【导数大题】题型刷题突破 第36讲 指对函数问题之分离与不分离

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第36讲 指对函数问题之分离与不分离
1．若关于不等式恒成立，求实数的取值范围
【解答】解：【方法一】设，，
则，
且（1），
是的极值点，也是最值点；
恒成立，
又时，恒成立，
的取值范围是，．
【方法二】不等式可化为，
设，，其中；
，
令，解得或（舍去），
时取得极大值，也是最大值，为0；
又，
令，解得，
时取得极值，也是最值，时取得最小值为；
由题意知实数的取值范围是．
故选：．
2．若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的最小值
【解答】解：对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
函数与函数互为反函数，又时，，
原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，
设，则，令，解得，当时，递减，时，递增，
则（1），
故，即，
故答案为：，．
3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：．
【解答】（1）解：，，
①若时，，在上单调递减；
②若时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上，若时，在上单调递减；
若时，在上单调递减；
在上单调递增；
（2）证明：要证，只需证，
由（1）可知当时，，即，
当时，上式两边取以为底的对数，可得，
用代替可得，又可得，
所以，
，
即原不等式成立．
4．已知．
（1）时，求的单调区间和最值；（2）①若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
②求证：．
【解答】解：（1）当时，，则，
易知函数在，上为增函数，而（1），
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故函数的减区间为，增区间为，最小值为（1），无最大值；
（2）①不等式即为，令，
若，则，令，易知函数（a）在上单调递增，故（a）（1），矛盾；
若，即为，
令，这可以看作关于的二次函数，其对称轴为，
现比较与1的大小：
作差可得，令，
则，
即函数在上单调递减，故，即，
故函数（a）在，上单调递增，故（a）（1），
而，设，则，
易知函数在上单调递增，而（1），
故当时，，单调递减；当时，，单调递减，
故（1），即（1），即不等式恒成立，
综上，实数的取值范围为，；
②证明：由①知，要证，只需证，即证，
易知，故，即得证．5．已知函数．
（1）为正实数，若在上恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，有成立．
【解答】解：（1）令，
则，是增函数，
令时，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
而，故，解得：，
所以的取值范围为，．
（2）证明：对的取值范围分类讨论：
①时，，，所以，
有，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
即，
故时，不等式成立．
②时，由（1）中结论，在，上恒成立，
而此时，于是有，
要证成立，可证其加强条件：，
即证在时成立，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由于，因此，所以，
所以，
即，即，
所以，
故时，命题成立．
综上，当时，有成立．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．
【解答】解：（1），，
当时，，在递增；
当时，对于，△，故有在时，有一个解，
当时，，递减；
当时，，递增；
综上，当时，在递增；
当时，在，递增；在递减；
（2）根据题意，任意的，恒成立，即，
分离参数得，
令，，，
单调递增，，（1），故存在唯一的零点，，
当，时，，递减，当时，，递增，
故，
故在递增，
故．
7．已知函数．
（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．
【解答】解：（1）因为，所以，（1），（1），
所以切线方程为．
（2）不等式，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
令，则，令，则，
易知在上单调递增，
因为，（1），且的图象在上连续，
所以存在唯一的，使得，即，则．
当时，单调递减；当，时，单调递增．
则在处取得最小值，
且最小值为，
所以，即在上单调递增，
所以．
8．已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点，（1）处的切线与轴平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
【解答】解：（Ⅰ），，
且在，（1）处的切线与轴平行，
（1），
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，
令，，
当时，，当时，，
又，
时，，
时，，
在递增，在递减；
证明：（Ⅲ），
，，
，，
由（Ⅱ），，
，，时，，递增，
，时，，递减，
，
，
设，
，
时，，递增，
，
时，，
即，
，
，．
9．已知函数，，其中
（1）若，其函数在，的值域；
（2）若对任意的，恒成立，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，，
；
故当，时，；
故在，上是增函数，故（3），（1）；
（3）令
，，；
则；
令，则，
故在上是增函数，
，且当时，；
，使；
当时，，即，故在上单调递减；
当，时，，即，故在，上单调递增；
，①
由得，，故，②
代入①中得，；
对任意的，恒成立可化为；
又，
，又由解得，，
由②得，，
易知在，上是增函数，
故；
故，
故实数的取值范围为，．
10．已知函数
（1）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时．证明
【解答】解：（1）由题意可得，
所以，
令，
所以，
当时，，在，上单调递增，
所以，
①当时，即时，恒成立，即，
所以在，上单调递增，
所以，解得，
所以，
②当时，即时，在，上单调递增，且，
因为当时，，
所以存在，，使，即，
所以当时，，即，单调递减，当，时，，即，单调递增，
所以，
所以，
所以，
由得，记，，，
所以，
所以在，上单调递增，
所以，
所以，
综上所述，，．（2）证明：要证，
即证，
即证，
因为，所以即证，
令，
则，
因为，所以，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处有极小值，即最小值，
所以（1），
所以当时，成立．
11．已知函数．
（1）曲线在点，（1）处的切线斜率为0，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的导数为，
则曲线在点，（1）处的切线斜率为，解得；
（2）可化为，
即，设，
，
由的导数为，
当时，，递减；当时，，递增．
则的最小值为，
所以时，，递减；时，，递增．
所以的最小值为（1），故，即，所以的取值范围是，．
12．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，则，，
令，得，令，解得：，
故在递增，在递减，
故，
故对任意恒成立，
故函数在上单调递减；
（2）即为，
得，同时除以得，
令，则原不等式即为证明，
，，，
令，，，则，
故在，上，，递减，易得，，
当时，，函数在，上单调递增，
（1），即，解得：，故，
当时，，函数在，递减，（1），不合题意，
当时，则存在，使得，
则函数在递减，在，递增，
故，
解得：，即，综上，的取值范围是，．