中考数学一轮复习：专题22.1 比例线段【九大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题22.1 比例线段【九大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版），共25页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27329" 【题型1 成比例线段的概念辨析】 PAGEREF _Tc27329 \h 1
\l "_Tc31846" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】 PAGEREF _Tc31846 \h 3
\l "_Tc8347" 【题型3 成比例线段的实际应用】 PAGEREF _Tc8347 \h 5
\l "_Tc24512" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】 PAGEREF _Tc24512 \h 8
\l "_Tc14710" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】 PAGEREF _Tc14710 \h 10
\l "_Tc22422" 【题型6 利用比例的性质进行证明】 PAGEREF _Tc22422 \h 13
\l "_Tc26973" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc26973 \h 15
\l "_Tc26050" 【题型8 黄金分割的概念辨析】 PAGEREF _Tc26050 \h 19
\l "_Tc14553" 【题型9 黄金分割的实际应用】 PAGEREF _Tc14553 \h 22
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念辨析】
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)a=14,b=7
(2)72
【分析】（1）根据ab=2可得a=2b，再代入a+2b=28计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【详解】（1）解：∵ab=2，
∴a=2b，
∵a+2b=28，
∴2b+2b=28，
解得b=7，
则a=2×7=14．
（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2=ab，即x2=14×7，
解得x=72或x=−72<0（不符合题意，舍去），
则x的值为72．
【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 .
【答案】3
【分析】根据题意得x:2=6:(x+1)，根据比例的基本性质即可求解．
【详解】解：根据题意得x:2=6:(x+1)，即x(x+1)=2×6，
解得x1=3，x2=−4（负值舍去）．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，
且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【答案】(1)a=9，b=12，c=15；(2)x=63
【分析】（1）设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；（2）由题意可直接得出9x=x12，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
解得：k=3，
∴a=9，b=12，c=15；
（2）∵ax=xb，
∴9x=x12，
整理，得：x2=108，
解得：x=63（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【答案】C
【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得bc=ab，又由a:b=10:15，即可求得答案．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
∴bc=ab
∵a:b=10:15，
∴bc=ab=1015=23，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】
【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．
【答案】900
【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案．
【详解】解：甲乙两地的实际距离：
2÷190000000=180000000cm，
180000000cm=1800（千米），
1800÷2=900（千米）；
答：这架飞机每小时行900千米．
故答案为：900．
【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键．
【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．1350千米B．135千米C．13.5千米D．1.35千米
【答案】B
【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
实际距离为：13.5×1000000=13500000（厘米），
∴13500000（厘米）=135（千米），
故选B．
【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简．
【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为
【答案】1：50000
【分析】根据比例尺的定义，用图上距离比实际距离即可．
【详解】4.8：240000=1：50000，
即这张平面地图的比例尺为1：50000．
故答案为1：50000．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．解决本题的关键是记住比例尺的定义．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．
【答案】6
【分析】根据比例尺的定义，可得实际距离×比例尺=图上距离，依此列式计算即可．
【详解】相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是2400000×1400000=6(厘米)．
故答案为:6．
【点睛】本题考查了比例线段，比例尺的定义，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键，注意单位之间的换算问题．
【题型3 成比例线段的实际应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）
A．文学社增加，篮球社不变
B．文学社不变，篮球社不变
C．文学社增加，篮球社减少
D．文学社不变，篮球社减少
【答案】A
【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可．
【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为x人，
则该班上学期的文学社的学生人数＝33+4+5x＝14x，上学期的篮球社的学生人数＝43+4+5x＝13x；
该班下学期的文学社的学生人数＝44+3+2x＝49x，下学期的篮球社的学生人数＝34+3+2x＝13x；
故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变．
故选：A．
【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？
【答案】45cm
【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答．
【详解】解：设书的高度是x厘米，
25：10 = x：18
x= 45
所以，书的高度是45cm．
【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可．
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m
A．−1−5B．−1±5C．5+1D．5−1
【答案】D
【分析】设下部高为xm，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【详解】解：设下部的高度为xm，则上部高度是2−xm，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴2−xx=x2，
解得x=5−1或x=−5−1（舍去），
经检验，x=5−1是原方程的解，
∴x=5−1，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.
【答案】AE的长为1或4或52.
【分析】根据题意设未知数，分AEAB=EFDE和AEAB=DEEF两种情况进行讨论，求解即可.
【详解】解：设AE=x(0则DE=5−x.
应分两种情况进行讨论：
⑴当AEAB=EFDE，
即x2=25−x时，解得x=1或x=4；
⑵当AEAB=DEEF，即x2=5−x2时，解得x=52.
