全国各地中考数学试卷分类汇编：综合性问题

这是一份全国各地中考数学试卷分类汇编：综合性问题，共1页。试卷主要包含了已知，∴CE=DF=等内容，欢迎下载使用。
1．（2013湖北省鄂州市，5，3分）下列命题正确的个数是（ ）
①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．
③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y=﹣2x+m的图象一定不经过第一象限．
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中偶函数的个数为2个．
二．填空题
1．（2013·潍坊，18，3分）如图，直角三角形中，，， ，在线段上取一点，作交于点．现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为．若∽，则＝__________．
答案：3．2
解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝ AB2－BC2 ＝ 102－62 ＝8，设AD＝2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，
∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC ＝DF：BC ，
即2x：8 ＝DF：6 ，解得DF＝1．5x，
在Rt△DE1F中，E1F2＝ DF2＋DE12 ＝ 3．25 x 2 ，
又∵BE1＝AB－AE1＝10－3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F：A1E1 ＝BE1 ：E1F ，∴E1F2＝A1E1•BE1，
过作,则
∴阴影部分的面积为
【答案】12
3．（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）
【答案】①②④.
【解析】∵在正方形ABCD与等边三角形AEF中，∴AB=BC=CD=DA，AE=EF=AF，
∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE，有DC－DF=BC－BE，即 CE＝CF，①正确；∵CE=CF，∠C=90°，∴∠FEC=45°，而∠AEF=60°，∴∠AEB＝180°－60°－45°=75°，②正确；根据分析BE+DF≠EF，③不正确；在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF·sin45°=.在Rt△ADF中，设AD=x，则DF=x－，根据勾股定理可得，，解得，x1=，
（舍去）. 所以正方形ABCD面积为=2+，④正确.
【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识，同时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运用相关知识逐一验证.
4．(2013四川成都，23，4分)若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数y＝x－a的图象与反比例函数y＝的图象的公共点的个数为______．
【答案】0或1．
【解析】解不等式组得a≤t≤．∵原不等式组恰有三个整数解，即－1，0，1，∴－2＜a≤－1．一次函数y＝x－a的图象与反比例函数y＝的图象的交点坐标即是方程组的解．消去方程组中的y得，x－a＝．即x2－4ax－4(3a＋2)＝0．其判别式△＝(－4a)2＋16(3a＋2)＝16(a2＋3a＋2)＝16(a＋1)(a＋2)．当－2＜a≤－1时，(a＋1)(a＋2)≤0，即△≤0．∴两个图象的公共点的个数为0或1．
【方法指导】此题有一定的综合性，解答时涉及的知识点有：不等式组的解及解不等式组、函数的图象、一元二次方程根的判别式等．
三．解答题
1．（（2013贵州毕节，27，16分）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2013·聊城，25，?分）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y＝48时代入解析式就可以求出其值；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．
解答：解：（1）由题意，得y＝＝－x2＋10x，
当y＝48时，－ x2＋10x＝48，
解得：x1＝12，x2＝8，∴面积为48时BC的长为12或8；
（2）∵y＝－x2＋10x，∴y＝－（x－10）2＋50，∴当x＝10时，y最大＝50；
（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，
连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′
则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，
∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，
这时△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝＝10，∴△ABC的周长＝10＋10，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10＋10．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．
3．（2013·济宁，22，?分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．
（1）求证：线段AB为⊙P的直径；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．
求证：DO•OC=BO•OA．
考点：反比例函数综合题．
分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；
（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；
（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．
解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．
（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．
（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，
参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，
则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，
∴DO•OC=BO•OA．
点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．
4．（2013·潍坊，22，11分）如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为．
（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；
（2）如图2，为的中点，且0°＜＜90°，求证：；
（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．
答案：(1) ∵DC//EF，∴∠DCD′＝∠CD′E＝∠CD′E＝α． ∴sinα＝，∴α＝30°
(2) ∵G为BC中点，∴GC＝CE′＝CE＝1，
∵∠D′CG＝∠DCG＋∠DCD′＝90°＋α， ∠DCE′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，
∴∠D′CG＝∠DCE′又∵CD′＝CD， ∴△GCD′≌△E′CD， ∴GD′＝E′D
(3) 能． α＝135°或α＝315°
考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定
点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论．此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力．
5．（2013·潍坊，23，13分）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△内修建矩形水池，使顶点在斜边上，分别在直角边上；又分别以为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中，．设米，米．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当为何值时，矩形的面积等于两弯新月面积的？
