中考数学一轮复习：专题3.13 一次方程与方程组章末十六大题型总结（培优篇）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题3.13 一次方程与方程组章末十六大题型总结（培优篇）（沪科版）（解析版），共42页。

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\l "_Tc20290" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc20290 \h 1
\l "_Tc31357" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc31357 \h 3
\l "_Tc19014" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc19014 \h 5
\l "_Tc686" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc686 \h 8
\l "_Tc19867" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc19867 \h 10
\l "_Tc3608" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc3608 \h 12
\l "_Tc12225" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc12225 \h 14
\l "_Tc3219" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc3219 \h 19
\l "_Tc12071" 【题型9 二元一次方程（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc12071 \h 20
\l "_Tc24832" 【题型10 二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc24832 \h 22
\l "_Tc28841" 【题型11 同解方程组】 PAGEREF _Tc28841 \h 24
\l "_Tc15424" 【题型12 方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc15424 \h 27
\l "_Tc27446" 【题型13 根据方程组解的关系求参数值】 PAGEREF _Tc27446 \h 29
\l "_Tc25810" 【题型14 根据二元一次方程组解的情况求值】 PAGEREF _Tc25810 \h 32
\l "_Tc29043" 【题型15 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc29043 \h 34
\l "_Tc30818" 【题型16 二元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc30818 \h 36
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣12D．12
【答案】A
【分析】设被墨水覆盖的数是y，将x=-1代入，解含有y的方程即可得到答案.
【详解】设被墨水覆盖的数是y，则原方程为：2x−12=12x−y，
∵此方程的解是x=-1，
∴将x=-1代入得：−2−12=−12−y ,
∴y=2,
故选：A.
【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的解.
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【答案】6
【分析】设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2x+a=5x得出4+a=10，再求出方程的解即可．
【详解】解：设被墨水盖住的常数是a，
把x=2代入方程2x+a=5x，
得4+a=10，
解得：a=6，
即▲处的常数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)−9
(2)3
【分析】（1）将被污染的数字12代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：−6×23−12+−23
=(−6)×16−8
=−1−8
=−9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：−6×23−x+−23=6，
解得：x=3，
答：被污染的数字是3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=23代入方程得：
321−a−233=23−13，
解得a=3，
即“■”表示的数为3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【答案】-1
【分析】根据题意，方程5a+x6﹣1＝0的解是x=1，可先得出a，然后，代入原方程，解出即可.
【详解】把x＝1代入方程5a+x6﹣1＝0中得：5a+16﹣1＝0，
解得：a＝1，
则原方程为5−x6﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案是：﹣1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入先求出a的值，然后求解，读懂题意是关键．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【答案】B
【分析】先将x=−5代入1−x=−2x+2a求出a的值，再解关于x的方程．
【详解】解：由题意知：x=−5是方程1−x=−2x+2a的解，
∴ 1−−5=−2−5+2a，
解得a=1，
∴原方程为1−x=−2x−2，
解得x=3，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【答案】(1)去分母；等式性质2
(2)①，第二个分子x+1没有用括号括起来
(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来
(4)见解析
【分析】（1）（2）（3）直接根据解一元一次方程的方法作答即可；
（4）先方程两边同时乘以6，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1．
【详解】（1）去分母，等式性质2；
（2）①，第二个分子x+1没有用括号括起来；
（3）去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来（答案不唯一）
（4）正确解答如下：去分母，得：2x−1−x+1=33x−1−6
去括号，得：2x−2−x−1=9x−3−6
移项，得：2x−x−9x=−3−6+2+1
合并同类项，得：−8x=−6
系数化为1，得：x=34．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号；去分母时，一是注意不要漏乘没有分母的项，二是去掉分母后把分子加括号．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣2）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【答案】x=15．
【分析】根据题意，得到等号右边的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”的方程，解方程得到a 的值，将a的值代入原方程可求得正确的解．
【详解】解：根据题意，将x=11代入2（x+2）=a+3（x﹣2），得：2（11+2）=a+3（11﹣2），
解得a=﹣1，
所以原方程为2x+2=−1−3x−2，
解得：x=15．
【点睛】考查一元一次方程的解, 解一元一次方程，比较基础，得到a的值是解题的关键.
