2024年吉林省白山市靖宇县兴平希望学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年吉林省白山市靖宇县兴平希望学校中考数学一模试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A．B．3C．﹣D．﹣3
2．（2分）我国现有农村人口数量为491040000，数据491040000用科学记数法表示为（ ）
A．4.9104×104B．49.104×107
C．4.9104×108D．0.49104×108
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a4•a2＝a6
C．2m5÷（﹣m）2＝﹣2m3D．（﹣2a2）3＝8a6
4．（2分）甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ）
A．主视图B．俯视图
C．左视图D．三种视图都改变
5．（2分）如图，∠ABC＝40°点D，G在边BC上，点E在边BA上，EF∥BC，GF∥DE，∠EFG＝70°，则∠BED的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
6．（2分）如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，CD是直径，∠ABD＝75°，则∠AOC的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）不等式3﹣x＜5x+6的解集是 ．
8．（3分）计算：＝ ．
9．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
10．（3分）如图所示，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是 ，理由是 ．
11．（3分）元旦节前夕，班主任为学生们准备了若干块糖果，若每人分4块，则多32块，若每人分5块，则还差8块．设班级有x人，根据题意列方程得 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠DAE的度数为 °．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若S△ABD＝16，AB＝8，则线段CD的长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠C＝30°．点P是上一动点，当点P到点D的距离最大时，的长为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝2．
16．（5分）如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
17．（5分）桌面上有4张正面分别标有数字3、5、9、10的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
（1）小红随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是 ．
（2）小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字．请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率．
18．（5分）某山区因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援．已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．求每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图①，图②，图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，找一个格点C，使AC＝BC．
（2）在图②中，以AB为直角边画等腰直角三角形ABD（画出一个即可）．
（3）在图③中，画锐角三角形ABE，使∠AEB＝45°（画出一个即可）．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象相交于A（1，m）、B（4，n）两点，与x轴相交于点C，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21．（7分）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD．
已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为22°，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为45°，求建筑物的高度AD．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
22．（7分）某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为x分（x为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格，不合格四个等级（优秀，良好，合格、不合格分别用A，B，C，D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级，60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a＝ ，c＝ ，m＝ ；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 ；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示．
（1）求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式；
（2）求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式；
（3）该工厂前7天的总利润是多少？
24．（8分）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点B运动．以点P为顶点，在AB的上方作正方形PQMN，且PQ∥AC，PQ＝1．设点P运动的时间为t（秒），正方形PQMN与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）CD的长是 ；
（2）当点Q落在△BCD的边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与△BCD重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C坐标为（1，﹣3），点P在此抛物线上，且横坐标为m．
（1）求b、c的值．
（2）当﹣1≤x≤n时，﹣3≤y≤1，则n的取值范围是 ．
（3）当点P在x轴下方时，若抛物线在点A和点P之间的部分（包含A、P两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是1+m，求m的值．
（4）点Q（1﹣3m，0），以PQ为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
2024年吉林省白山市靖宇县兴平希望学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A．B．3C．﹣D．﹣3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：A．
2．（2分）我国现有农村人口数量为491040000，数据491040000用科学记数法表示为（ ）
