中考数学一轮复习专题1.1 等腰三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.1 等腰三角形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共57页。


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\l "_Tc3790" 【题型1 根据等边对等角求角度】 PAGEREF _Tc3790 \h 1
\l "_Tc26775" 【题型2 根据等边对等角证明】 PAGEREF _Tc26775 \h 6
\l "_Tc7039" 【题型3 根据三线合一求解】 PAGEREF _Tc7039 \h 11
\l "_Tc22317" 【题型4 根据三线合一证明】 PAGEREF _Tc22317 \h 16
\l "_Tc10083" 【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】 PAGEREF _Tc10083 \h 23
\l "_Tc27570" 【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】 PAGEREF _Tc27570 \h 27
\l "_Tc995" 【题型7 根据等角对等边证明边相等】 PAGEREF _Tc995 \h 35
\l "_Tc16417" 【题型8 根据等角对等边求边长】 PAGEREF _Tc16417 \h 41
\l "_Tc8290" 【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】 PAGEREF _Tc8290 \h 45
\l "_Tc5731" 【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc5731 \h 50
【知识点 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 根据等边对等角求角度】
【例1】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′度数为（ ）

A．110°B．105°C．100°D．95°
【答案】A
【分析】由旋转知∠ABA′=∠CBC′=40°，BA=BA′，BC=BC′，由等边对等角及三角形内角和定理可求∠BAA′=70°，∠BCC′=70°，∠CAB=∠CBA=70°，∠ACB=40°，从而求得∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
【详解】解：由旋转知，∠ABA′=∠CBC′=40°，BA=BA′，BC=BC′，
∴∠BAA′=∠BA′A，∠BCC′=∠BC′C，
∴∠BAA′=12(180°−∠ABA′)=70°，∠BCC′=12(180°−∠CBC′)=70°，
∵△ABC中，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=70°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=40°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=40°+70°=110°．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=50°，则∠C的度数为 ．
【答案】70°或20°
【分析】①如图，当顶角为锐角三角形时：∠BAC=90°−∠ABD=40°，②如图，当顶角为钝角三角形时：∠BAC=90°+50°=140°，再结合等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：∠BAC=90°−∠ABD=40°，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12180°−40°=70°；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵∠ABD=50°，∠D=90°，
∴∠BAC=90°+50°=140°，

∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=12180°−140°=20°．
故答案为：70°或20°．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键．
【变式1-2】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）