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)x=3
(2)m=5
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；
（2）根据题意可得方程①的解为x=4，再代入方程①，得到关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：2x−3−1=3−x+1
去括号得：2x−6−1=3−x−1，
移项得：2x+x=3−1+6+1，
合并同类项得：3x=9，
解得：x=3；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为x=4，
把x=4代入方程①得，3×4−1−m=m+32，
解得m=5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【答案】k=−1
【分析】先解方程2−3x+1=0得到x=−13，进而得到关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解为x=13，把x=13代入方程k+x2−3k−2=2x中求出k的值即可．
【详解】解：2−3x+1=0
去括号得：2−3x−3=0，
移项得：−3x=3−2，
合并同类项得，−3x=1，
系数化为1得：x=−13，
∵方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，
∴关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解为x=13
∴k+132−3k−2=23，
解得k=−1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【答案】(1)4
(2)716
【分析】（1）先把所求代数式去括号，然后合并同类项化简，再把x=3代入求值即可；
（2）根据（1）所求得到y=4，把y=4带入方程中进行求解即可．
【详解】（1）解：5x−1−2x−2−4
=5x−5−2x+4−4
=3x−5，
当x=3时，原式=3×3−5=4；
（2）解：由题意得，方程2y−13=18y+■的解为y=4，
∴2×4−13=18×4+■，
∴■=716．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元一次方程的解，正确计算出（1）中代数式的值是解题的关键．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【答案】−35
【分析】先将x+12=3x−2的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值．
【详解】解：∵x+12=3x−2，
∴x=1，
由题意可知：x=1是x−m2=x+m3的解，
∴1−m2=1+m3
解得：m=−35，
故答案为：−35．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程mx+23=n3−x有无数解，对一次项系数进行讨论求得m、n的值，再相加即可求解．
【详解】解：mx+23=n3−x
m+1x=n−23，
∵关于x的方程mx+23=n3−x有无数解，
∴m+1=0，n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴m+n=-1+2=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确对方程进行化简是关键．
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【答案】1
【分析】先去分母可得，(2a−2)x=6，再由x=3a−1即可求解．
【详解】解：原方程去分母得，2ax=3x−x+6，
移项得，2ax−2x=6，
合并同类项得，2(a−1)x=6，
系数化1得，x=3a−1，方程无解，则分母为零，
∴a−1=0，则a=1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查的是一次方程无解的知识点，掌握x=ba无解时，满足b≠0，a=0是解题的关键．
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【答案】z=0
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
【详解】关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=2a−113a，
∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=2b，
∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，
∴b=0，
关于z的方程az=b可以简化为：z=ba，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【答案】D
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
故选：C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【答案】 3 -2
【详解】分析：先将等式转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则x的系数为0由此可求得a、b的值．
详解：将等式ax﹣3x=2+b转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则a﹣3=0，解得：a=3，此时，2+b=0，解得：b=﹣2．
故答案为3，﹣2．
点睛：本题主要考查了等式的性质，解题的关键是要善于利用题目中的隐含条件：“不论x取何值，等式永远成立” ．
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【答案】3
【分析】先把15个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
【详解】解：先把15个球分成5个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；
再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；
若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
故至少3次可以找出这个较轻的球．
故答案为：3
