【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题08 立体几何 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题08 立体几何 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）如图，设P为单位立方体的棱上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
2．（2022·贵州·高二统考竞赛）平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
二、填空题
3．（2019·全国·高三竞赛）已知是所在平面外一点，则平面，，．则点到平面的距离的最大值是______．
4．（2019·全国·高三竞赛）在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，.则异面直线与所成的角为_______.
5．（2018·全国·高三竞赛）已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2.则三棱锥S-ABC外接球表面积为__________．
6．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体中，，，是的中点，是的中点．若异面直线与所成的角为，距离为，则__________．
7．（2021·浙江·高二竞赛）在中，，，，分别在线段和上，，，直线于.现将三角形沿着对折，当平面与平面的二面角为时，则线段的长度为______.
8．（2022·浙江·高二竞赛）在正四棱锥中，M在棱上且满足.过作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为，，则的最大值为______.
9．（2022·广西·高二统考竞赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为______．
10．（2022·福建·高二统考竞赛）如图，P为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则二面角P-AB-C的正切值为___________.
11．（2022·新疆·高二竞赛）已知二面角的平面角为，A，D为直线l上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于___________．
12．（2022·江苏南京·高三强基计划）在棱长为6的正四面体ABCD中，M为面BCD上一点，且，设异面直线AM与BC所成的角为，则的最大值为___________.
13．（2019·全国·高三竞赛）、分别是正四面体的棱、的中点，则平面和平面所成二面角的余弦值是______.
14．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥中，已知底面.若，且，则=______.
15．（2019·全国·高三竞赛）在空间四边形中，，，、分别是、上的点，使得.则=______（用、表示）.
16．（2019·全国·高三竞赛）在边长为1的正方体中，点、、分别为棱、、的中点．则四面体的体积为______．
17．（2018·全国·高三竞赛）已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，平面，，若点满足，则三棱锥的体积为______．
18．（2018·全国·高三竞赛）设正三棱柱的体积为,点分别在棱上,满足.则四面体的体积为______.
19．（2018·全国·高三竞赛）在正四棱锥中,已知,分别为中点.则______.
20．（2018·全国·高三竞赛）一个粮仓大致可看做一个圆台，其上底半径为3米，下底半径为6米，高为米．一只吃饱了的老鼠在锻炼身体，它打算从圆台下底圆周上的点出发，绕圆台侧面慢跑一周，再回到点.为了使路程最短，这只老鼠至少要跑______米.
21．（2019·全国·高三竞赛）在四棱锥中，已知四边形为矩形，且，，，与交于点，为边的中点.则与平面所成的角为______.
22．（2018·全国·高三竞赛）在正四棱锥中，已知，且侧面侧面所成二面角大小为．该四棱锥外接球的体积为______．
23．（2018·全国·高三竞赛）用一块边长为2的正方形纸片（顶点为、、、，中心为）折成一个正四棱锥．当该四棱锥体积最大时，二面角的平面角的大小为______．
24．（2019·全国·高三竞赛）已知四面体ABCD的四个面的面积分别为12、21、28、37，顶点D到面的距离为h.则h=__________．
25．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从点匀速朝移动；乙从点匀速出发朝移动，到达后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达时，乙恰好在到达后折返到，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.
26．（2018·河北·高二竞赛）若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.
27．（2019·四川·高三校联考竞赛）已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，先在内放入一个内切球O1，然后依次放入球，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____ .
三、解答题
28．（2022·贵州·高二统考竞赛）甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．
29．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥中，已知，，，且.以为球心、1为半径作一个球.则三棱锥不在球内部的部分体积为______.
30．（2021·全国·高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线的构造：作周长为的圆，在圆上取使的长度，并以为轴将旋转得弧，在圆上取，使的长度的长度，并以为轴将旋转度得弧，这样，由弧组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）