中考数学一轮复习专题4.6 位似【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题4.6 位似【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共35页。


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\l "_Tc17807" 【题型1 位似图形的识别】 PAGEREF _Tc17807 \h 1
\l "_Tc1260" 【题型2 判断位似中心】 PAGEREF _Tc1260 \h 4
\l "_Tc9735" 【题型3 根据位似概念判断正误】 PAGEREF _Tc9735 \h 7
\l "_Tc29964" 【题型4 求两个位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc29964 \h 10
\l "_Tc16683" 【题型5 格点中作位似图形】 PAGEREF _Tc16683 \h 13
\l "_Tc184" 【题型6 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc184 \h 17
\l "_Tc10248" 【题型7 求位似图形的长度】 PAGEREF _Tc10248 \h 22
\l "_Tc19238" 【题型8 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc19238 \h 24
\l "_Tc30161" 【题型9 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc30161 \h 27
\l "_Tc23598" 【题型10 位似图形的规律探究】 PAGEREF _Tc23598 \h 31
【知识点 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=k·OP，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数k(k≠0)，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|
【题型1 位似图形的识别】
【例1】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）

A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式1-2】（2023春·河北保定·九年级校考期末）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A．2B．3C．4D．1
【答案】B
【分析】根据位似图形的定义判断即可.
【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形.
故选B.
【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形.
【变式1-3】（2023春·河南平顶山·九年级校考期中）在如图所示的网格中，△ABC的位似图形是 ．
【答案】△NMP
【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段CP经过点O，确定位似中心为点O，进而求解即可．
【详解】如图，线段CP经过点O，并且OP=2OC，则位似中心为点O，
连接AO并延长到点N，连接BO并延长到点M，
连接NM、MP、PN，
由图可知：OA=32+22=13,OB=32+12=10，
OM=62+22=210,ON=62+42=213，
∴OCOP=OBOM=OAON=12，
∴△ABC的位似图形是△NMP，位似中心为点O；
故答案为：△NMP．
【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键．
【题型2 判断位似中心】
【例2】（2023春·河北邯郸·九年级统考期末）把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．G点B．F点C．E点D．D点
【答案】B
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．
【详解】由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，
故选：B
【点睛】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．
【变式2-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置
【答案】D
【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.
【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.
【变式2-2】（2023春·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【答案】（9，0）
【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接A′A和B′B并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：
点D的坐标为（9，0），
即位似中心的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．
【变式2-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
【题型3 根据位似概念判断正误】
【例3】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△DEFB．AB∥DEC．OA:OD=1:2D．EF=4BC
【答案】D
【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵位似属于相似，
∴ △ABC∽△DEF
A对
由位似可知：△OAB∽△ODE
∴ AB∥DE
B对
OAOD=ABDE=12
C对
△ABC∽△DEF的相似比为1:2
∴ EF=2BC
D错
故选D
【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①②C．③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得．
【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误；
②位似图形一定有位似中心，则原命题正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，则原命题正确；
④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于位似比，则原命题错误；
综上，正确命题的序号是②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形的性质和概念，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式3-2】（2023春·安徽·九年级统考期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32
C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)
【答案】C
【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.
【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；
B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=2，所以△ABC的周长为2+2，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+32，故B正确；
C. S△ABC=12×1×1=12,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即12×9=4.5，故C错误；
D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；
故选C.
【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【答案】C
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定定理判断A；根据三角形中位线定理、菱形的判定定理判断B；根据位似变换的概念判断C，根据菱形的性质判断D．
【详解】解：∵∠BAD不一定等于为120°，
∴△AOM和△AON不一定都是等边三角形，A错误；
∵BM不一定等于BO，
∴四边形MBON和四边形MODN不一定都是菱形，B错误；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝OC，又AM＝MB，
∴OM∥BC，OM＝12BC，
同理，ON∥CD，ON＝12CD，
∴四边形AMON与四边形ABCD是以A为位似中心的位似图形，C正确；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、位似变换的概念、等边三角形的判定，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
【题型4 求两个位似图形的相似比】
【例4】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）