答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC＝米，BC＝36米，∠ABC＝30°，
所以
又AD＋DE＋BE＝AB，
所以（0＜x＜8）．
(2)矩形DEFG的面积
所以当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米．
（3）记AC为直径的半圆\、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则
由AC2＋BC2＝AB2可知S1＋S2＝S3，∴S1＋S2－S＝S3－S△ABC ，故S＝S△ABC
所以两弯新月的面积S＝(平方米)
由， 即，解得，符合题意，
所以当米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的．
考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。
点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．
6.（2013陕西，23，8分）（本题满分8分）
如图，直线与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O的半径，BD=12，求tan∠ACB的值．
考点：切线的性质应用，圆内角的性质的应用，
正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及
正切值的求法。构造矩形的过程与12年的类似。
解析：切线的性质的应用是：有切线，连切点，
得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。
证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°
解：连接OD，则OD⊥BD．过点E作EH⊥BC，垂足为点H，
∴ EH∥OD ∵EF∥BC，EH∥OD OE=OD
∴四边形EODH是正方形 ．∴EH=HD=OD=5
∵BD=12，∴BH=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=
又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BEH
∴tan∠ACB．
2.（2013陕西，24，10分）
-1
O
x
2
-1
2
3
-2
3
在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数的对称轴；
（2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，
它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，
当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点
为A，那么它的表达式可表示
为：]
考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定
系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，
抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。
解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；
（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；
解：（1）对称轴为直线：x=2。
（2）∵A（1，0）、B（3，0），所以设即
当x=0时，y=3a，当x=2时，y=
∴C（0，3a），D(2,-a) ∴OC=|3a|,
∵A（1，0）、E（2，0），
∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|
在△AOC与△DEB中，
∵∠AOC=∠DEB=90°
∴当时，△AOC∽△DEB
∴时，解得或
当时，△AOC∽△BED
∴时，此方程无解，
综上所得：所求二次函数的表达式为：
或
7.（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结，求的大小；
（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．
-1
O
x
2
-1
2
3
-2
3
8.（2013四川巴中，31，12分）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

9.（2013四川乐山，26，13分）如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。
= 1 \* GB3 ①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
= 2 \* GB3 ②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O－B－A于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。
10.（2013四川绵阳，24，12分）
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - eq \f(b,2a) = 0 , b=0 ,
点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；
②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；
（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上，
设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，
①当△BOC∽△PDB时， eq \f(OB,OC)= \f(DP,DB) , eq \f(1,2)= \f(|p|,m-1) ,p= eq \f(m-1,2) 或p = eq \f(1- m,2) ,
点P的坐标为（m， eq \f(m-1,2) ）或（m， eq \f(1- m,2) ）；
②当△BOC∽△BDP时， eq \f(OB,OC)= \f(DB,DP) ， eq \f(1,2)= \f(m-1,|p|) ，p=2m-2或p=2-2m,
点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；
综上所述点P的坐标为（m， eq \f(m-1,2) ）、（m， eq \f(1- m,2) ）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；
（3）不存在满足条件的点Q。
点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，
令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,
垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，
∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，
当P的坐标为（m， eq \f(m-1,2) ）时，
m-x = eq \f(m-1,2) ， m=0 m=1
2x2-2- eq \f(m-1,2) = m-1, x= eq \f(1,2) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
当P的坐标为（m， eq \f(1- m,2) ）时，
x-m= eq \f(m-1,2) m=- eq \f(2,9) m=1
2x2-2- eq \f(1- m,2) = m-1, x=- eq \f(5,6) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
当P的坐标为（m，2m-2）时，
m-x =2m-2 m= eq \f(9,2) m=1
2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- eq \f(5,2) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
④当P的坐标为（m，2-2m）时，