综上所述，AE的长为1或4或52.
【点睛】此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.
【知识点2 比例的性质】
【题型4 利用比例的性质求字母的值】
【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，则k的值为 ．
【答案】1或−2
【分析】根据题意得出a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak，三式相加得出a+b+c=a+b+ck，然后分类讨论，即可求解．
【详解】解：∵a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，
∴a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak
∴a+b−c+a−b+c−a+b+c=a+b+ck
即a+b+c=a+b+ck，
当a+b+c≠0时，k=1，
当a+b+c=0时，k=a+b−cc=−c−cc=−2，
故答案为：1或−2．
【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6，且3y=2z+6，求x，y的值．
【答案】x=6，y=10
【分析】设x3=y5=z6=k，则x=3k，y=5k，z=6k，由3y=2z+6可求得k的值，从而可求得x与y的值．
【详解】设x3=y5=z6=k，则x=3k，y=5k，z=6k
∵3y=2z+6
∴3×5k=2×6k+6
解得：k=2
∴x=3×2=6，y=5×2=10
即x、y的值分别为6、10
【点睛】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即ab=cd=ef，常常设其比值为k，则有a=kb，c=kd，e=kf，再根据题目条件解答则更简便．
【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【答案】(1)a=9，b=12，c=15
(2)x=63
【分析】（1）设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出9x=x12，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
解得：k=3，
∴a=9，b=12，c=15；
（2）∵ax=xb，
∴9x=x12，
整理，得：x2=108，
解得：x=63（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy=x+yz=k，则k2= ．
【答案】1或4．
【分析】由y+zx=x+zy=x+yz=k，可得y+z=kx,x+z=ky,x+y=kz，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵y+zx=x+zy=x+yz=k，
∴y+z=kx,x+z=ky,x+y=kz，
∴2x+2y+2z=2x+y+z=kx+y+z，
当x+y+z≠0时，
∴k=2，则k2=4，
当x+y+z=0时，x+y=−z，
∴k=x+yz=−zz=−1，则k2=1，
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键．
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】
【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b+ca=c+ab，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为 ．
【答案】-1或8
【分析】设a+bc=b+ca=c+ab=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据(a+b)(b+c)(c+a)abc=k3即可得答案．
【详解】设a+bc=b+ca=c+ab=k，
∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），
∴（a+b+c）(2-k)=0，
当a+b+c=0时，即a+b=-c，
∴k=a+bc=−cc=-1，
∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=a+bc⋅b+ca⋅c+ab=k3=-1，
当a+b+c≠0时，则2-k=0，
解得：k=2，
∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=a+bc⋅b+ca⋅c+ab=k3=8，
故答案为：-1或8
【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．
【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为（ ）
A．13B．1C．1.5D．3
【答案】A
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由ab=cd=ef=13，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
∴3a−2c+e3b−2d+f=3a−2c+e3×3a−2×3c−3e=3a−2c+e3×3a−2c+e=13，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=ba+c，C=ca+b，下列结论：
①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=23；
②若A=B=C，则A+B+C=32；
③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则1A+1B+1C=−2019；
④若aA．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，代入A、B、C，进行计算即可判断；
②根据A=B=C得A=ab+c=ba+c=ca+b，分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况求解即可；
③当a=b=2时，代入A、B、C，可得1A+1B+1C=2+c+4c，根据b是方程④x2+2023x+4=0的一个实根得b+4b=−2023，进行即可判断；
④根据a，b，c为正整数，且aa+c>a+b，即可判断；
【详解】解：①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，
∴A=tt+2t=t3t=13,B=tt+2t=13,C=2tt+t=1，
即A×C+B=13×1+13=23，
故①正确；
②∵A=B=C，
∴A=ab+c=ba+c=ca+b，
若a+b+c=0，即b=c=−a，
则A=a−a=−1，
若a+b+c≠0，
则A=a+b+cb+c+a+c+a+b=12，
即A的值为−1或12，
故②不正确；
③当a=c=2时，A=2b+2，B=b2+2=b4，C=22+b，
∴1A+1B+1C=2+b2+2+b2+4b=4+2b2+4c=2+b+4b，
∵b是方程x2+2023x+4=0的一个实根，
∴b2+2023b+4=0，
∴b+4b=−2023，
∴1A+1B+1C=2−2023=−2021，
故③不正确；
④∵a，b，c为正整数，且a∴b+c>a+c>a+b，
∴A故④正确；
综上，①④正确，正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算．
【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若x3=y5=z7，求x−y+zx+y−z的值；
（2）若a+23=b4=c+56，且2a−b+3c=21，求a:b:c．
【答案】（1）5；（2）a:b:c=4:8:7