A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【答案】D
【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．
【详解】解：以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，
∴AB∥DE，
∵AD=OA，
∴AB:DE=OA:OD=1:2，
∴△ABC与△DEF的位似比为1:2，
∴△ABC与的周长之比为1:2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．
【变式4-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OFFB=23，则EFAB=（ ）
A．23B．25C．35D．32
【答案】B
【分析】利用位似图形性质得到EF∥AB，证明△OEF∽△OAB，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB
∴OFOB=EFAB，
又∵OFFB=23，
∴EFAB=OFOB=22+3=25．
故选：B．
【点睛】此题考查了位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，利用位似图形概念得到EF∥AB是解题关键．
【变式4-2】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）在平面直角坐标中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则△A'B'C'与△ABC的相似比为( )
A．-3B．3C．13D．− 13
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质和坐标与图形的性质，进行解答即可．
【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为（2，5），（-6，-15），
∴对应点乘以-3，则△A′B′C′与△ABC的相似比为：3．
故选：B.
【点睛】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键．
【变式4-3】（2023春·辽宁铁岭·九年级校联考期末）如图，六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'是位似图形，O为位似中心，OA'：OA=1：2，则B′C′：BC= ．
【答案】1：2
【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案．
【详解】∵六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'是位似图形，O为位似中心，OA'：OA=1：2，
∴AB//A'B'，
∴△OA'B'∽△OAB，
∴OA'OA=OB'OB=A'B'AB=12，
同理可得：A'B'AB=B'C'BC=12．
故答案为1：2
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题关键．
【题型5 格点中作位似图形】
【例5】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，点P−6,6和△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标是4,4，根据下列要求，解答相应的问题：

(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，直接写出点A的对应点A′的坐标；
(2)作△A′B′C′关于点P成位似中心的位似△DEF，△DEF与△A′B′C′的相似比为2:1，且这两个三角形在点P同侧，直接写出点A′的对应点D的坐标．
【答案】(1)作图见详解，−4,4
(2)作图见详解，−2,2
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再结合网格坐标，可得出A′的坐标；
（2）根据△DEF与△A′B′C′的相似比为2:1，且这两个三角形在点P同侧，连接PA′并延长至D点，使得PA′=A′D，连接PB′并延长至E点，使得PB′=B′E，连接PC′并延长至F点，使得PC′=C′F，依次连接D、E、F点即可得△DEF，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

△A′B′C′即为所求，
结合图形，点A的对应点A′的坐标为：−4,4；
（2）如图，

△DEF即为所求，
结合图形，点A′的对应点D的坐标−2,2．
【点睛】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：3．
(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可；
（2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论．
【详解】（1）解：如图△A′B′C′即为所求．
（2）证明：小正方形边长为1，
∴BC=9，AB=62+32=35，AC=62+62=62，′′=12+22=5，
B′C′=3，A′C′=22+22=22，
∵ABA′B′=355=3，ACA′C′=6222=3，BCB′C′=93=3，
∴ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′=3，
∴△A′B′C′∽△ABC．
【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点P．
（1）以A点为位似中心，将△ABC在网格中放大成△AB1C1，使B1C1BC=2，请画出△AB1C1；
（2）以P点为三角形的一个顶点，请画一个格点△PMN，使△PMN∽△ABC，且相似比为2．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【详解】【试题分析】（1）以A为位似中心，欲使B1C1BC=2，即BCB1C1=12 ，则△ABC与△AB1C1的相似比为12 ，即延长AB到B1 ,使AB=BB1,同样的方法，使AC=CC1,因为∠A=∠A ,则△ABC∼△AB1C1，
（2）分别将个边长同时乘以2 ，分别为10，32,4 ，利用勾股定理，分别找出来即可.
【试题解析】（1）如图，△AB1C1即为所求
（2）如图，△PMN即为所求(注意PM、PN、MN的长)．
【变式5-3】（2023春·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B（1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．
(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；
(2)分别写出点B1、C1的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)点B1的坐标为（2，6），点C1的坐标为（8，2）
【分析】（1）利用点A和点A1的坐标确定位似比为2，然后可得点B1、C1的坐标，再描点、连线即可；
（2）根据所作图形，写出坐标即可．
【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示；
（2）解：由图可得，点B1的坐标为（2，6），点C1的坐标为（8，2）．
【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【题型6 求位似图形的坐标】
【例6】（2023春·山东威海·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（ ）

A．12,32B．23,2或−23,−2
C．4,43D．2,23或−2,−23
【答案】D
【分析】根据题意可得OA=OB=2，如图：过A作AC⊥x轴于C，再根据等边三角形的性质可得OC=12OB=1,AC=32OA=3，即可确定点A(1,3)，再根据题意可得△OA′B′与△OAB位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵等边三角形OAB的顶点O(0,0),B(2,0)，
∴OA=OB=2，
过A作AC⊥x轴于C，

∵△AOB是等边三角形，
∴OC=12OB=1,AC=32OA=3,
∴A(1,3),
∵△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，
∴△OA′B′与△OAB位似比为2比1，
∴点A的对应点A′的坐标是(2,23)或(−2,−23)．
故选：D．
【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为（ ）

