2019-2023年真题分类汇编（新高考）专题03导数及其应用(原卷版+解析)

这是一份2019-2023年真题分类汇编（新高考）专题03导数及其应用(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值等内容，欢迎下载使用。

考点一 导数的运算
1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
4．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
考点三 利用导数研究函数的单调性
6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
8．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
11．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
13．（2020•海南）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
14．（2019•浙江）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
考点四 利用导数研究函数的极值
15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
考点五 利用导数研究函数的最值
18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题03 导数及其应用
考点一 导数的运算
1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
【解析】为偶函数，可得，关于对称，
令，可得，即（4），故正确；
为偶函数，，关于对称，故不正确；
关于对称，是函数的一个极值点，
函数在，处的导数为0，即，
又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，
是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，
由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，
进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，
，关于的对称点为，，，故正确；
图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．
解法二：构造函数法，
令，则，则，
，
满足题设条件，可得只有选项正确，
故选：．
考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
【解析】法一：函数是增函数，恒成立，
函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．
故选：．
法二：设过点的切线横坐标为，
则切线方程为，可得，
设，可得，，，是增函数，
，，是减函数，
因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：．
3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
4．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
【解析】当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
切线的方程为，
令，可得，即，
当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
令，可得，即，
由的图象在，处的切线相互垂直，可得，
即为，，，
所以．
故答案为：．
考点三 利用导数研究函数的单调性
6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【解析】（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以（a），
即（a），
所以得证，
即得证．
8．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ）函数，
，，
由，得，在，上单调递增；
由，得，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：过有三条不同的切线，
设切点分别为，，，，，，
，，2，，方程有3个不同的根，
该方程整理为，
设，
则，
当或时，；当时，，
在，上为减函数，在上为增函数，
有3个不同的零点，（e）且（a），
，且，
整理得到且，
此时，，且，
此时，，
整理得，且，
此时，（a），
设（a）为上的减函数，（a），
．
当时，同讨论，得：
在，上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
有3个不同的零点，（a），且（e），
，且，
整理得，
，，
，
设，则方程即为：
，即为，
记，
则，，为有三个不同的根，
设，，
要证：，
即证，
即证：，
而，且，
，
，
即证，
即证，
即证，
记，则，
在为增函数，，
，
设，，
则，
在上是增函数，（1），
，
即，
若，，则．
9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】（1）当时，，
，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（2）令，
，，
在上恒成立，
又，
令，则，
，
①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．
因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；
②当，即，
，
若，则，
所以在，上单调递减，，符合题意．
若，则，
所以在上单调递减，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
另解：的导数为，
①当时，，
所以在递增，所以，与题意矛盾；
②当时，，
所以在递减，所以，满足题意；．
③当时，．
设，，则在递减，所以，
，所以在递减，所以，满足题意；
④当时，，
令，则，，
可得递减，，
所以存在，使得．当时，，
在递增，此时，
所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．
综上可得，的取值范围是，．
（3）由（2）可知，当时，，
令得，，
整理得，，
，
，，
即．
另解：运用数学归纳法证明．
当时，左边成立．
假设当时，不等式成立，即．
当时，要证，
只要证，
即证．
可令，则，，则需证明，
再令，则需证明．
构造函数，，
，
可得在，上递减，
则（1），所以原不等式成立，
即时，成立．
综上可得，成立．
10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
【解析】（Ⅰ），，
①当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，可得或，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
时，
且等号不恒成立，在上单调递增，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：
当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；
当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．
注意到．
在 上有一个零点；
，
由 得，，
，当 时，，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另解：当，时，有，，
而，于是
，
所以在没有零点，当时，，
于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，
在，上单调递减，在 上单调递增．
，
，，，，
当 时，，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到，
取，，，又易证，
，
在上有唯一零点，即在上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
11．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）注意到时，，当时，，
由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，只需证，只需证，
而，则，
要证，只需证，只需证，
而，
，即得证．
12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【解析】（1）解：由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
（2）证明：由，得，
即，
由（1）在单调递增，在单调递减，
所以（1），且（e），
令，，
则，为 的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以（1），
故函数在单调递增，
（1）．，，得证．
同理，要证，
（法一）即证，
根据（1）中单调性，
即证，
令，，
则，令，
，，单调递增，
，，，单调递减，
又时，，且（e），
故，
（1）（1），
恒成立，
得证，
（法二），，
又，故，，
故，，
令，，，
在上，，单调递增，
所以（e），
即，所以，得证，
则．
13．（2020•海南）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，
，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
当时，，当时，，
曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
（2）方法一：由，可得，即，
即，
令，
则，
在上单调递增，
，
即，
令，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（1），
，
，
故的范围为，．
方法二：由可得，，，
即，
设，
恒成立，
在单调递增，
，
，
即，
再设，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
即
，则，
此时只需要证，
即证，
当时，
恒成立，
当时，，此时不成立，
综上所述的取值范围为，．
方法三：由题意可得，，
，
易知在上为增函数，
①当时，（1），，
存在使得，
当时，，函数单调递减，
（1），不满足题意，
②当时，，，
，
令，
，
易知在上为增函数，
（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
即，
综上所述的取值范围为，．
方法四：，，，
，易知在上为增函数，
在上为增函数，在0，上为减函数，
与在0，上有交点，
存在，使得，
则，则，即，
当时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
设，
易知函数在上单调递减，且（1），
当，时，，
，时，，
设，，，
恒成立，
在，上单调递减，
（1），
当时，，
，
．
方法五：等价于，该不等式恒成立．
当时，有，其中．
设（a），则（a），
则（a）单调递增，且（1）．
所以若成立，则必有．
下面证明当时，成立．
设，
，
在单调递减，在单调递增，
，
，
即，
把换成得到，
，．
，当时等号成立．
综上，．
14．（2019•浙江）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
【解析】（1）当时，，，
，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1），得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
当，时，，
则，
记，，
则
，
列表讨论：
（1），
．
当时，，
令，，，
则，
故在，上单调递增，，
由得（1），
，，
由知对任意，，，，，
即对任意，，均有，
综上所述，所求的的取值范围是，．
考点四 利用导数研究函数的极值
15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则
A．B．C．D．
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
【解析】（1）证明：设，，
则，，
在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
即，，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，，
即，，
，，
综合可得：当时，；
（2）解：，，
且，，
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若，即或时，
存在，使得，时，，
在，上单调递减，又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若，即时，为偶函数，
只考虑的情况，
此时，时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：的取值范围为，，．
考点五 利用导数研究函数的最值
18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）定义域为，
，
，
若，
则，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，
，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在，上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又（1），
（a）（1），仅有此一解，
．
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为（1），
所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，，即，
因为，所以，即，
令得，解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
，
1
0
单调递减
极小值（1）
单调递增