【分析】（1）先设x3=y5=z7=k，得到x=3k,y=5k,z=7k，然后代入x−y+zx+y−z计算即可；
（2）先设a+23=b4=c+56=k，得到a=3k−2,b=4k,c=6k−5，再根据2a−b+3c=21求出k=2，最后进行比较即可．
【详解】解：（1）设x3=y5=z7=k，
∴x=3k,y=5k,z=7k，
∴x−y+zx+y−z=3k−5k+7k3k+5k−7k=5kk=5；
（2）设a+23=b4=c+56=k，
∴a=3k−2,b=4k,c=6k−5，
∴2(3k−2)−4k+3(6k−5)=21，
解得k=2，
∴a=6−2=4,b=8,c=7，
∴a:b:c=4:8:7．
【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．
【题型6 利用比例的性质进行证明】
【例6】（2023春·九年级单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证：ab=a−ncb−nd．
【答案】见解析
【分析】由a:b=c:d得到ad=bc，则利用等式的基本性质得到adn=bcn，ab−adn=ab−bcn，则ab−nd=ba−nc，利用比例的基本性质即可得到结论．
【详解】解：∵a:b=c:d，
∴ad=bc，
∴adn=bcn，
∴ab−adn=ab−bcn，
∴ab−nd=ba−nc，
∴ab=a−ncb−nd
【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知ab=23
(1)求：aa+2b
(2)求证：aa+2b=b3a+2b
【答案】(1)14；(2)证明见解析.
【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解.
(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证.
【详解】(1)解：由 ab=23 可设a=2k，b=3k
∴aa+2b=2k2k+6k=14.
(2)证明：由(1)得，aa+2b=14，
b3a+2b=3k3×2k+2×3k=14
∴aa+2b=b3a+2b
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键.
【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
【答案】见解析
【分析】设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．
【详解】证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=ba，
设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，
解得：m=dc，
∵a，b，c，d四个数成比例，
∴ab=cd，
∴ba=dc，
∴k=m，
则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，解题关键是理解证明的思路．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知ax=by=cz，且1x+1y+1z=1.求证：a3x2+b3y2+c3z2=a+b+c3.
【答案】见解析
【分析】根据已知设ax=by=cz=k，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出
【详解】设ax=by=cz=k，从而a=kx，b=ky，c=kz，
于是a+b+c=k（1x+1y+1z），
又因为1x+1y+1z=1，所以a+b+c=k；
a3x2+b3y2+c3z2=k2a+b+c=a+b+c3.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键
【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设y+zx=z+xy=x+yz=k，则有：
y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，
将以上三个等式相加，得2x+k+z=kx+y+z.
∵ x，y，z都为正数，
∴ k=2，即y+zx=2，.
∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，求k的值；
（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
【答案】（1）k=13；（2）见解析．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=13；
（2）证明：设a+ba−b=b+c2(b−c)=c+a3(c−a)=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
故答案为（1）k=13；（2）见解析．
【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，
依照上述方法解答下列问题：
已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
【答案】−13．
【分析】设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到x=y=z，计算即可．
【详解】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，
则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
解得，k=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
解得，x=y=z，
则x−y−zx+y+z=−13．
【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
【答案】（1）85；（2）证明过程见解析
【分析】（1）根据a+bb=c+dd计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合a+bb=c+dd计算即可；
【详解】（1）∵ab=35，
∴a+bb=3+55=85；
（2）∵ab=cd，
∴ab−1=cd−1，
∴a−bb=c−dd，
又∵a+bb=c+dd，
∴a−bb÷a+bb=c−dd÷c+dd，
∴a−ba+b=c−dc+d．
【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于E，则S△ABCS△ABD=CEDE．
【问题解决】
如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．
（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm2？，分别求出这些“共边三角形”的面积；
（2）求证：AF=13AC；
（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3”，则AF:CF=______．
【答案】（1）△ABF、△DBF、△CBF，S△DBF=S△ABF=15cm2，S△CBF=30cm2;（2）见解析；（3）25．
【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有S△DBFS△CBF=BDBC=12，S△ABFS△DBF=AEDE=11，进而问题可求解；
（2）由（1）及题意可进行求解；
（3）由题意易得S△DBFS△CBF=BDBC=25，S△ABFS△DBF=AEDE=11，进而问题可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
