝∠APF＝30°，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°；
（2）①∵∠A0F＝60°，AO＝FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°；
②∵∠DAF＝60°，
∴，AD＝2AF，
∴，
∴AF＝2，
即⊙O的半径为2．
【点评】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．
（1）求∠CAD的度数．
（2）已知AB＝2，求DF的长．
【考点】正多边形和圆．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）∠CAD＝36°；
（2）DF的长是．
【分析】（1）根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到；
（2）证明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，设DF＝x，则AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的长．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，．
∴四边形ABCF是菱形，
∴∠BAC＝∠CAD，
同理可求：∠CAD＝∠DAE，
∴；
（2）∵四边形ABCF是菱形，
∴CF＝AF＝AB＝2．
∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°，
同理∠DCE＝36°，
∴△DCF∽△DAC，
∴，即CD2＝DF×AD，
设DF＝x，则AD＝x+2，
∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0，
解得（舍去负值）．
∴DF的长是．
【点评】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
8．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
9．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
10．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
11．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，csA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 18:10:18；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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