高中苏教版 (2019)3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式导学案

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知识精讲
一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念
只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的 ．
二、二次函数图象、方程及不等式的关系
三、常用数集及表示符号
1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
四、不等式解法
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
一、1．一个 2 3.解集
二、 {x|x＜x1_或x＞x2} eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a))))) R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
三、1.此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
2.不等式x2>1的解集为{x|x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
3.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
能力拓展
考法01 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边
例 1
解下列不等式：
(1)2x2＋5x－30；(4)－x2＋6x－10>0.
【解析】(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，
如图②，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋100，因为Δ＝9－4×2×2＝－70；
（2）设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3