以BF为公共边的“共边三角形”为：△ABF、△DBF、△CBF，
由“共边三角形”的性质：S△DBFS△CBF=BDBC=12，S△ABFS△DBF=AEDE=11，
∴S△ABF:S△DBF:S△CBF=1:1:2，
∵△ABC的面积为45cm2，
∴S△DBF=S△ABF=13S△ABC=15cm2，
∴S△CBF=23S△ABC=30cm2；
（2）证明：由“共边三角形”的性质：S△ABFS△CBF=AFCF
即：1530=AFCF，
∴AFAC=13，
∴AF=13AC；
（3）解：由“共边三角形”的性质：S△DBFS△CBF=BDBC=25，S△ABFS△DBF=AEDE=11，
∴S△ABF:S△DBF:S△CBF=2:2:5，
∵S△ABFS△CBF=AFCF，
∴AFCF=25，
故答案为25．
【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可．
【知识点3 黄金分割】
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型8 黄金分割的概念辨析】
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于5−12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（ABA．22B．5−12C．3−52D．5+12
【答案】B
【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：设BC=a，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴AB=5−12a，
∴BE=a-5−12a=3−52a，
∴⋅BEAB=(3−5)a2(5−1)a2=5−12，
故选：B．
【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为5−12是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且ACA．BCAB≈0.618B．BC=3−52AC
C．BC2=AB⋅ACD．ACBC=5−12
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得BCAB=ACBC=5−12≈0.618，即可解决问题．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC∴BCAB=ACBC=5−12≈0.618，
∴BC2=AB⋅AC，AC=5−12BC，
∴A、C、D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为5−12，近似值为0.618，即为黄金分割．
【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB=2，若C，D是AB的两个黄金分割点，则CD长为 ．
【答案】25−4
【分析】根据黄金分割的概念先计算出AC，然后再计算AD，最后根据CD=AC−AD即可求出答案．
【详解】如图，C，D是AB的两个黄金分割点，设AC>BC，AD根据题意得，AC=BD=5−12AB=5−12×2=5−1
∴ AD=AB−BD=2−5−1=3−5
∴ CD=AC−AD=5−1−3−5=25−4．
故答案为:25−4．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值5−12叫做黄金比，熟练掌握黄金比是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1C，C2是线段AC1的黄金分割点，以此类推，则ACm= ．
【答案】5−12m+1
【分析】先按照黄金分割比例依次计算出AC、AC1、AC2，然后按照规律即可得到ACm．
【详解】解：设AC=a，BC=BA−AC=1−a，
∵点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，
∴ BCAC=ACAB，
即1−aa=a1，整理得a2+a−1=0，
解得a=5−12或a=−5−12（舍去），
∴ACAB=5−12，AC=5−12，
∵ C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1C，
∴ AC1AC=5−12，AC1=5−122，
∵ C2是线段AC1的黄金分割点，
∴ AC2AC1=5−12，AC2=5−123，
∵ AC=5−12、AC1=5−122、AC2=5−123，
∴以此类推，ACm=5−12m+1，
故答案为：5−12m+1．
【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出ACm是解题关键．
【题型9 黄金分割的实际应用】
【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．
【答案】4.8
【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．
【详解】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则
102+x168+x=0.618，
解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．
故答案为4.8．
【点睛】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．（结果保留根号）
【答案】55-5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝5-12AB＝5-12×10＝55﹣5（cm），
故答案为：55﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）

【答案】4.3cm
【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为5−12列式计算即可．
【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，
由题意得：x7＝5−12，
解得：x＝7(5−1)2≈4.3，
故答案为：4.3cm．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为5−12是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点 处最自然得体．（结果精确到0.1m）
【答案】12.4m或7.6m
【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置分两种情况讨论：①黄金分割点离A近；②黄金分割点离B近，由黄金分割比列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，分两种情况，作图求解：
当①黄金分割点离A近，如图所示：
∵ AB=20m，
∴由黄金分割比可知ACBC=BCAB，
设AC=xm，则BC=20−xm，代入得到x20−x=20−x20，解得x=30±105，
∴AC=30−105≈7.6m，AC=30+105>20（舍弃）；
②黄金分割点离B近，如图所示：
∵ AB=20m，
∴由黄金分割比可知BCAC=ACAB，
设AC=ym，则BC=20−ym，代入得到20−yy=y20，解得x=−10±105，
∴AC=−10+105≈12.4m，AC=−10−105<0（舍弃）；
综上所述，主持人站在离A点12.4m或7.6m处最自然得体，
故答案为：12.4m或7.6m．
【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．文学社
篮球社
动漫社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.