A．4.9104×104B．49.104×107
C．4.9104×108D．0.49104×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：491040000＝4.9104×108．
故选：C．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a4•a2＝a6
C．2m5÷（﹣m）2＝﹣2m3D．（﹣2a2）3＝8a6
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：a3+a3＝2a3，故选项A错误，不符合题意；
a4•a2＝a6，故选项B正确，符合题意；
2m5÷（﹣m）2＝2m5÷m2＝2m3，故选项C错误，不符合题意；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4．（2分）甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ）
A．主视图B．俯视图
C．左视图D．三种视图都改变
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【解答】解：正方体移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体移动后的主视图正方形的个数为1，2，1；不发生改变．
正方体移走前的左视图正方形的个数为2，1；正方体移动后的左视图正方形的个数为2，1；不发生改变．
正方体移走前的俯视图正方形的个数为2，1，1；正方体移动后的俯视图正方形的个数为：1，1，2；发生改变．
所以所得几何体的三视图有改变的是俯视图．
故选：B．
5．（2分）如图，∠ABC＝40°点D，G在边BC上，点E在边BA上，EF∥BC，GF∥DE，∠EFG＝70°，则∠BED的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【分析】先根据EF∥BC推出∠FGC＝∠EFG＝70°，然后根据GF∥DE推出∠FGC＝∠EDG＝70°，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BED的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠FGC＝∠EFG＝70°，
∵GF∥DE，
∴∠FGC＝∠EDG＝70°，
∵∠EDG是△EBD的一个外角，
∴∠BED＝∠EDG﹣∠ABC＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
6．（2分）如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，CD是直径，∠ABD＝75°，则∠AOC的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
【分析】由CD是直径，∠ABD＝75°，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得∠DCA的度数，即可求得∠AOC的度数．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABD＝75°，
∴∠DCA＝75°，
∵OA＝OC，
∴∠AOC＝180°﹣2×75°＝30°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）不等式3﹣x＜5x+6的解集是 ．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤对不等式进行求解即可．
【解答】解：由题知，
3﹣x＜5x+6，
﹣x﹣5x＜6﹣3，
﹣6x＜3，
x＞．
故答案为：．
8．（3分）计算：＝ 9 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣12
＝10﹣1
＝9．
故答案为：9．
9．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×2k＝0，
解得k＝，
所以k的值为．
故答案为：．
10．（3分）如图所示，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是 AC ，理由是 垂线段最短 ．
【分析】从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短，据此解答即可．
【解答】解：应选择的路线是AC，理由是垂线段最短；
故答案为：AC，垂线段最短．
11．（3分）元旦节前夕，班主任为学生们准备了若干块糖果，若每人分4块，则多32块，若每人分5块，则还差8块．设班级有x人，根据题意列方程得 4x+32＝5x﹣8 ．
【分析】根据糖果的数量相同列一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意，得4x+32＝5x﹣8．
故答案为：4x+32＝5x﹣8．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠DAE的度数为 40 °．
【分析】根据折叠得到∠C＝∠E，根据DE∥AB得到∠E＝∠BAE，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠C＝30°，
∴∠C＝∠E＝30°，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵∠B＝40°，∠C+∠B+∠BAE+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣30°﹣30°﹣40°＝80°，
∵∠DAE＝∠EAC＝40°，
故答案为：40°．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若S△ABD＝16，AB＝8，则线段CD的长为 4 ．
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC，再利用三角形面积公式计算出DH，从而得到DC的长．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
∴DH＝DC，
∵S△ABD＝16，
∴AB•DH＝16，
∴DH＝＝4，
∴DC＝4．
故答案为：4．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠C＝30°．点P是上一动点，当点P到点D的距离最大时，的长为 4π ．
【分析】连接AD并且延长交圆于点P，连接CP，此时点P到点D的距离最大，根据等腰三角形的性质和含30°的直角三角形的性质，以及弧长公式可求的长．
【解答】解：如图，连接AD并且延长交圆于点P，连接CP，此时点P到点D的距离最大，
在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠ACB＝30°，
∴AP⊥BC，
∴AP是直径，
∴∠ACP＝90°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝60°，
∴AP＝2AC＝12，所对的圆心角为120°，
∴的长为＝4π．
故答案为：4π．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝2．
【分析】先把分式化简，再将未知数的值代入求解．
【解答】解：原式＝＝＝；
当x＝2时，原式＝．
16．（5分）如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
【分析】根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵AD＝CE，CD＝BE，
∴△ACD≌△CBE（SSS）．