A．12n75°B．12n−165°C．12n−175°D．12n85°
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C=180°−∠B2=180°−30°2=75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；
同理可得∠EA3A2=(12)2×75°，∠FA4A3=(12)3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是(12)n−1×75°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
【变式1-3】（2023春·海南海口·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．
(1)如图①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度数．
(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度数．
(3)当点D在直线BC上运动时（不与点B、C重合），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)36°
(2)40°
(3)2∠CDE=∠BAD
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=108°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=65°−20°=45°，于是得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°−α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°−α，根据题意列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠B=∠C=36°，
∴∠BAC=108°，
∵∠BAD=72°，
∴∠DAE=36°，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠CDE=180°−36°−36°−72°=36°；
（2）∵∠ACB=65°，∠CDE=20°，
∴∠E=65°−20°=45°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠ADC=25°，
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=65°，
∴∠BAD=40°；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°−α，
∴ y°=x°+αy°=x°−α+β，
解得，2α−β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α，
∴ x°+α=y°+βx°=y°+α，
∴2α=β，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°−α，
∴ x°−α+y°+β=180°x°+y°+α=180°，
解得，2α−β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
【题型2 根据等边对等角证明】
【例2】（2023春·湖南·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，点D在AB边上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．
(1)求证△DCE≌△CBF；
(2)若AB=AC，求证DE=12DB．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先证明∠FBC=∠DCE，再根据AAS可证ΔDCE≌ΔCBF；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BCH=∠DCH，BH=DH，再证明∠ACD=∠DCH，根据角平分线的性质可知DE=DH，进一步即可得证．
【详解】（1）证明： ∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠CFB=90°，∠BFA=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ABF=45°，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵∠DBC=∠ABF+∠FBC，∠BDC=∠A+∠DCE，
∴∠FBC=∠DCE，
在△DCE和△CBF中，
∠DEC=∠CFB∠ECD=∠FBCBC=CD，
∴△DCE≌△CBF(AAS)；
（2）证明：过点C作CH⊥BD于点H，如图所示：
∵BC=CD，
∴∠BCH=∠DCH，BH=DH，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FBC=∠DCE，
∴∠BCD=∠ABF=45°，
∴∠DCH=22.5°，∠BDC=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠ACD=67.5°−45°=22.5°，
∴∠ACD=∠DCH，
∵DE⊥AC，CH⊥BD，
∴DE=DH，
∴DE=12DB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．
【答案】见解析
【分析】根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质可得∠EAC=∠ACB，推得∠ABC=∠EAC，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠EAC，
∵AD⊥AB，CE⊥AC，
∴∠BAD=∠ACE=90°，
在△ABD和△ACE中
∠ABC=∠CAEAB=AC∠BAD=∠ACE，
∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．
【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式2-2】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求证：∠DBC=∠DCB．
【答案】见解析
【分析】由平行线的性质可得出∠ABD=∠BDC，结合题意可由“AAS”证明△ABD≌△DEC，即得出BD=DC，进而由等边对等角即可证明∠DBC=∠DCB．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
在△ABD和△DEC中，∠1=∠2∠ABD=∠EDCAB=DE，
∴△ABD≌△DECAAS，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
【变式2-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为线段CB延长线上一点，连接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于点E、F，且∠ADC+32∠ABC=180°．
(1)猜想∠DAC与∠ACD的数量关系，并证明；
(2)求证AD=DC+EC．
【答案】(1)∠ACD=2∠DAC，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边对等角得∠ABC=∠ACD，再由三角形内角和定理和已知等量代换即可得出结论；
（2）延长DC至点K，使CK=CE，易得△ADE≌△KDEAAS，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）∠ACD=2∠DAC．
证明如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACD，
∵∠ADC+32∠ABC=180°，
∴∠ADC+32∠ACD=180°，
又∵∠ADC=180°−∠ACD−∠DAC，
∴180°−∠ACD−∠DAC=180°−32∠ACD，
化简，得：∠ACD=2∠DAC．
（2）证明：延长DC至点K，使CK=CE．
∵CK=CE，
∴∠K=∠CEK，
∴∠ACD=2∠K，
又∵ ∠ACD=2∠DAC，
∴∠DAC=∠K，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠KDE，
在△ADE与△KDE中，
∠ADE=∠KDE∠DAC=∠KDEDE=DE，
∴△ADE≌△KDEAAS，
∴DA=DK，
又∵DK=DC+CK=DC+EC，
∴ AD=DC+EC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确构造辅助线使三角形全等是解题的关键．
【题型3 根据三线合一求解】
【例3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC= ．

【答案】12
【分析】过D作DN∥AF，交CE延长线于N，证明△DEN≌△FEBAAS，得到EN=BE=4，由此求出NH=10，再根据∠C=∠ABC，∠ABC=∠N，证得∠C=∠N，得到DC=DN，利用等腰三角形的三线合一求出CH=NH=10，即可求出BC=CH+BH=12．
【详解】过D作DN∥AF，交CE延长线于N，
∴∠FDN=∠F,∠FBE=∠N
∵点E是DF的中点，
∴DE=FE
∴△DEN≌△FEBAAS
∴EN=BE，
∵BH=2，BE=2BH，
∴EN=BE=4，
∴NH=10，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DN∥AF，
∴∠ABC=∠N，
∴∠C=∠N，
∴DC=DN
又∵DH⊥BC，
∴CH=NH=10，
∴BC=CH+BH=12，
故答案为：12．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，正确引出辅助线结合各性质进行推理论证是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，交AD于点F．若∠C=66°，则∠AFE的度数为（ ）

