第02讲 排列、组合（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 排列、组合
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）毕业典礼上，某班有六人站一排照相，要求，两人均不在排头，且两人不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．160B．288C．336D．480
【答案】C
【解析】按插空法，，不相邻的排法种数为，而其中或在排头的排法种数为,故不同的排法种数为.
故选:C.
2．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有（ ）
A．56种B．64种C．72种D．86种
【答案】C
【解析】若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有种，
若丙担任数学课代表，则不同的安排方式共有种，
所以不同的安排方式共有48+24=72种．
故选:C．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
【答案】A
【解析】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：种，
若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：种，
故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有种方案.
故选：A.
4．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A．B．C．216D．
【答案】D
【解析】由题意，
末尾是或，
不同偶数个数为，
末尾是，
不同偶数个数为，
所以共有个.
故选：D
5．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，的纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目．则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．360种B．480种C．720种D．1080种
【答案】B
【解析】①恰有2名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能；
第二步，从5个项目中选出3个排序，有．
根据分步计数原理可得，方法有种；
②4名学生所选的课全不相同的方法有种．
根据分类加法计数原理可得，
甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有种．
故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）为躲过了新冠，躲过了甲流，没躲过呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才过去不久，呼吸道感染的老人又多起来.“最近，呼吸道合胞病毒感染处于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大儿院占据首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一种什么病毒？RSV为副黏病毒科肺炎病毒属的单股负链RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常见病原，RSV通常于上呼吸道中开始感染，引发的症状易与普通感冒相混淆，出现呼吸系统后遗症.5月3日，葛兰素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群体预防RSV感染导致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.该产品也是全球首款获批上市的RSV疫苗.为研究的临床试验，旨在评估单剂量和接种Arexvy对比安慰剂对RSV-LRTD的预防效果.该实验有3接种组，现有8名志愿者将被派往这3接种组安排接种工作，每个接种组至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2940种B．3000种C．3600种D．5880种
【答案】A
【解析】根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4；3、3、2.
不同的安排方法共有（种）．
故选：A．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）记为的任意一个排列，则使得为奇数的排列个数为（ ）
A．8B．12C．16D．18
【答案】C
【解析】由已知得前两位和一奇一偶，有种排法，
后两位和一奇一偶，有种排法，
根据分步计数原理，使得为奇数的排列个数为种.
故选：C
8．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．36种B．30种C．24种D．12种
【答案】B
【解析】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种，
若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种，
所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种.
故选：B.
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135种B．720种C．1080种D．1800种
【答案】C
【解析】恰有2名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能；
第二步，从6个项目中选出3个排好，有.
根据分步计数原理可得，方法有；
4名学生所选的课全不相同的方法有.
根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有.
故选：C.
10．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】C
【解析】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，
②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，
所以不同的安排方法有种.
故选：C
11．（多选题）（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
【答案】ABD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；
对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；
故选：．
12．（多选题）（2023·山东·日照一中校考模拟预测）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
13．（多选题）（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列
B．如果是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列
C．如果是合法括号序列，则A也是合法括号序列
D．长度为8的合法括号序列共有14种
【答案】AD
【解析】出题意知如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列,A正确;
对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；
对于C, 如果是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，
但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；
对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，
分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；
（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，6，7个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有个；
（3）当前4个位置有2个左括号时，
则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，满足条件序列共有个，综上，共有个，D正确，
故选：AD．
14．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为 .
【答案】150
【解析】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，
第一类：仅要好的两位女生去同一景点；
第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点，
总方法数为.
故答案为：150.
15．（2023·上海·统考模拟预测）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）
【答案】720
【解析】将5人分为3组，有和两种情况：
当分组为时：共有；
当分组为时：共有；
综上所述：共有种不同的进站方式.
故答案为：.
16．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有 种（用数字作答）.
【答案】912
【解析】若和都是奇数，则为一奇一偶，也一奇一偶，
有种取法；
若和都是偶数，则有以下两种情况：
①两奇（偶）数，两奇（偶）数，有种取法；
②两奇（偶）数，两偶（奇）数，有种取法；
共计576+48+288=912种取法.
故答案为：912
17．（2023·河北保定·统考一模）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ．
【答案】96
【解析】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，
则有：种情况，
剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：
①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况，
②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况，
所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：
种情况，
故答案为：96.
18．（2023·青海·校联考模拟预测）2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.
【答案】252
【解析】先从甲、乙之外的6人中选取1人担任语言服务工作，
再从剩下的7人中选取2人担任人员引导、应急救助工作，
则不同的选法共有种.
故答案为：252
19．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为 ．
【答案】60
【解析】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为．
故答案为：60.
20．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）e作为数学常数，它的一个定义是，其数值约为：2.7182818284…，梓轩在设置手机的数字密码时，打算将e的前5位数字：2，7，1，8，2进行某种排列得到密码，如果要求两个2不相邻，那么梓轩可以设置的不同密码有 种（以数字作答）．
【答案】36
【解析】第一步：对除2以外的3位数字进行全排列，有种方法；
第二步：将两个2选两个空插进去种方法，由分步计数原理可得共有种不同的密码．
故答案为：.
21．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有 种摆放方法．
【答案】36
【解析】记2个相同的“竹林春熙”为A，A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先摆放B，C，D，一共有种摆放方式，再将2个A插空放入，有种摆放方式，所以，一共有种摆放方式．
故答案为：36.
22．（2023·上海·统考模拟预测）一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个1×3的方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红黄蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的，这样的染色方式种数为 （答案用数值表示）．
【答案】5184
【解析】任选一个四边形的一条边，当这条边的颜色确定时，这个四边形的染色方法有种，同时每种方法都会确认与其相邻的四边形的一条边的颜色，.
故答案为：5184
1．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】
【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，
故选：．
2．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】
【解析】5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，
共有种，
故选：．
3．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种B．90种C．60种D．30种
【答案】
【解析】因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有：种结果；
乙场馆从余下的5人中挑2人有：种结果；
余下的3人去丙场馆；
故共有：种安排方法；
故选：．
4．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】
【解析】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
．
故选：．
5．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】若选2门，则只能各选1门，有种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：64．
6．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 （用数字作答）
【答案】17．
【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大的四位数，
故有个比2134大的四位数，
故答案为：17．
7．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．
【答案】36
【解析】方法一：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．
方法二：三个小区必有1个小区安排2人，剩下的2人安排其它2个小区，故有
故答案为：36．
8．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
【答案】180
【解析】根据题意，可得排法共有种．
故答案为：180．
9．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
【答案】24
【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，
故答案为：24．