人教A版 (2019)第六章 计数原理6.2 排列与组合学案设计

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知识精讲
知识点
1.组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数定义及公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示，其中Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！).
3．组合的性质：
性质1：Ceq \\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(C\\al(n－m,n))；
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝eq \a\vs4\al(C\\al(m,n)＋C\\al(m－1,n)).
4. 排列与组合的概念
2.排列数与组合数
【微点拨】1.组合问题的常见类型与处理方法：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.
2.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.
当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.
①不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.
②对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
【即学即练1】下列几个问题是组合问题的有( )
①从A，B，C 3名同学中选出2名同学任正、副班长，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要从7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③安排3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
④把3本相同的书分给5人，每人一本，有多少种分配方法？
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】①③与顺序有关，属于排列问题，②④与顺序无关，属于组合问题．故选D．
【即学即练2】从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据加法、减法、乘法、除法的运算律确定正确答案.
【详解】
因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响，
而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响.
所以属于组合的有加法和乘法，共2个.
故选：B
【即学即练3】某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（ ）
A．18B．9C．27D．36
【答案】D
【解析】
【分析】
利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；
【详解】
先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，
则不同的派法共有（种）.
故选：D
【即学即练4】在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（ ）
A．4×13种B．134种
C．种D．种
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，原问题可以转为从52张桥牌中任选13张，分配给这名参赛者，由组合数公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，原问题可以转为从52张桥牌中任选13张，分配给这名参赛者，则有种情况，即参赛者可能有种不同的牌．
故选：D.
【即学即练5】关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据排列数和组合数的公式和性质可判断.
【详解】
根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，故C选项错误；
，故D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故选：C.
【即学即练6】若则＝_____
【答案】190
【解析】
【分析】
由组合数性质可得：，再由组合数计算公式得解．
【详解】
因为
所以.
所以.
【点睛】
本题主要考查了组合数的性质，还考查了组合数计算，属于基础题．
【即学即练7】化简：________________________.
【答案】或
【解析】
【分析】
直接利用组合数公式求解即可
【详解】
【点睛】
组合数公式
【即学即练8】6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？
【答案】15
【解析】
【分析】
利用组合数公式即求.
【详解】
由题可知每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手（次）
【即学即练9】求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
利用组合数的性质计算即可得解.
【详解】
对任意的且，，其中且，
所以，.
能力拓展
考法01
组合的概念及其应用
【典例1】下列问题不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【解析】
【分析】
根据组合的定义可判断各项的正误.
【详解】
A选项中握手次数的计算与次序无关，
B选项中线段的条数计算也与点的次序无关，
C选项中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都是组合问题.
D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，
因此是排列问题，不是组合问题，
故选：D.
【典例2】下面四组元素，是相同组合的是（ ）
A．a，b，c—b，c，aB．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，cD．a，b，c—a，b，d
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据组合的概念，逐项判断即可.
【详解】
根据同一组合的概念，可知选项D中，中有，没有，但是中有，无，故选项D不是相同组合；A,B,C选项满足同一组合的概念.
故选：ABC.
【典例3】给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ）
A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数
D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据组合的定义判断可得选项.
【详解】
解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；
而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.
故选：AB.
考法02
有关组合数的计算与组合数的性质
【典例4】计算：＋＋＋＝________.
【答案】210
【解析】
【分析】
利用组合数及性质即得.
【详解】

.
故答案为：.
【典例5】的值为___________.
【答案】5或16
【解析】
【分析】
由组合数的定义列出不等式组即可求解.
【详解】
解：由，得或5，
当时，原式；当时，原式.
所以的值为5或16.
故答案为：5或16.
【典例6】从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为（ ）
A．150B．120C．160D．110
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件确定属组合问题，再用组合列式计算即得.
【详解】
因从10名排球队员中选出7人参加比赛，选出的7人没有顺序性，它是组合问题，
所以，不同的选法种数为.故选：B
【典例7】若整数满足，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．1或3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用组合数的运算性质求解即可
【详解】
由题可知或，
整理得或，
解得或或或．
又，
所以只有和满足条件，
故的值为1或．
故选：C
【典例8】若，则的取值集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】
因为，所以
所以，解得：，
因为，所以．
所以的取值集合为，故答案为：.
【典例9】用组合数公式证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用组合数公式可得，，即证；
（2）利用组合数公式可得，通过化简运算可证.
【解析】
(1)∵，
，
∴.
(2)∵
∴.
考法03
简单的分组问题
【典例10】某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4 B．8
C．28 D．64
【答案】C
【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq \\al(2,8)＝28条公路．
【典例11】从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组，a，b，c且a