A．48°B．62°C．72°D．82°
【答案】C
【分析】由题意易得∠ABC=∠C=66°，AE=BE，则有∠ABE=∠BAC=48°，然后可得∠EBC=18°，进而问题可求解．
【详解】解： ∵AB=AC，AD是△ABC的中线，，∠C=66°，
∴∠ABC=∠C=66°，AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴∠BAC=180°−2∠C=48°，
∵AB的垂直平分线交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAC=48°，
∴∠EBC=18°，
∴∠AFE=∠BFD=90°−∠EBC=72°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，当ΔPCD的周长取最小值4时，则AC= ．
【答案】2或6
【分析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BD⊥AC，再根据三角形的面积公式求出AC×BD=6，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为CP+PD的最小值，得BD=−12AC+4，由此即可得出结论．
【详解】解：连接BD，
∵AB=BC，点D是BC边的中点，
∴BD⊥AC，
∴SΔABC=12AC⋅BD=12×AC×BD=3，
解得AC×BD=6，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴点C关于直线l的对称点为点B，
∴BD的长为CP+PD的最小值，
∴.ΔCDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+12AC=4，
∴BD=−12AC+4，
∴AC×(−12AC+4)=6，
解得AC=2或6．
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M，点F为边AB上一点，连接CF，∠ACF=∠CBG．
(1)若∠FCM=18°，则∠BGC的度数为______；
(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)108°
(2)CF=2DE，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAF=∠CBA = 45°，∠BCG=∠ACG=45°，求出∠BCG =∠CAF= 45°，进而求出∠ACF得到∠CBG的度数，根据三角形内角和求出答案；
（2）证明△BCG≌△CAF (ASA)，推出BG = CF，再证△ADE≌△CGE (AAS)，推出DE= GE，即DG = 2DE，即可得到结论．
【详解】（1）∵∠ACB= 90°， AC= BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA = 45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG =∠CAF= 45°，
∵∠FCM=18°，
∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=45°-18°= 27°，
∴∠CBG =∠ACF= 27°，
∴∠BGC=180°-∠BCG-∠CBG=180°- 45°- 27°= 108°，
故答案为：108° ；
（2）CF= 2DE，
理由：连接AG，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG =∠CAF，
∴△BCG≌△CAF (ASA)，
∴BG = CF，
∵CG平分∠ACB， AC= BC，
∴CM⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE= CE，
∴△ADE≌△CGE (AAS)，
∴DE= GE，即DG = 2DE，
又∵点G是BD的中点，
∴DG = BG，
∴CF= 2DE．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【题型4 根据三线合一证明】
【例4】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，DE//AC
(1)求证：EB=ED．
(2)求证：AE=DE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)根据DE//AC，ED=12AC=12AB，进而得出结论；(2)由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD，再由平行线的性质得∠BAD=∠ADE，则∠CAD=∠ADE，即可得出结论．
【详解】（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∵DE//AC，
∴ED=12AC=12AB，
∴E是AB中点即EB=AE=12AB，
∴EB=ED．
（2）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AC
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，求证：

(1)△ABC≌△ADC；
(2)AC⊥BD．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）分别利用SSS证△ABC≌△ADC即可；
（2）由△ABC≌△ADC得∠ACB=∠ACD，利用等腰三角形的性质即可得AC⊥BD．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．

（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵BC=CD，
∴AC⊥BD．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．
【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运动，且始终保持AE=CF．
(1)如图①，若点E、F分别在线段AB、AC上，DE与DF相等且DE与DF垂直吗？请说明理由；
(2)如图②，若点E、F分别在线段AB、CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．
【答案】(1)DE=DF且DE⊥DF，见解析
(2)成立，见解析
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°和AD=BD=DC，再证明△AED≌△CFD（SAS），利用全等三角形的性质即可求解；
（2）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°和AD=BD=DC，再证明△AED≌△CFD（SAS），利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）DE=DF且DE⊥DF，理由是：
如图①，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，AE=CF∠EAD=∠DACAD=DC
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接AD，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，AE=CF∠EAD=∠DACAD=DC
∴△AED≌△CFD（SAS）；
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF−∠ADF=90°，
∴∠ADE−∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D为AB中点，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，点F为CE上一点，BF始终垂直于CE，交直线CD于点G．

