浙江省杭州市西湖区公益中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市西湖区公益中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了下列计算正确的是，估计的值应在等内容，欢迎下载使用。

1．要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如下表：
由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）．
A．平均数、众数B．众数、中位数C．平均数、中位数D．中位数、方差
5．若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．9D．8
6．估计的值应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
7．某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （ ）
A．B．
C．D．
二． 填空题（每题3分共24分）
9．当时，二次根式的值是 ．
10．小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，计算总评成绩的方法：平时成绩期中成绩期末成绩，则小聪总评成绩是 分．
11．实数在数轴上的位置如图所示，化简： ．

12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼，小亮记录了自己一周七天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如下所示的统计图：
则小亮这七天校外锻炼时间的中位数是 分钟．
14．如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面 ．（结果保留根号）

15．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 ．
16．若关于的一元二次方程有实数根和，且，有下列结论：①，②，③方程的解为．其中正确结论是 ．
三． 解答题（8题，共72分）
17．计算
(1)
(2)
18．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
19．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
(1)以上成绩统计分析表中______，______，______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
20．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：，．
(1)化简m，n；
(2)求的值．
21．已知关于的方程．
(1)老张说：该方程一定为一元二次方程． 老张的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时，若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
22．在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动；与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：________，_________ (用含的代数式表示)；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
(1)方程与互为“同根轮换方程”吗？
(2)若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
(3)已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得，
，
解得：，
故选：．
【点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．C
【分析】
根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【解答】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴是含有的二次项，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．C
【分析】
本题主要考查了二次根式的运算，利用算术平方根的定义对A和C进行判断，利用二次根式的加法对B进行判断，利用二次根式的除法对D进行判断．
【解答】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意可知，“啦啦操”兴趣小组共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位学生年龄的平均数，而12岁的学生有5人，13岁的学生有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位的两个学生都是13岁，因此中位数是13岁，不受14岁、15岁人数的影响；因为13岁的学生有23人，而12岁的学生有5人，14岁、15岁的学生共有22人，因此众数是13岁．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了中位数和众数的知识，正确掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和．设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和与边数的关系和任意多边形的外角和等于，列方程，进而解决此题．
【解答】解：设这个多边形的边数为n．
由题意得，．
∴．
∴这个多边形的边数为8．
故选：D．
6．B
【分析】
本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．先利用二次根式的乘法得出，再估算出的取值范围，进而得出结论．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
估计的值应在3到4之间，
故选：B．
7．D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．
【解答】解：设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．A
【分析】
本题考查了根的判别式．方程化为一般式为，根据根的判别式的意义得到，所以，于是可计算出，，然后消去得到与的关系．
【解答】
解：方程化为一般式为，
根据题意得，
∴，
∴，
即，
，，
．
故选：A．
9．4
【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案．
【解答】解：∵x=2，
∴=
=4．
故答案为：4．
【点拨】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算．
10．
【分析】
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义求解即可．
【解答】
解：小聪总评成绩是（分，
故答案为：83.8
11．
【分析】本题考查了数轴、绝对值和二次根式的化简、整式的加减．先根据数轴可得，，则，，，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．
【解答】解：由数轴可知，，，
则，，，
所以
．
故答案为：．
12．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，以及根据一元二次方程根据情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不能为0，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此解答即可．
【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
综上：的取值范围是且，
故答案为：且．
13．70
【分析】
本题考查了折线图，中位数，根据中位数的定义：数据由大到小的排列，当数据个数为奇数时，中间位置的1个数是中位数，当数据个数为偶数时，中间位置的2个数的平均数是中位数求解即可．
【解答】解：将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70，
故答案为：70．
14．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据的坡度为，，可得的长，再根据改为坡度为可以求出的长，根据勾股定理即可求出新坡面．
【解答】
解：的坡度为，，
，
，
，
斜坡改为坡度为的斜坡，
，
，
．
新坡面为．
故答案为：．
15．DG##GD
【分析】首先根据方程x2+x-1=0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG=m，则GC=1-m，从而可以用m表示等式．
【解答】解：设DG=m，则GC=1-m．
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG=GH=m，FC=0.5．
∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+SAGF，
∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m，
∴m=．
∵x2+x-1=0的解为：x=，
∴取正值为x=．
∴这条线段是线段DG．
故答案为：DG．
【点拨】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
16．②③
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用．一元二次方程的两根为和，只有在时根才为，由此可对①进行判断；将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
【解答】解：①∵一元二次方程实数根分别为和，
∴，只有在时才能成立，故结论①错误；
②一元二次方程化为一般形式得：，
∵方程有两个不相等的实数根和，
∴，
解得，故结论②正确；
③∵一元二次方程实数根分别为和，
∴，
∴二次函数
，
令，即=0，解得：或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确，
综上所述，正确的结论有2个：②③，
故答案为：②③．
17．(1)1
(2)
【分析】
本题主要考查了二次根式混合运算，
（1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（3）先去括号，然后移项，合并同类项，进而利用因式分解法解方程即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
19．(1)6，7，7
(2)甲
(3)选乙组参加决赛，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解答】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数，
，乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数，
故答案为：6,7,7；
（2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属于中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）解：选乙组参加决赛，理由如下：
甲乙组学生平均数一样，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【点拨】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
20．(1)，
(2)
【分析】
本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键．
（1）根据分母有理化的方法，进行化简即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
【解答】（1）解：；
；
（2）原式
．
21．(1)老张的结论正确，理由见解析
(2)
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式：
（1）利用配方法得到，由此即可得到结论；
（2）先由一元二次方程解的定义得到，再根据得到，解方程，然后利用判别式验证即可得到答案．
【解答】（1）解：老张的结论正确，理由如下：
∵，
∴关于的方程是一元二次方程；
（2）解：由题意得，原方程为，即，
∵该方程的两个实数解分别为和，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
22．(1)，
(2)秒或秒时，的长度等于
(3)存在秒，能够使得五边形的面积等于，理由见解答
【分析】
（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【解答】（1）根据运动的特点可知：，，
∵，
∴，
故答案为：，．
（2）由题意得：，
解得：，；
当秒或秒时，的长度等于；
（3）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
∵当点运动到点时，两点停止运动，
∴，
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：不合题意舍去，．
即当秒时，使得五边形的面积等于．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键．
23．任务1：；任务2：网上销售的价格应定为元；任务3：当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元．
【分析】
本题考查了二次函数的实际应用——销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解．
任务1：利用单件利润乘以销量即可求解；
任务2：求解方程，即可得解；
任务3：利用抛物线的图象与性质先确定x的值，再求解．
【解答】
解：任务1：
；
任务2：由题意得，
整理得，即，
解得，
∴，
当若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为元；
任务3：
，
∵符合题意，
∴当，即（元）时，（元）．
∴当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元．
24．(1)方程与不互为“同根轮换方程”
(2)
(3)能，当，（）或，（）或，（）
【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程：
（1）根据判别式可得方程无实数根，据此可得答案；
（2）根据定义得到，设t是公共根，则有，，可解得，进而得到，解方程即可得到答案；
（3）分p、q分别为公共根，以及二者都不是公共根，三种情况讨论求解即可．
【解答】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
年龄/岁
12
13
14
15
人数
5
23
■
■
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
6
2.6
乙组
7
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1
某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2
据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件．
素材3
该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件．
问题解决
任务1
确定模型
求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式．
任务2
探究销售方案
若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？
任务3
拟定最优方案
当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？