【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【答案】D
【分析】a=−1，a−b=ab=c，则−1−b=−b，等式不成立，故A错误；B分三种情形讨论即可；C由c≠0，a−b=ab=c推出a−b≠0，ab≠0，推出a−bab=1，即1b−1a=1，故错误；D由c=1，a−b=ab=c推出a−b=1，ab=1，则根据完全平方公式可得，a2+b2=3．
【详解】A.∵a=−1，a−b=ab=c，
∴−1−b=−b，等式不成立，故错误；
B.分三种情形讨论：
当a=b时，a−b=0，c=0，则abc=0，成立；
当a=c时，a−b=ab=c，则c−b=c，cb=c，无解，故abc=0不成立；
当b=c时，a−b=ab=c，则a−c=c，ac=c，解得a=1,b=12,c=12，故abc=0不成立，该选项错误；
C.由c≠0，a−b=ab=c推出a−b≠0，ab≠0，推出a−bab=1，即1b−1a=1，故错误；
D ∵c=1，a−b=ab=c，
∴a−b=1，ab=1，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴12=a2+b2−2×1，
解得：a2+b2=3，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于常考题型．
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【答案】x=1417
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：原方程可化为：10x7−17−20x3=1，
去分母，可得：30x−717−20x=21，
去括号，可得：30x−119+140x=21，
移项，可得：30x+140x=21+119，
合并同类项，可得：170x=140，
系数化为1，可得： x=1417．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】方程两边分别通分后相加，得3x−3+42x+312=5x+5−6x−430．
化简，得11x+312=−x+4930，
去分母得：3011x+3=12−x+49，
去括号得：330x+90=−12x+588，
移项合并得：342x=498
解得：x=8357．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【答案】x=4
【分析】方程两边去括号后，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去括号得：2x3+8x2﹣3x﹣12=x﹣4+2x3+8x2﹣6x，
移项合并得：2x=8，
系数化为1得：x=4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，解题关键是熟练运用整式运算法则进行化简方程，准确地解一元一次方程．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂项，得
x3−x4+x4−x5+x5−x6+x6−x7=2020
化简，得
x3−x7=2020
通分，得
421x=2020
系数化为1，得
x=10605
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）

A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【答案】C
【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数，确定a=−1或a=2，从而求出d的值，即可求解．
【详解】解：如图，

∵−1+2−3+4−5+6−7+8=4，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，
∴−7+6+8+b=2，
∴b=−5，
∵6+4+b+c=2，
∴6+4−5+c=2，解得c=−3，
∵a+c+4+d=2，
∴a+d=2−c−4=1
∴a+d=1，
∴a=−1或a=2，
当a=−1时，d=2，此时a+b=−1−5=−6,
当a=2时，d=−1，此时a+b=2−5=−3,
即a+b的值为−3或−6，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，d的可能取值是解题的关键．
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）

(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【答案】(1)5a
(2)不能
【分析】（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，设中间的数为a，上面的为a−12，下面的为a+12，左面的为a−2，右面的为a+2，这5个数的和可用a来表示，
（2）代入295后，若求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．
【详解】（1）从表格知道中间的数为a，上面的为a−12，下面的为a+12，左面的为a−2，右面的为a+2，
所以十字框框住的5个数字之和为：a+a−2+a+2+a−12+a+12=5a；
（2）不能，理由如下：
由题意知，5a=295，
解得a=59，
因为59是整数且位于第五行，第六列，处于最右边，没有更右边的数，不符合题意．
所以十字框框住5个数字之和不能等于295．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数字变化规律，理解题意能力和看表格能力，关键是找到题目的等量关系．
【变式7-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．
图（1） 图（2）
【答案】9
【分析】设a下方的数为m，右上角的数为n，则第二横行三个数的和为11+m+15，由第一竖列三个数的和为39，可知每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，于是列方程得11+m+15=39，求得m=13，再由对角线三个数的和列方程得n+13+12=39，求得n=14，由第一行三个数的和列方程得16+a+14=39，解方程求出a的值即得到问题的答案．
【详解】设a下方的数为m，右上角的数为n，
∵16+11+12=39，
∴每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，
根据题意得11+m+15=39，
解得m=13，
∴n+13+12=39，
解得n=14，
∴16+a+14=39，