(1)点E在线段AD上运动（如图1），当CG=AE时，求证：BG=CE；
(2)若点E运动到线段BD上（如图2），当CG=AE时，试猜想BG、CE的数量关系是否发生变化，请写出你的结论并加以证明；
(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图3），求证：△BCE≌△CAM．
【答案】(1)见解析
(2)不变，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BCG=45°，再证明△ACE≌△CBGSAS，即可求证BG=CE；
（2）用和（1）同样的方法证明△ACE≌△CBGSAS，即可得出结论；
（3）根据等腰三角形性质得出CD⊥AB，则∠2+∠3=90°，根据AH⊥CE，则∠3+∠M=90°，即可得出∠2=∠M，再推出∠1=∠3，则∠BCE=∠CAM，即可求证△BCE≌△CAMAAS．
【详解】（1）证明：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵点D为AB中点，
∴∠BCG=12∠ACB=45°，
在△ACE和△CBG中，
AC=CB∠BCG=∠ACG=AE，
∴△ACE≌△CBGSAS，
∴BG=CE．
（2）解：BG、CE的数量关系不发生变化，证明如下：
证明：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵点D为AB中点，
∴∠BCG=12∠ACB=45°，
在△ACE和△CBG中，
AC=BC∠BCG=∠ACG=AE，
∴△ACE≌△CBGSAS，
∴BG=CE．
（3）解：∵AC=BC,∠A=∠ABC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵点D为AB中点，
∴CD⊥AB，∠BCG=12∠ACB=45°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AH⊥CE，
∴∠3+∠M=90°，
∴∠2=∠M，
∵∠1+∠M=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠3+∠BCG=∠1+∠BAC，即∠BCE=∠CAM，
在△BCE和△CAM中，
∠2=∠M∠BCE=∠CAMAC=BC，
∴△BCE≌△CAMAAS．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形那个的性质，解题的关键是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三线合一”．
【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】
【例5】（2023春·上海浦东新·八年级校联考期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36，则图中共有 个等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．
（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．
【详解】（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
BE=CD∠ABC=∠ACBBC=CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．
【变式5-1】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．
【详解】解：如下图，
作AB垂直平分线与AC相交于点P，可得PA=PB，
以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有P1、P2两个交点，可得P1A=AB,P2A=AB，
以B为圆心，AB为半径画圆，交AC有P3一个交点，可得P3A=AB，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．
【变式5-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺规作图作出射线BD交AC于点D，则图中等腰三角形共有 个．
【答案】3
【分析】根据已知条件∠ABC=72°，∠A=36°，可得△ABC是底角为72°的等腰三角形，再根据尺规作图可得BD平分∠ABC，从而判断等腰三角形的个数．
【详解】∵△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，
∴∠C=180°−72°−36°=72°，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
由题图可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠ABD=∠A，∠CDB=180°−72°−36°=72°，
∴AD=BD,∠CDB=∠C，
∴△ABD是等腰三角形，BC=BD，
∴△BDC是等腰三角形．
综上可知，题图中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BDC，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键．
【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．
(1)求证：AD=BE；
(2)如图2，若点E是AB的中点，连接DE、CD，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ABC，△EDC，△CDB，△ADE
【分析】（1）先证明AB=BC，根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据等腰三角形的判定方法判断即可．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴AB=BC．
∵CE⊥BD，
∴∠BCE+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠BCE．
在△DAB和△EBC中，∠ABD=∠BCEAB=BC∠DAB=∠EBC，
∴△DAB ≌△EBC（ASA），
∴AD=BE．
（2）如图：
由（1）可知AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵点E是AB的中点，AD=BE，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∵∠DAB=90°，∠BAC=45°，
∴FD=FE，AC⊥DE，
∵FC=FC，
∴△EFC≌△DFC，
∴EC=DC，
∴△EDC是等腰三角形；
∵△DAB ≌△EBC，
∴EC=DB，
∴DC=DB，
∴△CDB是等腰三角形；
故等腰三角形有△ABC，△EDC，△CDB，△ADE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例6】（2023春·重庆江北·八年级校考期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于点G．
(1)求证：△GEF为等腰三角形；
(2)求证：AF+BD=AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质可得∠AEG=∠BAD，可得∠AEG=∠CAD，根据等角的余角相等可得∠AFE=∠GEF，即可得出答案；
（2）在AB上取BM=BD，连接EM，首先利用SAS证明△MBE≌△DBE，得∠BME=∠BDE，再说明∠AFE=∠AME，利用AAS证明△AFE≌△AME，得AF=AM，进而证明结论．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EG∥AB，
∴∠AEG=∠BAD，
∴∠AEG=∠CAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AEG+∠GEF=∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠GEF，
∴GF=GE，
∴△GEF为等腰三角形；
（2）在AB上取BM=BD，连接EM，
∵BE平分∠ABD，
∴∠MBE=∠DBE，
在△MBE和△DBE中，
BM=BD∠MBE=∠DBEBE=BE，
∴△MBE≌△DBE(SAS)，
∴∠BME=∠BDE，
∵∠FED=∠ACB=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠BDE=180°，
∴∠EFC=∠BDE，
∴∠EFC=∠BME，
∴∠AFE=∠AME，
在△AFE和△AME中，
∠BAD=∠CAD∠AFE=∠AMEAE=AE，
∴△AFE≌△AME(AAS)，
∴AF=AM，
∴AF+BD=AM+BM=AB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级统考期中）如图，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．
(1)求证：△PGH是等腰三角形；
(2)若∠1=116°，求∠GPD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)148°
【分析】（1）首先根据平角的定义得出∠2=∠BGH，则AB∥CD，再利用平行线的性质证明即可；
（2）首先得出∠BGH=180°−116°=64°，再由角平分线的定义得出∠BGP=32°，最后利用平行线的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠BGH=180°，
∴∠2=∠BGH，
∴AB∥CD，
∴∠GPH=∠PGB，
∵GP平分∠BGH，
∴∠PGH=∠PGB，
∴∠GPH=∠PGH，
∴GH=PH，
∴△PGH是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=116°，
∴∠BGH=180°−116°=64°，
∵GP平分∠BGH，
∴∠BGP=32°，
∵AB∥CD，
∴∠GPD=180°−32°=148°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，四边形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，过点D作∠CDE=∠CAB，DE与C交于点D，与AC交于点H．
(1)求证：△CHD为等腰三角形；
(2)若E为BC中点，猜想AH，HD与EH三者的数量关系．并证明之
【答案】(1)见解析；
(2)AH=HD+2EH，理由见解析．
【分析】（1）由题意可知AB∥CD，利用其性质可得∠DCA=∠CAB，根据∠CDE=∠CAB进而可得∠DCA=∠CDE，从而可得△CHD为等腰三角形；
（2）如图，延长DE，使得DE=EF，可证明△BEF≌△CED，可得∠F=∠CAB，即AH=FH，再利用线段和差关系即可得AH=HD+2EH．
【详解】（1）证明：∵∠DCB+∠CBA=180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠CDE=∠CAB，
∴∠DCA=∠CDE，
∴HD=HC，
∴△CHD为等腰三角形．
（2）AH=HD+2EH，理由如下：
如图，延长DE，使得DE=EF=HD+EH，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE
在△BEF与△CED中，
FE=DE∠BEF=∠CEDBE=CE，
∴△BEF≌△CED（SAS），
∴∠F=∠CDE，
又∵∠CDE=∠CAB，
∴∠F=∠CAB，
∴AH=FH，即：AH=EF+EH=HD+EH+EH
即：AH=HD+2EH．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用中点倍长中线构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式6-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【分析】（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况
△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；