A．0，−2B．−2，0C．−1.5，0D．0，−1.5
【答案】B
【分析】由四边形OABC是矩形，点B的坐标为2，3可得AB=CO=3，OA=2，由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形可得EF∥OC，DE∥OP，从而得到△CDE∽△CPO，△POD∽△PAB，由相似三角形的性质可得CDCO=DEPO，POPA=ODAB，进行计算可得OP=2，从而得到答案．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为2，3，
∴AB=CO=3，OA=2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF∥OC，DE∥OP，
∴△CDE∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴CDCO=DEPO，POPA=ODAB，
∵点E的横坐标为−1，四边形ODEF是矩形，
∴DE=1，
即3−OD3=1PO，PO2+PO=OD3，
解得：PO=2，OD=32，
∴P−2，0，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )
A．（1，－6）B．（1，－7）C．（2，－6）D．（2，－7）
【答案】B
【分析】建立以C为坐标原点的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：若以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则点A在新坐标系中的坐标为（-1，3），
∵△ABC与△A'B'C'以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，把△ABC的边长放大为原来的2倍，
∴点A'在新坐标系中的坐标为（1×2，-3×2），即（2，-6），
则点A'的坐标为（1，-7），
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、平移的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【变式6-3】（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，
∴△ACB∽△CED，
∵相似比为1：3，
∴BCDE=13，即2DE=13 ，
解得，DE＝6，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴OCOE=BCDE ，即OCOC+6=13，
解得OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，6），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．
【题型7 求位似图形的长度】
【例7】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（ ）
A．25B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质可得DF=2AC，然后根据两点间的距离公式求出AC即可解决问题．
【详解】解：∵△DEF与△ABC是位似图形，且相似比为2:1，
∴DF=2AC，
∵AC=(3−1)2+(1−2)2=5，
∴DF=25．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的14．AO=2，则OA′的长度为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据周长之比得到相似比，继而求解．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵△ABC的周长等于△A′B′C′周长的14，
∴相似比为1:4，
∵AO=2，
∴OA′=OA14=8，
故选C．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
【变式7-2】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9∶1，若OA′=2，则OA的长度为（ ）

A．6B．12C．18D．20
【答案】A
【分析】由△ABC与△A′B′C′位似，△ABC与△A′B′C′的面积之比为9∶1，即可得OA:OA′=3:1，继而求得答案．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△ABC与△A′B′C′的面积之比为9∶1，
∴OA:OA′=3:1，，
∵OA′=2，
∴OA=6，
故选：A
【点睛】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，连结AA′、BB′、CC′．已知BC=4，2OA=OA′，2OB=OB′，2OC=OC′．则D′E′的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】通过中位线的性质得出DE=12BC=2，再证明△ABC∽△A'B'C'，得出相似比为12，即可得到DE=12D′E′，从而得出答案．
【详解】∵ DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，
∴ DE=12BC=2，D′E′=12B′C′，
∵ 2OA=OA′，2OB=OB′，2OC=OC′，
∴ △ABC∽△A'B'C'，
∴相似比为12，
∴ BC=12B′C′，
∴ DE=12D′E′，
∴ D′E′=4，
故选：B．
【点睛】本题考查中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．
【题型8 求位似图形的周长】
【例8】（2023春·重庆南岸·九年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△DEF的位似比是1:3，从而得出△ABC周长：△DEF周长=1:3，由此即可解答．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3，
∴△ABC与△DEF的位似比是1:3．
则△ABC周长：△DEF周长=1:3，
∵△ABC的周长为2，
∴△DEF周长=2×3=6
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．
【变式8-1】（2023春·江苏常州·九年级统考阶段练习）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，OAAA′＝23，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为 ．
【答案】10
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵OAAA′=23，
∴OAOA′=25，
∵两个五边形是位似图形，
∴AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=25，
∴两个五边形是位似图形的相似比为2：5，
∵小五边形的周长为4，
∴大五边形的周长为10，
故答案为：10．
,
【点睛】本题考查的是位似变换的的概念、相似三角形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·九年级课时练习）如果两个五边形是位似图形,相似比为5∶3,且它们的周长和为240 cm,则大五边形与小五边形的周长差为 cm.
【答案】60
【分析】由如果两个五边形是位似图形，且位似比为5：3，且它们的周长和为240cm，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得它们的周长，继而求得答案．
【详解】解：∵两个五边形是位似图形，且位似比为5：3，
∴它们的周长比为：5：3，
∵它们的周长和为240cm，
∴它们的周长分别为：240×55+3=150（cm），240×55+3=90（cm），
∴它们的周长差为：150-90=60（cm）．
故答案为60cm．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意掌握位似图形是相似图形，相似图形的周长的比等于相似比．
【变式8-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】B
【分析】根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出△DEF与△ABC的相似比为5:2即可．
【详解】∵OA:AD=2:3
∴OA:OD=2:5
∴△DEF与△ABC的周长比为5:2
∵△DEF与△ABC的周长差为12cm
∴△ABC的周长=12×25−2=8(cm)
故选：B
【点睛】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键．
【题型9 求位似图形的面积】
【例9】（2023春·四川攀枝花·九年级统考期末）如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A1,0与点A′−2,0是对应点，△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
【答案】12
【分析】根据点A到点O的距离和点A′到点O的距离，得到这两个位似三角形的相似比，根据面积比是相似比的平方，求出△A′B′C′的面积．
【详解】解：∵点A1,0与点A′−2,0是对应点，原点O是位似中心，
∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1∶2，
∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1∶4，
又∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查位似图形和相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比和相似比的关系．
【变式9-1】（2023春·河北唐山·九年级校考期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形， 点O是位似中心， 若OA=2AA′，SΔABC=8．则SΔA′B′C′= ．
【答案】18
【分析】由△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．可得两位似图形的位似比为2∶3，所以两位似图形的面积比为4∶9，又由△ABC的面积为8，得△A′B′C′的面积为18．
【详解】解：∵ △ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴S△ABCS△A′B′C′=ABA′B′2=OAOA′2,
∵OA=2AA′,
∴OAOA′=2AA′2AA′+AA′=23，
∵ SΔABC=8，
∴8S△A′B′C′=232，
∴S△A′B′C′=18，
经检验：S△A′B′C′=18符合题意．
故答案为：18.
【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握利用位似图形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式9-2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为8cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．32cm2B．12cm2C．6cm2D．24cm2
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质、相似三角形的性质计算即可．
【详解】∵△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，
∴S△ABC=4S△A′B′C′=32(cm2)，
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据△ABC和△A′B′C′是位似图形，可得△ABC∽△A′B′C′，利用相似的性质求得S△ABC=4S△A′B′C′是本题的关键．
【变式9-3】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【答案】C
【分析】由正方形的性质及旋转性质可得DF=DG=D′F=C′G=1，且△DFG为等腰直角三角形，可以推出FG=2，可以计算出图2中整个图形面积为S正方形ABCD+4S△DFG，通过位似图形的性质可得图2中间空白部分面积为：148+42=2+2，最后求出阴影部分的面积即可．
【详解】如图，
∵正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，整个图形的外围周长为16，
∴DF=DG=D′F=C′G=1，且△DFG为等腰直角三角形，
∴FG=2，
∴图2中整个图形面积：S正方形ABCD+4S△DFG=2+22+4×12×1×1=8+42
∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，
∴图2中间空白部分面积为：148+42=2+2
图2中阴影部分面积为：8+42−2+2=6+32
故选：C
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、位似图形等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【题型10 位似图形的规律探究】
【例10】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的12，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（128，0），则n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可．
【详解】∵△OAB是等边三角形，边长为8，
∴点A的坐标为（8，0），
由位似变换的性质可知，点A1的坐标为（8×12，0），即（4，0），
点A2的坐标为（8×122，0），即（2，0），
由题意得，8×12n=128，
解得，n=11，
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形各边A1OC1B1放大为原来的32倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推…，矩形A2OC2B2的面积为_______；矩形A2021OC2021B2021的面积为 ．