x- m = 2m-2 m= eq \f(5,18) m=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- eq \f(7,6) x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
综上所述，不存在满足条件的点Q。
11.（2013四川内江，27，12分）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

12.（2013四川内江，28，12分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

13.（2013四川遂宁，24，10分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cs∠BOC=，求BN的长．

14.（2013四川遂宁，25，12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．
15．（2013贵州省黔西南州，26，16分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2013贵州省六盘水，25，16分）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．
（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2013河南省，23，11分）如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标
【解答】（1）∵直线经过点,∴
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的解析式为
（2）∵点的横坐标为且在抛物线上
∴
∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形
当时，
∴，解得：
即当或时，四边形是平行四边形
当时，
，解得：（舍去）
即当时，四边形是平行四边形
（3）如图，当点在上方且时，
作,则
△PMF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵ ∴
解得：，（舍去） ∴。
同理可以求得：另外一点为
18．（2013黑龙江省哈尔滨市，24）
某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)。现以AB所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O．已知AB=8米。设抛物线解析式为y=ax2-4．
(1)求a的值；
(2)点C(一1，m)是抛物线上一点，点C关于原点0的对称点为点D，连接CD、BC、BD，求ABCD的面积．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）首先得出B点的坐标，进而利用待定系数法求出a继而得二次函数解析式（2）首先得出C点的坐标，再由对称性得D点的坐标，由S△BCD= S△BOD+ S△BOC求出
解答：(1)解∵AB=8 由抛物线的对称性可知0B=4
∴B(4，0) 0=16a-4∴a=
(2)解：过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F
∵a= ∴
令x=一1．∴m=×(一1)2—4= ∴C(-1，)
∵点C关于原点对称点为D ∴D(1，)．∴CE=DF=
S△BCD= S△BOD+ S△BOC = =OB·DF+OB·CE=×4×+×4× =15
∴△BCD的面积为l5平方米
19．（2013河北省，26，14分）
一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些
液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α
（∠CBE = α，如图17-1所示）．
探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于
点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图17-2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）
（3）求α的度数.(注：sin49°＝cs41°＝ eq \f(3,4)，tan37°＝ eq \f(3,4))
拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.
[温馨提示：下页还有题！]
延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.
[来~
解析：
探究 （1）CQ∥BE 32分
（2）（dm3）4分
（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=
∴=∠BCQ=37º6分
拓展 当容器向左旋转时，如图3,0º≤≤37º7分
∵液体体积不变，∴
∴9分
当容器向右旋转时，如图4，
同理得，10分
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B’重合时，如图5.
由BB’=4，且，得=3
∴由tan∠=，得∠=37º，∴=∠=53º
此时37º≤≤53º12分
【注：本问的范围中，“≤”为“1）的顶点，所以点D的坐标为（h，2－h），将（h，2－h）代入中，左右两边相等，所以点D在直线l上．
（2）①交点C的纵坐标可以表示为：或
由题意知：= ，
整理得：，
解得，或，
∵h>1
∴．
②过点C作CM⊥y轴，垂足为点M，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，过点C作CN⊥DE，垂足为点N，则四边形CMEN是矩形，
∴∠MCN=90°，
又∵∠ACD=90°
∴∠MCA=∠DCN
∴△ACM∽△DCN
∴
由题意可知CM=m，AM=，CN=，DN=
从而有，
由①得，
∴
解得，，
又∵点C在第一象限内，
∴
【方法指导】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识点，本题对学生的综合解题能力要求偏高。对于二次函数，我们需要了解顶点式和一般式两种常见形式，能够熟练的说出它的开口方向、顶点、对称轴等常用知识点。
40．（2013四川南充，22，8分）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交轴于点C，且经过点（，）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A，B，C三点，交轴于另一点D．求点M的坐标；
（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与轴，轴分别交于点E，F．若为△DMF等腰三角形，求点E的坐标．
【答案】：解：（1）把点（，）代入解析式，得
．
解得．
∴抛物线解析式为．
（2）由，得或．
∴A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，﹣3)．
抛物线的对称轴是直线．
圆心M在直线上，
∴设M(﹣1，)，作MG⊥轴于G，
MH⊥轴于H，连接MC，MB．
∴MH=1，BG=2．
∵MB=MC，∴．
∴．
解得，
∴点M(﹣1，﹣1)．
（3）如图，由M(﹣1，﹣1)，得MG=MH．
∵MA=MD，
∴Rt△AMG≌Rt△DMH, ∠1=∠2．
由旋转可知∠3=∠4．
∴△AME≌△DMF．
若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形．
设E(，0)．△AME为等腰三角形，分三种情况：
①AE=AM=，则, ∴E(，0)．
②∵M在AB的垂直平分线上，
∴MA=ME=MB，∴E(1，0)．
③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME．
AE=，．
∴．
得．∴E(，0)．
∴所求点E的坐标为(，0)，(1，0)，(，0)．
【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）先让二次函数y=0，求出A、B两点坐标，又因为⊙M过A，B两点，所以MA=MB,则M在AB的垂直平分线上，则M在抛物线的对称轴上，因此确定了M点的横坐标. 设M(﹣1，)，作MG⊥轴于G，MH⊥轴于H，连接MC，MB，又C也在⊙M上，所以MC=MB，再利用勾股定理列方程，即可求出M点纵坐标；
（3）根据（2）知MG=MH，又MA=MD，利用HL可得Rt△AMG≌Rt△DMH，再利用全等三角形对应角相等即旋转的性质可得△AME≌△DMF，进而将△DMF转化为△AME，所以当△DMF为等腰三角形时，△AME也必为等腰三角形，这样问题就好解决了，再利用分类讨论思想分三种情况解决即可.