△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；

△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，

此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
【题型7 根据等角对等边证明边相等】
【例7】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

(1)求证：AB=BD；
(2)设BD与AE交于点F，求证：CE=BF+EF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和得出∠BAC=∠ADB=75°，再用等腰三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰三角形的判定证明AE=EC，AF=BF即可．
【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C=75°，
∠BAC=180°−∠ABC−∠C=75°，
∴∠BAC=∠ADB，
∴AB=BD；
（2）证明：∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°
∵∠C=45°
∴∠EAC=45°
∴AE=EC
∵∠BAC=75°
∴∠EAB=30°
∴∠ABD=∠EAB=30°，
∴AF=BF，
∵AE=AF+EF
∴CE=BF+EF．
【点睛】本题考查了三角形内角和和等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用三角形内角和求出角的度数．
【变式7-1】（2023春·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．
【答案】见解析
【分析】过D作DG∥CE，交BC于点G，证明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根据平行线的性质以及等角对等边可得BD＝DG，等量代换即可证明BD＝CE．
【详解】证明：过D作DG∥CE，交BC于点G，
则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△DGF和△ECF中，
∠GDF=∠EDF=EF∠DFG=∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，
∴BD＝DG
∴ BD＝CE．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等角对等边，正确的添加辅助线是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，CA=CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠D的度数；
(3)求证：∠D=2∠AEF．
【答案】(1)见解析
(2)∠AEF=40°，∠D=80°
(3)见解析
【分析】（1）根据等边对等角得出∠B=∠CAB，再由等角的余角相等得出∠BEF=∠AGF，利用等角对等边即可证明；
（2）根据角平分析及等边对等角得出∠CAB=∠B=30°，再由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据三角形内角和定理得出∠AEF =90°−∠CAB+∠EAC，∠D=180°−2∠CAB+∠EAC，即可证明．
【详解】（1）证明：∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠EFB=90°．
∴∠B+∠BEF=90°，∠CAB+∠AGF=90°，
∴∠BEF=∠AGF．
∵∠AGF=∠EGC，
∴∠CEG=∠EGC．
∴CG=CE．
（2）解：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD=∠EAC=12∠CAD=12×40°=20°．
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=30°．
在△AEF中，∠AEF=180°−∠AFE−∠CAB−∠EAC=40°．
在△ABD中，∠D=180°−∠B−∠CAB−∠CAD=80°．
（3）证明：在△AEF中，∠AEF=180°−∠AFE−∠CAB−∠EAC =90°−∠CAB+∠EAC．
在△ABD中，∠D=180°−∠B−∠CAB−∠CAD=180°−2∠CAB+∠EAC．
∴∠D=2∠AEF．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
【变式7-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，∠ABD＝2∠CAD．
(1)如图1，求证：AB＝BC；
(2)如图2，点E为AB上一点，且BE＝CD，连接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求证∠ABC＝45°；
(3)如图3，在（2）的条件下，过B作BF⊥AC于点F，BF交AD于点G，连接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4+22
【分析】(1)令∠CAD=α，则∠ABD=2α，由直角三角形的性质得出∠C=90°−α，证出∠BAC=90°−α=∠C，则可得出结论；
(2)由直角三角形的性质得出∠AED=∠ADE，则AE=AD，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
(3)过点D作DH⊥CG于点H，证明△BDG≌△ADC(ASA)，由全等三角形的性质得出DG=DC，证出CH=DH=GH，令DH=m，CD=n，则CG=2m，DG=n，由三角形CDG的面积可得出m，n的值，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：令∠CAD=α，则∠ABD=2α，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠C=90°−α，
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=90°−α=∠C，
∴AB=BC；
（2）证明：∵∠AED+∠BDE=90° ，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∵AB=BC，BE=CD，
∴AB−BE=BC−CD，
即AE=BD，
∴AD=BD，
∴∠ABC=∠BAD，
又∵∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°；
（3）解：过点D作DH⊥CG于点H，