【答案】818，2×324042
【分析】根据矩形的性质求出矩形的面积，根据规律解答即可．
【详解】解：∵四边形AOCB为矩形，OA=2，OC=1，
∴矩形AOCB的面积为：2×1=2，
∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，
∴OA1=3，OC1=32,
∴矩形A1OC1B1的面积为：3×32=322=2×322，
∵OA2=32OA2=2×322，OC2=32OC1=322，
∴矩形A2OC2B2的面积为：2×322×322==2×324=818，
……
同理得：矩形A2021OC2021B2021的面积为2×324042，
故答案为：818，2×324042．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k
【变式10-2】（2023·广西钦州·中考真题）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=
【答案】16
【详解】解：由已知有：OA1=12OA；OA2=12OA1=(12)2OA，OA3=12OA2=(12)3OA，…，
∴OAn=(12)nOA， OAn=(12)nOA=1OA，
∴(12)n=1OA2=12562=(12)16，
∴n=16．
故答案为：16．
【变式10-3】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1=1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为 ．
【答案】24040
【分析】已知正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，可先证明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；同理可证明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的边长为4=由此可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n =2021，将n的值代入2n－1即可求出该正方形的边长，根据正方形面积公式，即可求出该正方形的面积．
【详解】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，
∴A1B1A2B2=12，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴A1B1//A2B2，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴OA1OA2=A1B1A2B2=12，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=OA2−OA1=1，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴A1B1A2B2=12，
∴A2B2=2A1B1=2，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴A2B2A3B3=OA2OA3，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴A2A3=A2B2=2，
∴OA3=OA2+A2A3=4，
∴OA2OA3=24=12，
∴A2B2A3B3=OA2OA3=12，
∴A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：22020，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：(22020)2=24040．
故答案为：24040．
【点睛】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、正方形的性质和面积以及图形类找规律，正确找出规律是解题的关键．