【方法指导】本题主要考查了利用待定系数法确定二次函数解析式，线段垂直平分线的性质及其逆定理的运用，勾股定理的运用，圆当中的相关概念，转化思想，分类讨论思想的运用等知识点，综合性强，难度大.(2)中M点的横坐标的确定及辅助线的作法是解决此问题的关键，（3）中将△DMF转化为△AME尤为重要，是问题的突破口.
41．（2013江西南昌，22，8分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线AB的解析式．
【思路分析】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式．
[解]（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2），
∴AP∥x轴，
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC
∴△OBC≌△PEC
∴OC=PC
（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，
∴BC=CE=4－=，
∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=
∴OD===，
由点B在第四象限可知B（，）；
解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC
∴△OBC≌△PEC
∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2PE2,
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，
∴BC=CE=4－=，
∵BD∥x轴，
∴∠COB=∠OBD，
又∵∠OBC=∠BDO=90°，
∴△OBC∽△BDO， ∴==，
即==，
∴BD=，OD=，
由点B在第四象限可知B（，）；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（0，2），B（，），可得；
解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．
【方法指导】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.
42、（2013深圳，22，9分）如图6—①，在直角坐标系中，过点的圆的圆心坐标为（2，0），点为第一象限圆弧上一点， 且⊥，抛物线过、两点，与轴的另一交点为。
（1）点的坐标为 ；抛物线的解析式为 ；
（2）如图6—②，求证： ∥；
（3）如图6—③，点为线段上一点，且，直线交⊙于点,试求的长
【答案】（1），

（2）如图6—②，过点作⊥轴于点
令，解得，则
由于，由（1）知
∴
则，
于是
∴，
因而为直角三角形，且
∴⊥
又⊥
∴∥
（3）连接、
∵
∴，则
在和中，
∴ 故 即
由于
∴ 则
【解析】（1）求点的坐标，过点作⊥轴于点，易证，
则，即可求出。又（2，0），将点的坐标代入，可得，则
故 为所求
（2）要证明∥，只需证明⊥，即只需证明
由于易求的长，根据勾股定理的逆定理，可轻松判定为直角三角形，且，问题得解。
（3）考虑到与的位置关系，可构造含有这两边且有一条公共边的两个三角形，据此可连接、，于是易证，有。由于是等腰三角形，因而易求，则可顺利求出的长。
【方法指导】本题主要考查图形与坐标、三角形全等的判定及性质、平行线的判定、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定及性质，圆周角定理及等腰直角三角形的性质等知识点。考查时仍以常见的最基本的相似图形为依托，相似三角的判定也是运用相似判定中最简单的一个定理，计算量不大，突出体现了“依纲靠本”、“多思少算”的出题理念。
43. (2013山东烟台，26,12分) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形．二次函数的图像经过点A．B，x轴分别交于点E,F且点E的坐标为（），以OC为直径作半圆，圆心为D.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证，直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴于点N，连结PM．PN．设CM的长为t，△PMN的面积为S．求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.S是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）根据题中所给条件可以判定出A点的坐标为（0,2），B（2,2）以及点E（），采用待定系数法，列出方程组，即可求出二次函数解析式.
（2）过点D作DG⊥BE于点G，分别求出ED、EC、BC、BE的长度，然后通过证明△EGD≌△ECB得出DG等于半径，即可证明BE是⊙D的切线.
