2024年内蒙古自治区乌海市第二中学 九年级第一次模拟考试 数学模拟试题（原卷版+解析版）

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分值：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据整式相关运算法则，逐项判定即可，解题的关键是掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式法则及完全平方公式．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
2. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
【详解】由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−50°=10°，
故选A.
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.
3. 关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键．直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵的解集在数轴上为：，
∴，
解得：．
故选C．
4. 如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，随机移走标号为①～⑤的小正方体中的一个，左视图不发生改变的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，以及概率的定义，可得答案．
【详解】解：去掉的小正方体，左视图改变；
去掉的小正方体中的一个，左视图不变，
所以左视图不发生改变概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，概率的定义，解题的关键是掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5. 点满足二元一次方程组的解，则点Q关于原点对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，以及根据求出的值判断出Q点关于原点的对称点的坐标．
关键在于正确求解出此二元一次方程组的解，最终选择正确的坐标点．
【详解】解二元一次方程组，
由可得：，
将代入可求得：，
将 代入可求得：，
由此可得Q点的坐标为，
由于点与点Q关于原点对称，
故点坐标为．
故答案为：B．
6. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cs∠DBC=csA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cs∠DBC=csA=，
∴cs∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
7. 将直线：向上平移个单位长度后得到直线，将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线和直线恰好重合，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直线的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案．
【详解】解：直线：向上平移个单位长度后得到直线，
直线的解析式为，
将直线向左平移个单位长度后得到直线，
直线的解析式为，
直线和直线恰好重合，
，
解得：，
故选：C．
8. 如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与边，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，则易得△ABE是等边三角形，且可得BC的长；在直角△DEB中由勾股定理建立方程即可求得CD的长，则最后可求得结果．
【详解】由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
∵，，
∴AE=CE=BE，∠ABC=90°−∠C=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AE=3，
∴BC=2AE=6．
∵∠C=30°，DE⊥BC，
∴DE=CD，
由勾股定理得：，
解得：．
∴△BCD的周长为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及勾股定理等知识，涉及的知识较多，灵活运用是解题的关键．
9. 如图，点A在反比例函数(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数 (k≠0)图象的一支上，点C，D在x轴上．若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （ ）

A. 6B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题的关键．
根据反比例函数k的几何意义可得，，再根据进行计算即可．
【详解】解：如图：

∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴，，
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，
解得：．
故选：C．
10. 如图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则；④若，则；以上结论正确的有（ ）

A. ①②③B. ②③④C. ①②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质，得，结合旋转性质，得，再证明，即可判断①；再通过两边成比例，夹角相等，即可证明是正确的．通过两个对应角相等，证明，列式换算，得，即可判断③作答；最后根据相似三角形的性质以及勾股定理列式，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到
∴
∴
∴
∴
∴
故是正确的；
∵四边形是正方形
∴
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到
∴
则
∴是正确的；
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到
∴是等腰直角三角形，
则