17．（5分）桌面上有4张正面分别标有数字3、5、9、10的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
（1）小红随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是 ．
（2）小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字．请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率．
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【解答】解：（1）∵一共有4张卡片，其中正面数字是奇数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，
∴随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中翻到的两个数字之和为偶数的结果数有6种，
∴翻到的两个数字之和为偶数的概率为．
18．（5分）某山区因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援．已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．求每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
【分析】设每艘小型船能坐m名群众，每艘大型船能坐n名群众，根据“3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每艘小型船能坐m名群众，每艘大型船能坐n名群众，
根据题意得：，
（②×3﹣①）÷7得：n＝40，
将n＝40代入②得：m+3×40＝135，
解得：m＝15，
∴原方程组的解为．
答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图①，图②，图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，找一个格点C，使AC＝BC．
（2）在图②中，以AB为直角边画等腰直角三角形ABD（画出一个即可）．
（3）在图③中，画锐角三角形ABE，使∠AEB＝45°（画出一个即可）．
【分析】（1）画线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为所求的点C．
（2）根据等腰直角三角形的性质画图即可．
（3）根据已知条件以及锐角三角形的定义画图即可．
【解答】解：（1）如图①，点C'和点C''均满足题意．
（2）如图②，等腰直角三角形ABD即为所求（答案不唯一）．
（3）如图③，锐角三角形ABE即为所求．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象相交于A（1，m）、B（4，n）两点，与x轴相交于点C，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将AB两点坐标代入直线解析式求出m、n继而得到反比例函数解析式；
（2）利用直线解析式求出点C坐标，根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵A（1，m）、B（4，n）两点在直线y＝﹣x+5的图象上，
∴当x＝1时，m＝4；当x＝4时，n＝1，
∴A（1，4），B（4，1）．
∵A（1，4），B（4，1）在反比例函数图象上，
∴k＝1×4＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝；
（2）在直线y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴C（5，0），
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝＝．
21．（7分）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD．
已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为22°，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为45°，求建筑物的高度AD．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
【分析】过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝24+x，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：过A作AD⊥MN交MN的延长线于D，
延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x＝16（m），
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝17.6（m），
答：建筑物的高度AD约为17.6m．
22．（7分）某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为x分（x为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格，不合格四个等级（优秀，良好，合格、不合格分别用A，B，C，D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级，60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a＝ 8 ，c＝ 12 ，m＝ 30 ；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 B ；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
【分析】（1）用B等级的频数除以B等级的频率可得样本容量，再用样本容量乘A等级所占百分百20%可得a的值；用样本容量分别减去其他三个等级的频数可C等级的频数，进而得出c和m的值；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）用1000乘样本中C、D等级所占百分百之和即可．
【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：16÷40%＝40，
∴a＝40×20%＝8，
c＝40﹣8﹣16﹣4＝12，
m%＝＝30%，即m＝30；
故答案为：8；12；30；
（2）把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数都在B等级，
所以这组数据的中位数所在的等级是B等级．
故答案为：B；
（3）1000×＝400（人），
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生大约有400人．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示．
（1）求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式；
（2）求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式；
（3）该工厂前7天的总利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）先求出乙当y＝360时对应x的值，再利用待定系数法解答即可；
（3）该工厂前7天的总利润＝前7天生产甲种零件的利润+前7天生产乙种零件的利润，据此作答即可．
【解答】解：（1）设生产甲种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将x＝6，y＝360代入y＝k1x，
