【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题09 排列组合二项式定理与概率统计综合 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题09 排列组合二项式定理与概率统计综合 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2021·北京·高三强基计划）在十进制下的末两位数字是（ ）
A．01B．21C．81D．前三个选项都不对
【答案】A
【分析】根据同余及二项定理可判断末两位数字，也可以利用欧拉函数的性质来判断末两位数字.
【详解】法1：根据题意，有:
．
法2：根据欧拉函数的性质由，而，
故，故，
而，因此．
故选：A
2．（2021·北京·高三强基计划）如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“好数”，则“好数”的个数为（ ）
A．48618个B．48619个
C．48620个D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用隔板法可求“好数”的个数.
【详解】设好数，则，
设，则，且，
考虑的非负整数解的个数，去掉对应的一组解，所求个数为个．
故选：B.
3．（2021·北京·高三强基计划）设数表的每一行和每一列的乘积均为1，其中包含的每个的数表的4个数的乘积为2，则满足题意的数表的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．前三个选项都不对
【答案】B
【分析】根据题设条件可得四个角的数字相同，四边中间的数字也相同，从而可求这两类数字，故可得正确的选项.
【详解】设数表为，如图．
根据题意，有，
类似可得数表外围一圈任意两个相邻的位置上的数的乘积均为0.5，
进而四个角的数字相同，四边中间的数字也相同，分别设为a，b，
再设中间的数为c，则有
因此满足题意的数表唯一．
4．（2020·北京·高三校考强基计划）设A，B，C是集合的子集，且满足，这样的有序组的总数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分步计数法可求有序组的总数.
【详解】考虑A，B，C把集合划分为5个集合：，
接下来将集合P中的元素逐一安排到集合中即可得所求总数为．
故选：C.
5．（2020·北京·高三校考强基计划）设随机变量X的概率分布为，Y表示X被3除的余数，则数学期望（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】利用无穷递缩等比数列的和的公式可求的分布列，从而可求其数学期望.
【详解】根据题意：
有分别是以为首项，为公比的无穷递缩等比数列的和，
因此，
因此．
故选：B.
6．（2021·北京·高三强基计划）现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用对立事件可求这三把钥匙不能打开对应的锁的概率.
【详解】设打开对应的锁的事件为，其中，
则，，
且，
因此所求概率为．
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）除以7的余数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】把转化成，再结合二项展开式即可求解.
【详解】
，则，
又是7的倍数，故余数为3.
故选：D.
8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．10B．20C．40D．60
【答案】D
【分析】把10个点看成5条线段的组合，再利用组合公式计算即可.
【详解】梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.
故选：D
9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
【答案】B
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
10．（2020·北京·高三校考强基计划）设袋中装有编号从0到9的10个球，随机从中抽取5个球，然后排成一行，构成的数（0在首位时看成4位数）能被396整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设所求数的形式为，根据同余可判断出，再通过列举法可求满足条件的数的个数，从而可求概率.
【详解】所有可能的取法有种，因此问题即能被396整除的个数．
各选项中对应的个数为：．
由于，因此能被396整除的数的各位数字之和，
于是或，且有，
因此．
情形一 ．有
共64个．
情形 二．有
共32个．
综上所述，所求概率为．
故选：C.
二、填空题
11．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________.
【答案】
【详解】的样本方差，当且仅当、、是连续的正整数.
故.
故答案为
12．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记为这四个数中两数相邻的组数，则的数学期望__________．
【答案】
【详解】易知的取值为1,2,3，且：．
故答案为：.
13．（2022·浙江·高二竞赛）二项式的展开式中，整数项共有______项.
【答案】14
【详解】二项式展开式的通项公式为，
很明显整数项应满足且为6的倍数，
即且为6的倍数，
这样的数可以是：120，126，132，138，144，150，156，162，168，174，180，186，192，198，
共有14个.
故答案为：14.
14．（2022·福建·高二统考竞赛）的末三位数是___________.
【答案】881
【详解】因为
，
所以，
又
，
所以，因此的末三位数是881.
故答案为：881.
15．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，“爱心”是由曲线和所围成的封闭图形，在区域内任取一点A，则A取自“爱心”内的概率_____．
【答案】
【详解】解法1．区域的面积为，
爱心面积，
∴．
故答案为：.
解法2．在图中的阴影部分面积，
所以爱心面积为，∴．
故答案为：.
16．（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_______（表示不超过实数x的最大整数）.
【答案】
【详解】当时，，.
满足题中方程的n为6，12，…，2010，共335个；
当时，，
.
满足题中方程的n为1，7，13，…，2011，共336个；
当时，，
.
满足题中方程的n不存在；
当时，，
.
满足题中方程的n为3，9，15，…，2013，共336个；
当时，，
.
满足题中方程的n不存在；
当时，，
.
满足题中方程的n不存在.
因此，从集合中任取一个正整数n恰为题中方程的解的概率为.
17．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________．
【答案】
【详解】设小明、小红投掷次数分别为.
则所求为.
由独立性,知所求概率为
==.
18．（2018·全国·高三竞赛）从集合中随机地、不放回地取出三个数，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数.则将为长、宽、高的砖能放进以为长、宽、高的盒子中的概率为__________．
【答案】
【详解】不妨设，，当且仅当，，时砖可放入盒中.
设是从中选出的六个数，再从中选出三个，有=20种方法.这三个作为，剩下三个作为，符合要求的只能为.
若为，则可为或或；若为，则可为或.
故符合要求的取法为5种，概率.