∵∠DBG+∠ACD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DBG=∠CAD，
又∵∠BDG=∠ADC=90°，BD=AD，
∴△BDG≌△ADCASA，
∴DG=DC，
∴∠CGD=∠DCG，
又∵∠CGD+∠DCG=90°，
∴∠CGD=∠DCG=45° ，
∴DG=DC，DH⊥CG ，
∴∠CDH=∠GDH=12∠CDG=45°=∠CGD=∠DCG，
∴CH=DH=GH，
令DH=m，CD=n，则CG=2m，DG=n，
∵S△CDG=12CG⋅DH=12CD⋅DG=2，
∴12×2m×m=2，12×n×n=2，
∴m=±2，n=±2，
∵m>0，n>0，
∴m=2，n=2，
∴CG=22，DG=2，
∵AB=BC，BF⊥AC，
∴AF=CF，
∴AG=CG=22，
∴BD=AD=AG+DG=22+2，
∴S△ABG=12AG⋅BD=12×22×(22+2)=4+22．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDG≌△ADC是解题的关键．
【题型8 根据等角对等边求边长】
【例8】（2023春·山东聊城·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的角平分线．
(1)如图 1 ，若CE⊥AD于点 F，交AB于点 E ，AB=8 ，AC=5．求 BE的长．
(2)如图 2 ，若∠C=2∠B，点 E 在AB上，且AE=AC，AB=a ，AC=b ，求CD的长；（用含 a 、b 的式子表示）
【答案】(1)BE=3
(2)DC=a−b
【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE=AC=5，得出答案；
（2）利用ASA证明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再证明∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得到结论．
【详解】（1）解：（1）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA=∠EFA=90°，
∵在△AEF和△ACF中∠EAF=∠CAFAF=AF∠AFE=∠AFC，
∴△AEF≌△ACFASA，
∴AE=AC=5，
∵AB=8，
∴BE=AB−AC=8−5=3．
（2）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD
∴△ADE≌△ADCSAS
∴∠C=∠AED，DC=DE，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE，
∴DE=BE，
∴DC=DE=BE=AB−AE=AB−AC=a−b．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校联考期中）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A,B两点望灯塔C，测得∠NAC=35°,∠NBC=70°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．45海里B．30海里C．20海里D．15海里
【答案】B
【分析】先根据航行速度和时间可得AB=30海里，再根据三角形的外角性质可得∠C=35°，然后根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】由题意得：AB=15×10−8=30（海里），
∵∠NAC=35°,∠NBC=70°，
∴∠C=∠NBC−∠NAC=35°，
∴∠C=∠NAC=35°，
∴BC=AB=30海里，
即B处到灯塔C的距离为30海里，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
【变式8-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
【答案】78
【分析】根据折叠的性质得到∠CBD＝∠EBD，根据AD∥BC可得∠CBD＝∠EDB，易得ED＝EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
∴∠CBD＝∠EBD， AD∥BC
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∵AE＝5，AB＝12，BE＝13，
∴DE＝13，
∴重叠部分的面积＝12DE⋅AB ＝12×13×12＝78．
故答案为：78．
【点睛】本题考查了折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
【变式8-3】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周长为22，则DB的长为( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】利用角平分线与垂直证明△CDE≌△CBE，从而可得CD=CB，再利用等角对等边证明AD=BD，将△CDB的周长转化为AC与BC的和，即可求解．
【详解】解：∵CE⊥DB，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE=∠BCE，
∵CE=CE，
∴△CDE≌△CBE，
∴CD=CB，
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=DB，
∵△CDB的周长为22，
∴CD+CB+BD=22，
∵AC=14，
∴AD+CD=14，
∴BD+CD=14，
∴BC=22−14=8，
∴BC=CD=8，
∴AD=BD=14−8=6，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，注意结合图形分析各边之间的关系是解题的关键．
【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】
【例9】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）题目：“如图，已知∠AOB=30∘，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围。”对于其答案，甲答：x=0，乙答：0
A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可．
【详解】①当x=0时，点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，
当MP1=NP1，△MNP为等腰三角形；
当NM=MP2，△MNP为等腰三角形；
当NM=NP3，△MNP为等腰三角形；
∴P1，P2，P3满足题意；