解得a=9，
故答案为：9．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二横行三个数的和并且求出a下方的数是解题的关键．
【变式7-3】生活与数学

(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．

【答案】(1)3
(2)14
(3)10
(4)二
(5)① 9倍；②40；③不可能
【分析】（1）先根据日历上的数据规律，设第一个数是x,其他的数为x+1，x+7，x+8，然后列一元一次方程求解即可；
（2）根据日历上的数据规律，设第一个数是a,其他的数为a+1，a+6，a+7，然后列一元一次方程求解即可；
（3）根据日历上的数据规律，设中间的数是b,根据5个数的和是50列方程求解即可；
（4）根据日历上的数据规律，设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m−7，m−14，m−21，m−28，再列一元一次方程求解即可；
（5）①通过计算可以得出结论；②根据①的规律，设中间的数是n,列方程求解即可；③根据①的规律，设中间的数是t,列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一个数是x,其他的数为x+1，x+7，x+8，
则x+x+1+x+7+x+8=28，解得x=3．
故答案为：3．
（2）解：设第一个数是a,其他的数为a+1，a+6，a+7，
则a+a+1+a+6+a+7=42，解得a=7，
则a+1=8，a+6=13，a+7=14．
故答案为：14．
（3）解：设中间的数是b,则b+1+b−1+b+7+b−7=50，解得b=10．
故答案为：10．
（4）解：设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m−7，m−14，m−21，m−28，
则m+m−7+m−14+m−21+m−28=75，解得m=29，
∴这个月中最后一天是星期二．
故答案为：二．
（5）解：①2+4+6+18+20+22+34+36+38=180=9×20，
故答案为：9个数的和是中间的数的9倍；
②根据规律可知，和是中间的数的9倍，
设中间的数是n,
则9n=360，解得n=40，
故答案为：40；
③不可能，理由如下：
设中间的数是t,
则9t=450，解得t=50，
∵50是最左边第1列上的数，
∴不可能存在．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和数字变化的规律，关键找出规律、列方程是解答本题的关键．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【答案】C
【分析】根据题意可得，设x=0.36，则100x−x=36，求解即可．
【详解】解：设x=0.36，由题意可得100x−x=36
解得x=411，即0.36=411
故选：C
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程．
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【答案】48
【分析】设相等的数为x，依次表示出拆成的4个数，根据4个数的和为75列方程即可求得相等的数，进而求得拆成的4个数，从而可判断最大的数．
【详解】解：设相等的数为x，则拆成的4个数为：(x−4)，(x＋4)，4x，x4，
由题意得：(x−4)+(x+4)+4x+ x4 =75，
解得：x=12，
则x−4=8，x＋4=16，4x=48，x4=3，
故最大的数是48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，用相等的数去表示拆成的4个数是解决本题的突破点，难度一般．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【答案】15 、 17 、 19
【分析】此题可利用“三个连续奇数的和是51”作为相等关系列方程求解；
【详解】设最小的奇数为x，
则x+x+2+x+4=51
解得：x=15
故这三个数分别为：15，17，19；
故答案为：15，17，19
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解；此题中要熟悉连续奇数的表示方法，相邻的两个连续奇数相差2．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．51
【答案】A
【分析】设这个两位数的十位数字是 x， 则个位数字是6−x，根据题意列出一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：设这个两位数的十位数字是 x， 则个位数字是6−x，
由题意得10x+6−x+18−x=56，
解得： x=4，6−x=6−4=2．
∴这个两位数是 42．
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
【题型9 二元一次方程（组）的概念辨析】
【例9】下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y−2x=−1 ③3x−4−2x=1x−y=5 ④x2−y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定．
【详解】解：①x−2y=3y+2z=7是三元一次方程组，故不符合题意；
②1x+y=4y−2x=−1各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
③3x−4−2x=1x−y=5是二元一次方程组，故符合题意；
④x2−y3=12x+3y=12是二元一次方程组，故符合题意；
故是二元一次方程组是③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
【变式9-1】下列是二元一次方程的是（ ）
A．5x-9=xB．5x=6yC．x-2y2=4D．3x-2y=xy
【答案】B
【分析】由二元一次方程满足的条件:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程，解答即可.
【详解】A .不是二元一次方程，含有1个未知数;
B.是二元一次方程，符合二元一次方程的定义;
C .是二元二次方程;
D.是二元二次方程；
故选B.
【点睛】主要考查二元一次方程的概念,要求熟悉二元一次方程的形式及其特点:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程.
【变式9-2】方程 2x2m+3n−y2m−3=8是二元一次方程，则m−n= ．
