【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（安徽专用）重难点01全等三角形三种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-专题训练.zip

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模型一：一线三等角模型 模型二：手拉手模型
模型三：倍长中线模型
模型一：一线三等角模型
过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）
常见的两种图形：

【例1】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.
【变式1-1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.
当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.
【变式1-2】已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD
证明：BF平分∠ABC
证明：AB+AE=BC
【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE= QUOTE 12 12BD.
模型二：手拉手模型
一、等边三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Cm]
△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；
【例2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
【变式2】已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.
如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；
如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.
模型三：倍长中线模型
倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
【例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．
【变式3-1】.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．
（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
【变式3-2】.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
【变式3-3】.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．
求证：∠AEF=∠EAF．
【变式3-4】.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．
求证：AD为△ABC的角平分线．
（建议用时：40分钟）
一．选择题（共2小题）
1．（2023•定远县校级一模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是
A．12B．14C．16D．18
2．（2022•包河区校级三模）如图，已知正方形的边长为4，以点为圆心，2为半径作圆，是上的任意一点，将点绕点按逆时针方向旋转，得到点，连接，则的最大值是
A．6B．C．D．
二．填空题（共5小题）
3．（2022秋•南陵县期末）如图，在中，，，于点，于点，若，，则 ．
4．（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形中，，分别为，上一点，，，若，矩形的周长为26，则矩形的面积为 ．
5．（2022秋•凤阳县期末）已知：如图，平分，于，于，且．
（1）若，，则 ．
（2）若的面积是24，的面积是16，则的面积等于 ．
6．（2023•庐江县二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．
（2）若，则 ．
7．（2023春•合肥期末）如图，在矩形中，，，是边上的一动点，连接、，过点作交于点，垂足为点，连接．
（1）当点恰为中点时，则 ．
（2）当平分时，若，则 ．
三．解答题（共9小题）
8．（2023•全椒县二模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点，且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．
（1）求证：；
（2）若与相交于点，求证：；
（3）若，，且，请画出符合条件的图形，并求的长．
9．（2020•安庆二模）如图，菱形边长为4，、分别是、上的动点，，，连接，，与交于点．
（1）求证：；
（2）①求证：；
②若，求的值．
10．（2023春•无为市期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）线段，，的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
11．（2023春•合肥期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40．求的长．
12．（2023秋•田家庵区校级月考）问题背景：
（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
13．（2023•无为市一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证；．
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离．
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
14．（2022•合肥一模）如图，点，是上的点，且，过点作，连接交于点，点是的中点．
（1）求的度数；
（2）求的值．
15．（2023•霍邱县一模）如图1，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，请直接写出线段的长．
16．（2023•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）求证：．