②当x=2时，存在满足条件的点P只有一个；
∴NM=MP=NP；

③当x=4，存在满足条件的点P只有2个；
当MP1=NP1，△MNP为等腰三角形；
当MN=MP2，△MNP为等腰三角形；

④当2当MP1=NP1，△MNP为等腰三角形；
当MN=MP2，△MNP为等腰三角形；
当MN=MP3，△MNP为等腰三角形；

⑤当0∴甲、丙答案合在一起才完整，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形．
【变式9-1】（2023春·浙江·八年级期中）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA=OB，OA=AB，OB=AB，从这三方面考虑点B的位置即可；
【详解】解：当OA=OB时；
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
当OA=AB时；
以点A为圆心，OA的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个；
当OB=AB时；
作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个；
∴满足条件的B点总共有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．

【答案】20°或40°或70°或100°
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若AB=AD，
则∠ADB=∠ABC=40°；

若AD=BD，
则∠DAB=∠DBA=40°，
∴∠ADB=180°−2×40°=100°；

若AB=BD，且三角形是锐角三角形，
则∠ADB=∠BAD=12180°−∠ABC=70°；

若AB=BD，且三角形是钝角三角形，
则∠BAD=∠BDA=12∠ABC=20°．

综上：∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°，
故答案为：20°或40°或70°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．
【变式9-3】（2016秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为 个．
【答案】6．
【详解】试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB的垂直平分线，首先△ABC的外心满足，再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，AB的垂直平分线相交于两点，分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点，再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解．
解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为6．
考点：等腰三角形的判定与性质．
【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】
【例10】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=∠ABC=42°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是CD上一点，将△ACE沿着AE翻折得到△AFE，连接CF，若E，F，B三点恰好在同一条直线上，则∠CFA的度数是（ ）
A．75°B．78°C．80°D．84°
【答案】B
【分析】根据余角和等腰三角形的性质得∠ACD=48°、AC=BC，根据等要三角形的性质，得∠BCD=48°；根据全等三角形的性质，通过证明△ACE≌△BCE，得∠CAE=∠CBE；根据轴对称的性质，得∠AFE=∠ACD=48°，∠CAE=∠FAE，AC=AF；设∠CAE=∠FAE=∠CBE=x，根据三角形外角的性质，通过列一元一次方程并求解，得x的值，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算，即可得到答案．
【详解】∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∵∠BAC=∠ABC=42°
∴∠ACD=90°−∠BAC=48°,AC=BC
∵CD⊥AB
∴∠BCD=∠ACD=48°
在△ACE和△BCE中
AC=BC∠ACD=∠BCDCE=CE
∴△ACE≌△BCE
∴∠CAE=∠CBE
∵将△ACE沿着AE翻折得到△AFE，
∴∠AFE=∠ACD=48°，∠CAE=∠FAE，AC=AF
∴∠CAE=∠FAE=∠CBE
设∠CAE=∠FAE=∠CBE=x
∴∠BAF=∠BAC−∠CAE−∠FAE=42°−2x，∠ABF=∠ABC−∠CBE=42°−x
∵∠AFE=∠BAF+∠ABF=42°−2x+42°−x=84°−3x
∴48°=84°−3x
∴x=12°
∴∠CAF=∠CAE+∠FAE=24°
∵AC=AF
∴∠CFA=∠FCA=180°−∠CAF2=78°
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称、全等三角形、等腰三角形、余角、三角形内角和、三角形外角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．