【答案】3
【分析】根据二元一次方程的定义，列方程组，确定m，n的值，进而即可求解．
【详解】解：因为方程2x2m+3n−y2m−3=8是二元一次方程，
则2m+3n=12m−3=1，
解得m=2，n=−1．
将m=2，n=−1代入m−n=3．
故答案为：3．
【点睛】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据条件求得m、n的值，代入m−n即可求出．
【变式9-3】已知关于x，y的方程组x+ya−1=1ax−y=2是二元一次方程组．
(1)求a的值．
(2)下列哪些是该二元一次方程组的解．
① x=0y=1；② x=1y=0；③ x=1y=1．
【答案】(1)a=2
(2)②是该方程组的解
【分析】（1）根据二元一次方程的定义即可得到a−1=1，计算即可得到答案；
（2）由（1）得，方程组为x+y=12x−y=2，再分别将三组x，y的值代入方程组，进行验算即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：a−1=1，
解得：a=2；
（2）解：由（1）得，方程组为：x+y=12x−y=2，
①当x=0，y=1时，2x−y=−1≠2，
∴它不是该方程组的解；
②当x=1，y=0时，x+y=1，2x−y=2，
∴它是该方程组的解；
③当x=1，y=1时，x+y=2≠1，
∴它不是该方程组的解；
∴ ②是该方程组的解．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，二元一次方程组的解满足二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
【题型10 二元一次方程组的解】
【例10】若方程mx+ny=6的两个解是x=1y=1，x=2y=−1，则m，n的值为( )
A．−4，−2B．2，4C．4，2D．−2，−4
【答案】C
【分析】把x=1y=1，x=2y=−1代入方程mx+ny=6得出方程组，再求出方程组的解即可．
【详解】解：把x=1y=1，x=2y=−1代入方程mx+ny=6得
m+n=62m−n=6
解得：m=4n=2
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
【变式10-1】若x=2y=1是关于x、y的方程x−ay=3的一个解，则a的值为（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
【答案】D
【分析】把x=2y=1代入关于x、y的方程x−ay=3得到关于a的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ x=2y=1是关于x、y的方程x−ay=3的一个解，
∴2−a=3，
解得：a=−1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，根据题意得出关于a的方程是解此题的关键．
【变式10-2】小明在解关于x、y的二元一次方程组2x+y=7x−y=△时，解得x=4y=□，则△和□代表的数分别是（ ）
A．5和−1B．−1和5C．−1和3D．3和−1
【答案】A
【分析】将x=4代入方程组中第二个方程求出y的值，即可确定出△和□代表的数．
【详解】解：2x+y=7①x−y=△②，
把x=4代入①得：2×4+y=7，
∴y=−1，
则x=4，y=−1代入②得：4−(−1)=△，
∴△=5，
∴△=5，□=−1，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．
【变式10-3】已知关于x,y的方程组x+3y=4−ax−y=3a，下列说法正确的有
①若x=my=n是第一个方程的解，则x=my=n一定是第二个方程的解；
②若x=my=n是方程组的解，则x=my=n一定是第二个方程的解；
③若x=my=n是方程组的解，且m+n=3，则a=1；
④若x=my=n是方程组的解，且m+n=3，则a=−1．
【答案】②③
【分析】根据二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义分析判断说法①②；根据x=my=n是方程组的解，可得m+3n=4−am−n=3a，再结合m+n=3求出a的值，即可判断说法③④．
【详解】解：若x=my=n是第一个方程的解，则x=my=n不一定是第二个方程的解，故说法①错误；
若x=my=n是方程组的解，则x=my=n一定是第二个方程的解，说法②正确；
若x=my=n是方程组的解，则有m+3n=4−am−n=3a，
将两个方程相加，可得2(m+n)=4+2a，整理可得m+n=2+a，
又因为m+n=3，即有3=2+a，解得a=1，
故说法③正确，说法④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程（组）的解的知识，理解并掌握二元一次方程（组）的解的定义是解题关键．
【题型11 同解方程组】
【例11】（22·23八年级上·广东深圳·期中）已知方程组x+y=−1ax+5y=4和x−y=35x+by=1有相同的解，则a−2b的值为
【答案】10
【分析】根据题意得出方程组x+y=−1x−y=3，进而得出x、y的值，代入另两个方程求出a、b的值，再代入计算求出a−2b的值即可．
【详解】解：将第一个方程组中的x+y=−1和第二个方程组中的x−y=3联立，组成新的方程组x+y=−1x−y=3，
将方程组x+y=−1x−y=3中的两个方程相加，得：2x=2，
解得：x=1，
将x=1代入x+y=−1，得：1+y=−1，
解得：y=−2，
将x=1y=−2代入ax+5y=4和5x+by=1，得：a−10=4和5−2b=1，
解得：a=14，b=2，
∴a−2b=14−2×2=10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键．
【变式11-1】（22·23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的方程组5x−2y=3mx+5y=4与关于x，y的方程组x−4y=−35x+ny=1的解相同，则m+n的值为 ．
【答案】−5
【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；
【详解】解方程组5x−2y=3x−4y=−3，
解之得x=1y=1，
代入mx+5y=4得m=−1，
代入5x+ny=1得n=−4，
故m+n=−1−4=−5；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握消元思想是解题的关键．