∴
∵
∴
∴
∴
故是错误的；
∵，
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
则
中，

则
∵是等腰直角三角形，
则
∴
故④是正确的
故选：D
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分，请把正确的答案填在对应的横线上)
11. 分解因式________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式．
12. 对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
13. 若方程的两根满足，则a的值为_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是理解若是一元二次方程的两根时，，．
根据根与系数的关系得出，，再把转化为，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵方程的两根满足，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：2．
14. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则_____________．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，解题关键是灵活运用圆周角定理得到角的关系．
先根据圆周角定理得出，根据三角形外角性质求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故答案为：．
15. 如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由点是的中点得到，，由勾股定理得到，求出，，，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
点是的中点，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
阴影的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，平移的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握扇形面积的计算公式是解答本题的关键．
16. 已知抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且抛物线与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，点E的坐标为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．解方程得，，抛物线的对称轴为直线，，连接交直线于，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，再根据点E的横坐标是1，即可得解．
【详解】解：当时，，解得，，
则，，抛物线的对称轴为直线，
当时，，则，
连接交直线于，如图，则此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
故答案为：．
三、解答题(本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在对应的位置)
17. （1）先化简，再求值：，其中；
（2）解方程：．
【答案】（），；（）．
【解析】
【分析】（）根据平方差公式和完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可，再通过负整数指数幂和二次根式的化简及特殊三角函数值计算出的值，代入求值即可；
（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
本题考查了整式的运算和解分式方程，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，负整数指数幂和二次根式的化简及特殊三角函数值，解分式方程是解题的关键．
【详解】（）解：原式 ，
，
由，
∴当时，原式，
；
（）解： ，
，
，
解得：，
代入，
∴分式方程的解为：．
18. 某中学开展课外经典阅读活动，为了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名学生进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图进行描述，根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第 组(填序号)，估计全校一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的学生有 人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少；
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．
【答案】（1）③，560；
（2）小时；
（3）不成功，理由见解析；建议答案不唯一见解析．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数以及用样本估计总体等知识，从统计图获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义以及用样本估计总体的方法求解即可；
（2）先求出每组的平均阅读时间，再由算术平均数的定义列式计算即可；
（3）把一周课外经典阅读的平均时间达到小时的人数的百分比与进行比较即可得出结论，再提出合理化的建议．
【小问1详解】
解：∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；
由题意得：，
∴一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的学生人数占被调查人数的百分比为，
（人），
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；
【小问2详解】
解：由题意可知，每组的平均阅读时间分别为小时，小时，小时，小时，小时，
(小时)
∴这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为小时；
【小问3详解】
解：一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的学生的人数的百分比为，
∵，
∴此次开展活动不成功，
建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．
19. 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在处接到指挥部通知，在他们东北方向距离海里的处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时海里的速度沿北偏东某一方向出发，在处成功拦截捕鱼船．
（1）图中 ；
（2）求图中点到捕鱼船航线的距离；
（3）求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间．
【答案】（1）
（2）海里
（3）巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用角的和差运算可得答案；
（2）过点作的延长线于点，在中，求解，而，再利用锐角的余弦可得答案；
（3）先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于点，由，得，
(海里；
【小问3详解】
设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时；
由题意得：，，，，
在中，由勾股定理得：，
解得：(不合题意舍去．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时．
20. 某服装厂生产A品牌服装，每件成本为70元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为正整数．
（1）当时，求：y与x的函数关系式；
（2）若零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装件，服装厂的利润为元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【答案】（1）
（2）当x为450件时，最大，最大值是4500元
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用x的取值范围不同得出函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）首先根据服装厂获利元，当且x为正整数，得出与的函数关系式，进而得出最值，再利用当时求出最值，进而比较得出即可．
【小问1详解】
解：（1）当时，设与的函数关系式为：，
根据题意得出：，
解得：，
与的函数关系式为：，
【小问2详解】
分两种情况：
当时，，
批发件数为正整数，
当时，有最大值是；
②当时，，
当时，有最大值是：，
一次性批发品牌服装件时，为450时，最大，最大值是4500元．
21. 如图，在中，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接、．
（1）求证：是的切线(请用两种证法解答)；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）方法一：连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
方法二：由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用可证明，可得即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出．
【小问1详解】
证明：方法一：连接，如图所示，
∵为直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
方法二：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∵E是的中点，
∴．
∴，
∵
∴，，
又∵在中，，即，
∴（负值已舍去），
∴．
22. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E是上的一个动点，连接，交于点F．

（1）如图①，当时，求 ；
（2）如图②当平分时，求证：；
（3）如图③，当点E是的中点时，过点F作于点G，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用，结合正方形性质求得，依据和相似，得到面积的比等于与比值的平方，据此即可求解；
（2）利用角之间的关系证得，可得，在中，利用勾股定理可以证得；
（3）根据中点性质和正方形性质，得到，根据相似三角形性质得到，根据得到．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∵和是正方形的对角线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴；
【小问3详解】
证明： ∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形和三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的判断和性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，是解决本题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为点H，求的面积；
（3）若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标；
（4）在(3)的条件下：当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）3 （3），
（4）存在，，，，
【解析】
【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，得、，将、代入，列方程组求、的值及点的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点的坐标，推导出，可求出的面积；
（3）设点的横坐标为，用含的代数式表示点、点的坐标及线段的长，再根据二次函数的性质求出线段的最大值及点的坐标；
（4）在轴上存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得
，，由勾股定理求出，由等腰三角形的腰长为或求出的长即可得到点的坐标．
【小问1详解】
解：直线与轴、轴分别交于点、，
，，
抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：设抛物线的对称轴交于点，交轴于点．
设直线的解析式为，则，解得，
；
，
抛物线的顶点，
当时，，
，
，
．
【小问3详解】
解：设， 则，
，
当时，，此时．
【小问4详解】
解：存．
如图3，由（2）得，当最大时，则，，
；
，
．
点、、、在轴上，
当点与原点重合时，则，；
当时，则，
；
当点与点重合时，则，；
当时，则，
．
综上所述，，，，
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点的坐标．