【答案】108
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，证明 OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=12(180°−∠BAC)=12(180°−54°)=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=63°−27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∴ OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−36°−36°=108°，
故答案为：108．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，延长BE至点M，使得BM=AC，连接AM并延长，交BC的延长线于点N，现给出以下结论：

①AB=BM；
②△ACN≌△BMN；
③AD=DN；
④S△AEM:SBEC=AE:BE.
其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③/③①
【分析】证明AD垂直平分BC，得出AB=AC，即可证明AB=BM，即可判断①；
设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，得出∠BAM=∠AMB=45°+α，求出∠AMB=∠CBE+∠N=α+∠N，得出45°+α=∠N+α，证明∠DAN=∠N，即可判断③；
求出∠CAN=∠DAN−∠DAC=45°−α，∠NBM=α，得出∠CAN≠∠NBM，得出△ACN与△BMN不一定全等，即可判断②；
根据S△ABMS△ABC=12BM×AE12AC×BE=AEBE，得出S△ABE+S△AEMS△ABE+S△BCE=AEBE，从而得出S△AEMS△BCE≠AEBE，即可判断④．
【详解】解：∵在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵BM=AC，
∴AB=BM，故①正确；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，
∴∠ABM=90°−2α，
∵AB=BM，
∴∠BAM=∠AMB=12180°−∠ABM=45°+α，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCE+∠CAD，
∴∠CBE=∠CAD=α，
∴∠AMB=∠CBE+∠N=α+∠N，
∴45°+α=∠N+α，
∴∠N=45°，
∵∠ADN=90°，
∴∠DAN=90°−45°=45°，
∴∠DAN=∠N，
∴AD=DN，故③正确；
∵∠CAN=∠DAN−∠DAC=45°−α，∠NBM=α，
∴∠CAN≠∠NBM，
∵∠N=∠N，
∴∠ACN≠∠BMN，
∴△ACN与△BMN不一定全等，故②错误；
∵S△ABC=12AC×BE，S△ABM=12BM×AE，AC=BM，
∴S△ABMS△ABC=12BM×AE12AC×BE=AEBE，
∵S△ABM=S△ABE+S△AEM，S△ABC=S△ABE+S△BCE，
∴S△ABE+S△AEMS△ABE+S△BCE=AEBE，
∴S△AEMS△BCE≠AEBE，故④错误；
综上分析可知，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
【变式10-3】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

(1)求证：BE=CF；
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：
①ME⊥BC；
②CM平分∠ACE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）两次运用同角的余角相等证明△AEB≌△AFC，得BE=CF；
（2）①过E作EH⊥AB于H，分别证明△BEH和△MEH是等腰直角三角形即可；②先证明ME∥AD，则有∠1=∠EAD=∠AEM，即ME=MA，再根据角平分线的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：
∵AF⊥AE，∠BAC=90°，∴∠FAE=∠BAC=90°，
∴∠FAE−∠CAE=∠BAC−∠CAE，即∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCB=90°，∴∠FCA=∠FCB−∠ACB=90°−45°=45°，∴∠B=∠FCA，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠1=∠2∠B=∠FCA，
∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC．

②∵ME⊥BC，AD⊥BC，
∴∠BEM=∠ADB=90°，
∴ME∥AD，
∴∠AEM=∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠EAD，
∴∠1=∠AEM，
∴ME=MA，
又∵ME⊥BC，∠BAC=90°，
∴CM平分∠ACE．
【点睛】本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，证明边和角相等时，一般就证明边和角所在的三角形全等即可，本题中有多个等腰直角三角形，利用45°角的和证明垂直的关系．
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