19．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______.
【答案】
【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，
即.
故答案为：.
20．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．
【答案】
【详解】有两次为5的概率为，
有两次为6和4的概率为，
所以概率为.
故答案为：.
21．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______．
【答案】
【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为,则可能取值为1,2,3,4,
比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,;
比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,;
比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,,
比四局,胜方连胜四局,,
所以.
故答案为：.
22．（2022·北京·高三校考强基计划）将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种.
【答案】252
【分析】依题意恰好在6个不同的集合中，设依次为，则可以任意放，5不能放在中，3，9不能放在或中，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】解：易知中的元素两两不互质，因此恰好在6个不同的集合中.
设依次为.
此时剩余的正整数中可以任意放在上述6个集合中，5不能放在中，3，9不能放在或中，分两种情况：
①若5放入了或中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有种情况，而放入集合有种情况.
②若5没有放入或中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选择，有种情况，而放入集合有种情况.
综上所述，不同的集合拆分方法共有种.
故答案为：
23．（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.
【答案】330
【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.
【详解】当为偶数时，令，则总共有场比赛.
不妨设有个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.
因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有个（补充定义：，于是所有非友好组的个数为.
下求最小值.
若在中，有.
则令，其余且，
，
故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.
不妨设有个个，则有
整理有.
由于，故.由等式两边对应相等可知，，
即调整后有个个.此时的值为，
则，
故友好组个数的最大值为，即.
下面为取到最大值的例子：设在.共支球队中，当时，队胜；当时，队胜，下标均是在模的意义下.
综上所述，当为偶数时，友好组个数的最大值为.故如果20支球队参加单循环比赛，友好组个数的最大值为330.
故答案为：330
24．（2019·河南·高二校联考竞赛）计算：=____________ .
【答案】
【详解】由二项式定理得，
两边同时积分得：，
从而得到如下等式：
，
故答案为：.
25．（2022·北京·高三校考强基计划）已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能的数列的个数为___________.
【答案】211
【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数
【详解】解：记，则，
对确定的，数列各项间的大小顺序即确定，
设，则，
对于给定的可唯一确定一组数列，
由于且，这样的数列共个，
其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个，
综上所述，符合要求的数列共有个.
故答案为：211
三、解答题
26．（2022·江苏南京·高三强基计划）设的两个根分别为，，设.
(1)求证：；
(2)求的个位数字.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意可知，，
此时：
，
，
则：
，
此时.
（2）因为，
，
上述两式相加可得，
设为的个位数字，则：
，，，，，，，，
则数列是以6为周期的数列，则.
27．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，并且对任意的的概率均为．
（1）设的值为随机变量X，试求X的概率分布；
（2）求X的绝对值的数学期望E|X|．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）设.则对任意正整数取1或-1的概率均为，且.
设.显然，，
并设此时中有x个1,2n-x个-1.则X-(2n-x)=k.
因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.
对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n个数中，有n+m个取1，n-m个取-1，因此，X的概率分布可表示为
（2）对任意1≤i≤n，易知P(X=-2m)=P(X=2m).
从而，.
28．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）连续地随机掷1颗骰子，一直掷到6点出现3次为止.用表示停止时已经掷的次数.
(1)求的分布列，；
(2)令，求数学期望.
【答案】(1)答案见解析.
(2).
【详解】（1）显然当掷次才停止时,必有第次掷出的是6,前中有2次掷出次掷出的是其它数字.
所以.
由于，，，
故其分布列为：
（2）当时,有,
故.
当时,有,
故
于是可得
29．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.
【答案】证明见解析
【详解】解同除：，
设，原题即证：，
而，
所以，
即，，
又
，
所以，
即，，
综上可得：时，，即.
30．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.
(1)如果19支球队参加单循环比赛，求友好组个数的最大值；
(2)如果20支球队参加单循环比赛，求友好组个数的最大值.
【答案】(1)285
(2)330
【分析】设有x个友好组，考虑其反面，证明一般性结论：当球队个数m为奇数时，友好组个数最大值为；当球队个数m为偶数时，友好组个数最大值为再求解即可.
(1)
当m为奇数时，令，由于共有支球队进行单循环比赛，故总共有场比赛.不妨设有x个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三队为非友好组.不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.
对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.
因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有个（补充定义：），
于是所有非友好组的个数为.（其中等号成立当且仅当）.
故有.
当（）时，取到最大值，即.
构造例子：设在共支球队中，队胜，负，其中下标是在模的意义下的.则友好组的个数为.综上所述，当m为奇数时，友好组个数的最大值为；
故如果19支球队参加单循环比赛，友好组个数的最大值为
(2)
当m为偶数时，令，则总共有场比赛.不妨设有x个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.
因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有个（补充定义：）于是所有非友好组的个数为.
下求的最小值.
若在中，不妨设.
则令，，其余（且），
故调整后的总和变小.
重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.
不妨设有y个a，个，则有，
整理有.由于，故.
由等式两边对应相等可知，，，即调整后有n个，n个n.
此时的值为，则，
故友好组个数的最大值为，即.
下面为取到最大值的例子：设在.共2n支球队中，当时，队胜；当时，队胜，下标均是在模2n的意义下.
综上所述，当m为偶数时，友好组个数的最大值为.
故如果20支球队参加单循环比赛，友好组个数的最大值为
e
2
6
0
4
6
0
4
8
2
6
0
8
2
0
4
8
2
6
4
e
4
6
4
8
2
6
2
6
4
8
2
6
4
X
3
4