高考数学导数专题-12.偏差函数及应用

这是一份高考数学导数专题-12.偏差函数及应用，共8页。试卷主要包含了极值点偏移现象，极值点偏移题目特征等内容，欢迎下载使用。
一．基本原理与解题方法
1.极值点偏移现象
（1）.已知函数的图象的极值点为，若的两根的中点刚好满足即极值点在两根的正中间，此时极值点没有偏移，函数在两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．
（2）．若，则极值点偏移，此时函数在两侧的函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．
2.极值点偏移题目特征：
①.函数的极值点为；
②.函数，然后证明：或.
3.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：
①.构造一元差函数或是；
②.对差函数求导，判断单调性；
③.结合或，判断的符号，从而确定与的大小关系；
④.由的大小关系，得到，（横线上为不等号）；
⑤.结合单调性得到，进而得到.
二．典例分析
类型1.构造偏差函数证明极值点偏移
例1.（2021新高考1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正实数，且，证明：.
解析：（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，
则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.
练习1. 已知函数（a为常数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.
解析：（1）的定义域为，，
（1）当时，恒有，故在上单调递增；
（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由（1）知时，在上单调递增，若，
则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，
若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，
又由（1）知时，，即，所以，
因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.
从上述的例子可以看出，构造偏差函数的实质是利用函数单调性在解（证明）不等式，当双变量分别位于极值点两侧时，可将一侧的变量利用所证结论（极值点偏移）转化到同一侧利用函数单调性完成证明.于是，构造偏差函数还可以用于下面的乘积型偏移.
类型2.乘积型偏移
例2.（2022全国甲卷）已知函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则．
解析：（1）的取值范围为
（2）由题知，一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设，要证,即证，因为，即证，因为,即证
即证，即证
下面证明时，，设，
则
，设
所以，所以，所以，所以在单调递增
即,所以，令
，所以在单调递减
即,所以；综上，，所以.
点评：因为，即证，实质就是偏差函数的核心思想！
练习2．设函数，已知直线是曲线的一条切线.
（1）求的值，并讨论函数的单调性；
（2）若，其中，证明：.
解析：（1）设直线与曲线相切于点，
，；
又，，即；
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，，，解得：；
，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知：；当时，；当时，，；要证，只需证；
在上单调递减，只需证，
又，则只需证对任意恒成立；
设，；
设，则，
在上单调递减，，
又当时，，，
在上单调递增，，
即在时恒成立，又，
，原不等式得证.
类型3.拐点偏移
当理解到偏差函数的本质时，很多不是极值点偏移的双变量问题也可利用它来解决，例如下面的拐点偏移.
无偏移 偏移之后



所以，拐点偏移类的题目的命制特点便是：已知函数满足，证明：或者，读者应该注意其与极值点偏移在命题表述上的区别. 下面我们通过几个例题来展示拐点偏移类问题的解法，其依然是构造偏差函数来证明偏移.
例3．已知函数.
（1）求的极大值；
（2）设，是两个不相等的正数，且，证明：.
解：因为的定义域为，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为.
（2）证明：因为，则，即，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，
构造函数，则，
令，则.
当时，，则，此时函数单调递减，
当时，，则，此时函数单调递减，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，
当时，，即，故函数在上为增函数，
故，所以，，
且，函数在上为减函数，故，则.
练习3．已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: .
解析：（2）∵函数为上的增函数，∴，即，
注意到，故，∴不妨设，
欲证，只需证，只需证，
即证，即证，
令，，只需证，
∴ ，
下证，即证，
由熟知的不等式可知，
当时，即，
∴ ，
易知当时，，∴，
∴，
∴，即单调递增，即，从而得证.
总练习题（2016全国1卷）已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设是的两个零点，证明：.
解析：（1）过程略去，综上，的取值范围为．
（2）不妨设，由（1）知，，在单调递减，所以等价于，即．
由于，而，所以
．
设，则．
所以当时，，而，故当时，．
从而，故．