【变式11-2】（22·23七年级下·四川眉山·期中）已知关于x，y的方程组2x−3y=3ax+by=−1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求3a+b2023的值．
【答案】−1
【分析】由题意可得：方程组2x−3y=33x+2y=11和方程组ax+by=−12ax+3by=3的解集相同，求得a，b的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可得：方程组2x−3y=33x+2y=11和方程组ax+by=−12ax+3by=3的解集相同
解方程组2x−3y=33x+2y=11可得x=3y=1
将x=3y=1代入ax+by=−12ax+3by=3可得：3a+b=−16a+3b=3，化简可得：3a+b=−12a+b=1
解得a=−2b=5
将a=−2b=5代入3a+b2023可得，原式=−6+52023=−1
3a+b2023的值−1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a，b的值．
【变式11-3】已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【答案】(1)x=2y=−1
(2)m=6n=4
(3)对，见解析
【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对．
【详解】（1）由题意可得：x+y=1x−y=3，
解得x=2y=−1；
（2）将x=2y=−1代入含有m，n的方程得：2m−2n=42n−m−1=3，
解得：m=6n=4；
（3）将x=2y=−1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×−1=5，
化简得：6+2a−2a−1=5，即5=5．
所以无论a取何值，x=2y=−1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
【点睛】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
【题型12 方程组的一般解法】
【例12】在二元一次方程2x−7y=4中，如果x与y互为相反数，那么此方程的解是 ．
【答案】x=49y=−49
【分析】根据x和y互为相反数，得：x+y=0，与2x−7y=4联立，得到方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：2x−7y=4①x+y=0②，
②×2−①，得9y=−4，
y=−49，
∴ x=49，
∴此方程的解为x=49y=−49．
故答案为：x=49y=−49．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组的基本思想是消元，能将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【变式12-1】按要求解二元一次方程方程组：
(1)x=y−54x+3y=29；（代入消元法）
(2)2x+3y=−46x−5y=16．（加减消元法）
【答案】(1)x=2y=7
(2)x=1y=−2
【分析】（1）按要求运用代入消元法求解；
（2）按要求运用加减消元法求解．
【详解】（1）x=y−54x+3y=29①②，
把①代入②中，得4y−5+3y=29，
解得：y=7，
把y=7代入①，得x=2，
∴方程组的解为x=2y=7．
（2）2x+3y=−46x−5y=16①②，
①×3−②，得14y=−28，
解得：y=−2，
把y=−2代入①，得2x+3×−2=−4，
解得：x=1，
∴方程组的解为x=1y=−2．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-2】解方程组：3x−2y−1=2x−y−1x6−y3=2．
【答案】x=22y=5
【分析】化简后，选择适当方法解方程组即可．
【详解】∵3x−2y−1=2x−y−1x6−y3=2
∴x−4y−2=0x−2y−12=0,
两式相减，得2y−10=0，
解得y=5，
把y=5代入x−2y−12=0，
解得x=22，
故原方程组的解为x=22y=5．
【点睛】本题考查了方程组的解法，选择适当的方法是解题的关键．
【变式12-3】解方程组：
(1)2x−y=55x+2y=8
(2)x+y2+x−y3=64(x+y)−5(x−y)=2
【答案】(1)x=2y=−1
(2)x=7y=1
【分析】（1）利用加减消元法即可解决；
（2）先将原式化为整式后利用加减消元即可．
【详解】（1）2x−y=5①5x+2y=8②
①×2+②得：9x=18，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：4−y=5，
解得：y=−1.
故原方程组的解为：x=2y=−1.
（2）原方程组可化为：5x+y=36①−x+9y=2②，
② ×5+ ①得：46y=46，
解得：y=1
把y=1代入①得：x=7.
故原方程组的解为：x=7y=1
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元的思想方法是解题关键．
【题型13 根据方程组解的关系求参数值】
【例13】（22·23下·广州·期中）已知方程组3x+2y=m+14x+2y=m−1，m等于 时，x，y的符号相反，绝对值相等．
【答案】−3
【分析】由②−①求解：x=−2，再求解y=12m+72，再根据x，y的符号相反，绝对值相等建立方程求解即可．
【详解】解：3x+2y=m+1①4x+2y=m−1②，
②−①得：x=−2，
把x=−2代入①，得−6+2y=m+1，
解得：y=12m+72，
当x，y的符号相反，绝对值相等，可得12m+72=2，
解得：m=−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解以及解法，掌握解二元一次方程的解法步骤是解本题的关键．
【变式13-1】若关于x，y的方程2x+y=1+2m2y+x=4−m的解满足x−y=3，则m= ．
【答案】2
【分析】利用二元一次方程组，得到x，y的值，代入x−y=3，即可得到答案．
【详解】解：∵2x+y=1+2m2y+x=4−m
∴x=−2−5m3y=−4m−73
∵x−y=3
∴−2−5m3−−4m−73=−2−5m3+4m−73=9m−93=3
∴9m−9=9
∴m=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查二元一次方程求参数的问题，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
【变式13-2】已知关于x，y的方程组x+y=2a−1x−3y=7−2a．
(1)若x=2y，求a的值．
(2)不论a取何值时，试说明x−y的值不变．