（3）根据B、E两点的坐标，利用待定系数法求出BE的解析式，结合对称轴可以求出点P的坐标；然后通过证明△MNC∽△BEC,可以把CN、DN用t表示出来；最后把所求的三角形的面积转化成△PDN的面积与直角梯形PDCB的面积再减去Rt△MNC的面积即可，并把面积S用t表示成二次函数，进而根据t的取值范围确存在S的最大值，并求出此最大值，问题即可迎刃而解.
【解】（1）由题意，得A(0,2),
∴，解得
∴二次函数的解析式为
（2）过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得ED=，
∴BE=.
∵∴∽
∴
∴
∴
∵⊙D半径为1，且DG⊥BE,
∴BE是⊙D切线．G为切点，
（3）由题意．得E， B
设直线BE为，
∴解得
∴直线BE为
∵直线BE与对称轴交于点P，对称轴为直线x=1，
∴.∴点P的坐标为.
∵MN∥BE，∴ ⊿MNC∽⊿BEC.
∴.
∴.∴.
∴
∴
∵
∴
∴S存在最大值，当t=1时，
【方法指导】本题是一道有关动点问题的压轴题，考点众多，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、勾股定理、三角形相似的性质和判定、正方形的性质、直角三角形的面积和直角梯形的面积，切线的判定定理，以及一次函数，二次函数与动点结合并求三角形面积的最值的综合题，综合性很强.解答此题需要掌握相关知识，尤其能数形结合地观察图象.
（1）第一小题是基础，用待定系数法易于求解；(2)要证明某条直线是圆的切线，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这点的半径（直径），证明直线垂直于这条半径（直径），简记为“作半径，证垂直”；若已知直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.(3)在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，变量反映了运动变化关系，常量则是问题求解的重要依据．其次，要分清运动过程中不同的变化关系，总之，要善于“动”中捕“静”，并能以“静”制“动”，并要善于“数形结合”.对于（3）探索发现某种数学关系是否存在的题目，一般的求解方法有：一是直接解法；二是假设求解法. 总之，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，是知识覆盖面广、数学方法运用较多的试题，解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，还需要数形结合等数学思想方法作统领．
44. (2013湖南邵阳,25,8分)如图所示，已知抛物线y = －2x2 －4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到抛物线F.
(1)求抛物线F所表示的解析式；
(2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧)，顶点为C.点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴距离的2倍，求AB所在直线的解析式.
【答案】：解：(1)∵y=－2x2 －4x = －2(x2+2x) =－2(x +1)2 +2.
∴将抛物线y =－2x2 －4x向右平移两个单位后的解析式为y =－2(x +1－2)2 +2，即y=－2x2 +4x.
(2)解方程－2x2 +4x =0，得x1=0，x2=4.
∴O(0,0),B(4,0).
∵y=－2(x－1)2 +2，
∴C(1,2)，所以点C到x轴的距离为2.
∴点A到x轴的距离为4，
∵点A在y轴的负半轴上，
∴A(0，－4).
设直线AB的解析式为y=kx+c，
∴有eq \b\lc\{(\a\al\c(4k+b=0,b=4,))，解得eq \b\lc\{(\a\al\c(k=-1,b=4,)).
∴直线AB的解析式为y= －x +4.
【方法指导】：（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；
先根据抛物线F的解析式求出顶点C，和x轴交点B的坐标，再设A点坐标为（0，y），根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，列出关于y的方程，解方程求出y的值，然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，运用待定系数法求函数的解析式，难度适中，求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键.
v

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
命题与定理．
分析：
根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案．
解答：
解：①若代数式有意义，则x的取值范围为x＜1且x≠0，原命题错误；
②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元正确．
③若反比例函数（m为常数）的增减性需要根据m的符号讨论，原命题错误；
④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有y=x2中偶函数，原命题错误，
故选C．
点评：
本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例
2
1．（2013山东临沂，11，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】：D．
【解析】有△OA1B1，△QA2B2，△QA1B2，△QA2B1，等腰三角形有两个，所以概率是。
【方法指导】首先找出一共有几种情况，然后找出符合条件的个数，即可得出事件的概率。
3．（2013山东临沂，14，3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为（ ）
【答案】：B．
4．（2013山东德州，11，3分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以上结论：①b2－4c>0②b+c+1=0③3b+c+6=0④当1