得6k1＝360，解得k1＝60，
∴y＝60x．
（2）新技术培训前的生产效率是＝50（件/天），新技术培训后的生产效率是50×2＝100（件/天），
＝2.6（天），3+2.6＝5.6（天）．
设新技术培训后生产乙种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为y＝k2x+b（k2、b为常数，且k2≠0）．
将x＝3，y＝100和x＝5.6，y＝360代入y＝k2x+b，
得，解得，
∴y＝100x﹣200（x≥3）．
（3）前7天生产甲种零件的利润为60×7×260＝109200（元），生产乙种零件的利润为（100×7﹣200）×150＝75000（元），
109200+75000＝184200（元），
∴该工厂前7天的总利润是184200元．
24．（8分）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得到MD∥AC，推出∠BAC＝90°，得到∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，因此四边形AMDN是矩形；
（2）由余角的性质证明△NDC是等腰三角形，由等腰三角形的性质，求出CG的长，由锐角的余弦即可求出CN的长．
【解答】解：（1）如图①，四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD是△BAC的中位线，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）如图②，过点N作NG⊥CD于G，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∵∠B＝∠MDB，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝
∴csC＝＝，
∴＝，
∴．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点B运动．以点P为顶点，在AB的上方作正方形PQMN，且PQ∥AC，PQ＝1．设点P运动的时间为t（秒），正方形PQMN与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）CD的长是 ；
（2）当点Q落在△BCD的边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与△BCD重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【分析】（1）由勾股定理得出AB的长，由△ABC的面积得出AC•BC＝AB•CD，即可得出CD的长；
（2）先根据题意得：AP＝t，分两种情形：①当Q在CD上时，如图1，②当Q在边BC上时，如图2，利用平行线分线段成比例定理列比例式求解即可；
（3）先计算分界点时t的值，当M在CD上和N在CD上；分两种情况分别计算S与t之间的函数关系式即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，即：4×3＝5×CD，
∴CD＝，
故答案为：；
（2）分两种情况：
①当Q在CD上时，如图1，
Rt△ACD中，AD＝＝＝，
∵PQ∥AC，
∴，即＝，
解得：t＝；
②当Q在边BC上时，如图2，
∵PQ∥AC，
∴，即＝，
解得：t＝；
综上，点Q落在△BCD的边上时t的值是s或s；
（3）①当＜t≤时，正方形PQMN与△BCD重叠部分图形是三角形EQF，如图3，
∵PQ∥AC，
∴，即，
∴PF＝3﹣t，
∴FQ＝1﹣PF＝1﹣3+t＝t﹣2，
∵FQ∥AC，
∴∠EFQ＝∠ACD，
∵∠Q＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△EFQ，
∴，即，
∴EQ＝
∴S＝S△EFQ＝EQ•FQ＝＝；
②当P在点D的右侧时，点M在CD上，如图4，
∵AC∥MN∥PQ，
∴∠ACD＝∠NMG，
∴tan∠ACD＝tan∠NMG，
∴＝，即＝，
∴NG＝，
∴PG＝1﹣＝，
∴cs∠DPG＝＝cs∠ACD＝，
∴PD＝，
∴AP＝AD+PD＝+＝2；
如图5，当N在CD上时，
∵cs∠DPN＝cs∠ACD，
∴＝，
∴PD＝，
∴AP＝+＝，
当2＜t＜时，正方形PQMN与△BCD重叠部分图形是五边形PQMHG，
∵cs∠DPG＝，PD＝t﹣，
∴＝，
∴PG＝﹣，
∴NG＝1﹣PG＝﹣，
∵tan∠ACD＝tan∠NHG，
∴＝，
∴NH＝，
∴S＝1﹣S△GHN
＝1﹣•NH•NG
＝1﹣••（﹣）
＝﹣+﹣；
综上，S与t之间的函数关系式为：S＝．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C坐标为（1，﹣3），点P在此抛物线上，且横坐标为m．
（1）求b、c的值．
（2）当﹣1≤x≤n时，﹣3≤y≤1，则n的取值范围是 1≤n≤3 ．
（3）当点P在x轴下方时，若抛物线在点A和点P之间的部分（包含A、P两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是1+m，求m的值．
（4）点Q（1﹣3m，0），以PQ为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）运用抛物线的顶点式即可求得答案；
（2）先求出函数值等于1对应的x的值，再结合图象求解即可；
（3）先求出A（1﹣，0），B（1+，0），根据最高点与最低点的纵坐标之差是1+m，建立方程求解即可得出答案；
（4）根据函数值y随x的增大而增大或随x的增大而减小，列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点C坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴b＝﹣2，c＝﹣2．
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点C坐标为（1，﹣3），
∴当x＝1时，y＝﹣3，
当y＝1时，x2﹣2x﹣2＝1，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∵当﹣1≤x≤n时，﹣3≤y≤1，
∴1≤n≤3，
故答案为：1≤n≤3．
（3）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣2），
当x2﹣2x﹣2＝0时，x1＝1﹣，x2＝1+，
∴A（1﹣，0），B（1+，0），
当1﹣＜m＜1时，﹣（m2﹣2m﹣2）＝1+m，
解得：m1＝，m2＝（舍去），
当1≤m＜1+时，0﹣（﹣3）＝1+m，
解得：m＝2，
综上所述，m＝或2．
（4）设矩形为PMQN，
∵P（m，m2﹣2m﹣2），Q（1﹣3m，0），
∴M（1﹣3m，m2﹣2m﹣2），N（m，0），
当点P在x轴上方，y轴左侧时，如图，
则，
则这个不等式组无解，
当点P在x轴下方，y轴左侧时，如图，
则，
解得：1﹣＜m＜﹣；
∴当1﹣＜m＜﹣时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
当点P在x轴下方，y轴右侧时，如图，
则，
解得：≤m＜1+，
∴当≤m＜1+时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当点P在x轴上方，y轴右侧时，如图，
则．
此不等式组无解；
综上所述，当1﹣＜m＜﹣时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；当≤m＜1+时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．
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