【答案】(1)a=5
(2)见解析
【分析】（1）把a看作已知数表示出x与y，根据x=2y求出a的值即可；
（2）把表示出的x与y代入x−y化简即可作出判断．
【详解】（1）解：x+y=2a−1①x−3y=7−2a②，
①−②得：4y=4a−8，
解得：y=a−2，
把y=a−2代入①得：x+a−2=2a−1，
解得：x=a+1，
∵x=2y，
a+1=2a−4，
解得：a=5；
（2）解：∵x−y=a+1−(a−2)=3，
则x−y的值不变．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把字母看成常数是解题的关键．
【变式13-3】（20·21七年级下·福建厦门·期中）关于x，y的方程组x+2y=k2x+y=2k+3．
(1)当k=4时，求x+y的值．
(2)若方程组的解x比y的值大1，求方程组的解及k的值．
【答案】(1)5
(2)x=0y=−1，−2
【分析】（1）利用两方程相加得到x+y=k+1，当k=4时，得到x+y=k+1=5；
（2）①×2−②得3y=−3，解得y=−1，方程组的解x比y的值大1，x=y+1=0，即可得到方程组的解为x=0y=−1，把x=0y=−1代入x+y=k+1得到0−1=k+1，解得k=−2．
【详解】（1）解：x+2y=k①2x+y=2k+3②
①＋②得，3x+3y=3k+3，
∴x+y=k+1，
当k=4时，x+y=k+1=4+1=5，
即x+y的值为5．
（2）①×2−②得，
3y=−3，
解得y=−1，
∵方程组的解x比y的值大1，
∴x=y+1=0，
∴方程组的解为x=0y=−1，
把x=0y=−1代入x+y=k+1得到0−1=k+1，
解得k=−2．
∴方程组的解为x=0y=−1，k的值为−2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【题型14 根据二元一次方程组解的情况求值】
【例14】k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解？无解？有无数解？
【答案】当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．
【详解】解：y=kx+b ①y=3k−1x+2 ②
①−②可得：kx+b=3k−1x+2，化简可得：2k−1x=b−2
（1）当2k−1≠0时，即k≠12，方程2k−1x=b−2有唯一解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解；
（2）当2k−1=0，b−2≠0时，即k=12，b≠2，方程2k−1x=b−2无解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2无解；
（3）当2k−1=0，b−2=0时，即k=12，b=2，方程2k−1x=b−2有无数解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2有无数解；
综上，当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．
【变式14-1】如果方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（ ）
A．a=1，c=1B．a≠bC．a=b=1，c≠1D．a=1，c≠1
【答案】B
【详解】本题考查了二元一次方程组的解的定义
此题的解法在于将两式的y用x来代替然后列出y关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．
由题意得y=1−xy=cb−abx，
∴1−x=cb−abx，
∴(a−b)x=c−b，
x=c−ba−b，
要使方程有唯一解，
则a≠b，
故选B
【变式14-2】已知二元一次方程组ax+3y=22x−y=1无解，则a的值是（ ）.
A．±1B．−1C．1D．以上都不对
【答案】D
【分析】由②得出y=2x−1③，把③代入①得出(a+6)x=5，根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可．
【详解】ax+3y=2①2x−y=1②
由②得y=2x−1,③
把③代入①得ax+3(2x−1)=2,
∴(a+6)x=5，
∵ 方程组无解,
∴a+6=0,
∴a=−6，
故选D.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程(a+6=0)．
【变式14-3】关于x，y的二元一次方程组x+2ay=3−a−ax−2y=1，①当a=2时，方程组的解是x=−1y=12，②当a=3时，x+2y=12；③若该方程组无解，则a=±1，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】分别把a的值代入二元一次方程组，求解相应方程组即可判断得解．
【详解】解：当a=2时，方程组为x+4y=1−2x−2y=1，解得x=−1y=12，故①正确；
当a=3时，方程组为x+6y=0−3x−2y=1，解得x=−38y=116，所以x+2y=−38+2×116=−14故②错误；
x+2ay=3−a①−ax−2y=1②，
①+②得1−ax+2a−1y=4−a，
∵该方程组无解，
∴1−a=0或a−1=0，
∴a=1，
①−②得1+ax+2a+1y=2−a，
∵该方程组无解，
∴1+a=0，
∴a=−1，
∴a=±1，
故③正确；
∴正确的结论共有2个，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
【题型15 构造二元一次方程组求解】
【例15】如表格所示，在3×3方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ）
A．x=1y=−1B．x=−1y=1C．x=2y=−1D．x=−2y=1
【答案】A
【分析】根据题意，可得4x−1+0=2y+5+04x−y+2y=2y+5+0，解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】解：由题意可得
4x−1+0=2y+5+04x−y+2y=2y+5+0，解得x=1y=−1，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组并利用加减消元法求解是解决问题的关键．
【变式15-1】已知5x+y−3+x−2y2=0，则x+y= ．
【答案】3
【分析】已知5x+y−3+x−2y2=0中的绝对值以及二次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都是0，即可求得x，y的值．
【详解】解：根据题意，得x+y−3=0x−2y=0，
