【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题03三角函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题03三角函数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·北京·高三强基计划）已知O为的外心，与的外接圆分别交于点D，E．若，则（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用圆周角和圆心角的关系可求的大小.
【详解】如图，连结．
由于，
于是弧分别与弧、弧相等，进而可得弧与弧相等、弧与弧相等，
进而，
从而，因此是外接圆的直径，进而．
2．（2020·北京·高三强基计划）设等边的边长为1，过点C作以为直径的圆的切线交的延长线于点D，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】利用射影定理可求，故可求的面积.
【详解】如图，设题中圆的圆心为O，与圆O切于点T，连结，
则，于是，
从而．
故选：C.
3．（2020·北京·高三强基计划）函数的最大值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.
【详解】题中代数式为
，
等号当时可以取得，因此所求最大值为．
故选：D.
4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得成立的最小正整数n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先证明成立，再结合的单调性可估算的取值范围，从而可得最小正整数n的值.
【详解】根据题意，有，
记，则函数在上是单调递增函数．
设，则：
，
当时，有，故，
故为上的增函数，故.
接下来利用当时，以及正弦函数的单调性估计．
，
有，
因此使得不等式成立的最小正整数n的值为5．
故选：C.
5．（2020·北京·高三校考强基计划）在中，．点P满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】根据题设条件可得P为的费马点，如图，以为边作等边三角形，可证，故可判断各项的正误.
【详解】根据题意，方向上的单位向量之和为零向量，
因此，进而P为的费马点．
如图，以为边作等边三角形，
则，故四点共圆，
故，故，
故，
同理，，
因此所有选项均正确．
故选：ABCD.
6．（2020·北京·高三校考强基计划）设为锐角，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求最大值.
【详解】解法一：由得，
所以．
因为均为锐角，所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值是．
解法二: 由得:
，
于是，
等号当时取得，
因此的最大值为．
7．（2020·北京·高三校考强基计划）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用裂项相消法可求数列的和，再根据基本极限可求题设中数列的极限.
【详解】根据题意，有，
于是
．
故选：A.
8．（2020·北京·高三校考强基计划）（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.
【详解】分别是复数的辐角，
于是题中代数式为复数的辐角的正弦值，为1．
故选：A.
二、多选题
9．（2020·北京·高三校考强基计划）设的三边长a，b，c都是整数，面积是有理数，则a的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】CD
【分析】由特例可得a的值可以取3，4，再利用整数的性质可判断a的值不可能为1，2，故可得正确的选项.
【详解】取三边为3，4，5的三角形，其面积为6，此时a的值可以取3，4．
当时，有，
此时的面积为，注意到，不为完全平方数，
因此的面积不可能是有理数．
当时，不妨设，有或．
情形一 若，则的面积为．
若，其中p，q为互质的正整数，则，
于是为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为，因此该情形不成立．
情形二 若，则，
于是面积为有理数，等价于为有理数，即为完全平方数，注意到，因此的面积不可能是有理数．
综上所述，a的值不可能为1，2，可能为3，4．
故选：CD.
10．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】设，最大正方形的边长为1，
小正方形的边长分别为．∵，
，
，
，，
所以C正确；
，
所以，所以B正确，
故选：BC.
11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设的内角的对边分别为.若，则（ ）
A．
B．
C．的面积最大值为
D．的周长最大值为
【答案】AC
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。
【详解】由
化简得：
因为
所以
故A正确
又由
当且仅当时取等号
三角形的周长
由余弦定理得
因为（当且仅当时取等号）
所以，，排除D
故选:AC
三、填空题
12．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________．
【答案】
【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.
【详解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：，
于是
，
等号当时取得，因此所求最小值为
故答案为：
13．（2022·江苏南京·高三强基计划）设，则函数的最大值为___________.
【答案】
【详解】，
令，所以，
，
则时，；时，，
所以在上增，上减，
，
故答案为：.
14．（2022·江苏南京·高三强基计划）在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知，则的值为___________.
【答案】1
【详解】由正弦定理边化角：
，
，
，
得，
由，得，
故答案为：1.
15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数的值域为___________.
【答案】
【详解】令，由得，
则，，
所以.
故答案为：.
16．（2021·全国·高三竞赛）设，且，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解析：
.
令，则，且，
于是，
显然m是上的减函数，所以，即.
故答案为：.
17．（2020·浙江·高三竞赛）已知，则的最大值为___________.
【答案】.
【详解】，
同理，
故，
而，
因为，故.
当且仅当时，各等号成立，
故答案为：.
18．（2021·全国·高三竞赛）函数的最小正周期为____________．
【答案】
【详解】解析：当时，，
当时，，其中且，
画出图象可得函数周期为．
故答案为：.
19．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是_______．
【答案】16
【详解】解析：
．
令，则
．
当时，，所以，
故．
故答案为：16
20．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的值为__________．
【答案】7
【详解】解析：记中A、B、C所对的边分别是a、b、c，
如图，设内切圆的半径为，

则，，，
故，故，
即，
故答案为：7
21．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.
【答案】
【详解】令，
,
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
22．（2022·福建·高二统考竞赛）已知，，，且，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】由，，，知，，
又，，，
所以，，
所以，当且仅当时等号成立，
设，则，
因此，；时，，
所以在上递增，在上递减，
所以时，取最大值，
因此，当，时等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：.
23．（2022·浙江·高二竞赛）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A的取值范围是______.
【答案】
【详解】由余弦定理可得，
，且，
，
，
设，
则，
，，则，
，
，
.
24．（2022·北京·高三校考强基计划）在中，，其外接圆半径，且，则___________.
【答案】1
【分析】利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解
【详解】因为，
所以
因为，
所以,
进而有，
于是
因为，
所以.
故答案为：1
25．（2022·北京·高三校考强基计划）在梯形中，在边上，有，则取值范围为___________.
【答案】
【分析】由，可得四点共圆，于是得，即可得答案.
【详解】解：如图所示：
，
所以四点共圆，
因为是 所对的圆周角，
所以，
于是，
又因为,
所以,
在中，,
即,
所以,即有,
所以.
故答案为：.
26．（2022·北京·高三校考强基计划）若三边长为等差数列，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】通过余弦定理以及等差数列的性质，将目标式转化为关于公差的关系是，通过公差的范围得出结论.
【详解】不妨设三边长为，其中.此时：
故答案为：.
27．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．
【答案】
【详解】令，则，即．
因为，
所以，
整理得，
，
化简得，
于是，得，
所以的最大值为．
故答案为：.
四、解答题
28．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的，都有．
【答案】证明见解析.
【详解】由于，只需证：
．
设，注意到：，
即，
又由于、、均大于0，则
，
从而．
所以，
所以对任意的，都有．
29．（2022·新疆·高二竞赛）直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边上，且，求的最小值．
【答案】
【详解】设，则，
设．
在中，，则，
在中，，则，
所以，
所以，
当时，的最小值为．
30．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC中，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】原不等式等价于.
在三角形ABC中，，
.
令，则原不等式等价于.
而上式左边，故原不等式得证