2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第27讲解三角形应用举例（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第27讲解三角形应用举例（学生版），共7页。试卷主要包含了仰角和俯角，方位角，方向角，坡角与坡度等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
题型归纳
题型1 解三角形的实际应用
【例1-1】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为
A．B．80C．160D．
【例1-2】小华想测出操场上旗杆的高度，在操场上选取了一条基线，请从测得的数据①，②处的仰角，③处的仰角，④，⑤中选取合适的，计算出旗杆的高度为
A．B．C．D．
【例1-3】新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，
A．B．C．D．
【跟踪训练1-1】为了测量河对岸两地、之间的距离，先在河这岸选择一条基线，测得米，再测得，，，，据此计算、两地之间的距离是
A．B．C．D．
【跟踪训练1-2】如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：为
A．750B．C．850D．
【跟踪训练1-3】俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为36米，则塔高为
A．米B．米C．米D．米
【跟踪训练1-4】公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走80米到点处，测得仰角为，再行走80米到点处，测得仰角为．则 ．
【名师指导】
1.测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．
3.测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
题型2 正、余弦定理在平面几何中的应用
【例2-1】如图，在平面四边形中，的面积为，，，，，则 ， ．
【例2-2】如图，在四边形中，，且，，．
（1）求的面积；
（2）若，求的长．
【跟踪训练2-1】如图，在中，，，是边上一点，，，则的长为
A．B．C．8D．
【跟踪训练2-2】如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为
A．B．C．D．
【跟踪训练2-3】如图，在中，角的平分线交于，且．若，，则 ．
【跟踪训练2-4】如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求四边形的面积；
（2）若，求．
【名师指导】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
题型3 解三角形与三角函数的综合问题
【例3-1】设函数，．
（Ⅰ）已知，，函数是偶函数，求的值；
（Ⅱ）设的三边，，所对的角分别为，，，若，，求的面积的最大值．
【跟踪训练3-1】已知向量，向量，，函数，直线是函数图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，锐角满足，求的值．