解，得x=2y=1．
∴x+y=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，解决问题的关键在于掌握几个非负数的和是0，则每个非负数都是0．
【变式15-2】已知an=a1+n+1d(n为自然数)，且a2=5，a5=14，则a15的值为（ ）
A．53B．44C．29D．23
【答案】B
【分析】先根据已知条件，列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，再根据定义代入计算即可．
【详解】解：∵an=a1+n+1d，a2=5，a5=14，
∴a1+3d=5①a1+6d=14②，
②−①得：d=3，
把d=3代入①得：a1=−4，
∴a15=−4+15+1×3
=−4+16×3
=−4+48
=44，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，求出a1，d的值．
【变式15-3】若式子x4+(m−3)x3+(n−3m−8)x2+(24+mn)x−8n中不含x2和x3项，求m和n的值．
【答案】m=3，n=17
【分析】根据“不含x2和x3项”可令其系数为0，得出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
n−3m−8=0m−3=0，
解得m=3n=17，
答：m=3，n=17．
【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题，解二元一次方程组，理解“不含x2和x3项”的意义是正确解答的关键．
【题型16 二元一次方程组的应用】
【例16】现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨；
(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，
由题意得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4，
答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨；
（2）由题意得：3a+4b=31，
∴a=31−4b3，
又∵a、b均为非负整数，
∴a=9b=1或a=5b=4或a=1b=7
，∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式16-1】小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．小明从家到学校的下坡路长 米．
【答案】800
【分析】设从小明家到学校的下坡路长x米、平路为y米，根据时间=路程÷速度结合从家里到学校需20分钟、从学校到家里需30分钟，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设从小华家到学校的下坡路长x米、平路为y米，
根据题意得：x80+y60=20x40+y60=30，
解得：x=800y=600．
所以，从小明家到学校的下坡路长800米．
故答案为：800．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据数量关系时间=路程÷速度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式16-2】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的45；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要x天，甲队单独完成此项工程需要3x−5天，依题意得，x+3x−5=55，解得，x=15，则3x−5=40；
（2）由（1）可知，甲的工作效率为140，乙的工作效率为115，设还需要再合作y天可完成此项工程的45，依题意得，140×10+140+115y=1×45，计算求解即可；
（3）设甲单独工作a天，甲乙合作工作b天，依题意得，800a+b+1000b=21800140a+140+115b=1，计算求出a，b的值，然后根据a+b，计算求解甲工程队参加工作的天数．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要x天，甲队单独完成此项工程需要3x−5天，
依题意得，x+3x−5=55，
解得，x=15，
∴3x−5=3×15−5=40，
∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为140，乙的工作效率为115，
设还需要再合作y天可完成此项工程的45，
依题意得，140×10+140+115y=1×45，
解得，y=6，
∴还要再合作6天可完成此项工程；
（3）解：设甲单独工作a天，甲乙合作工作b天，
依题意得，800a+b+1000b=21800140a+140+115b=1，
解得，a=7b=9，
∵a+b=16，
∴甲工程队参加工作16天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．
【变式16-3】某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？(每款都有销售)
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)1100
(3)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；
（2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
（3）设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：5m+12n=112010m+15n=1700，
解得：m=80n=60，
∴m的值为80，n的值为60；
（2）解：根据题意得：120x+90y=3300，
∴40x+30y=1100，
∴120−80x+90−60y=40x+30y=1100，
答：该商场可获利1100元；
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：120−80−10a+90×3−60×3−10×2b=600，
∴a=20−73b，
又∵a，b均为正整数，
∴a=13b=3或a=6b=6，
∴a=133b=9或a=63b=18，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12
4x
−1
0
−y
5
2y
类型
进价(元/个)
售价(元/个)
A款
m
120
B款
n
90