第06讲 双曲线及其性质（十大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）

这是一份第06讲 双曲线及其性质（十大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考），文件包含第06讲双曲线及其性质十大题型讲义原卷版docx、第06讲双曲线及其性质十大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共130页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第06讲 双曲线及其性质
目录
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
【解题方法总结】
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
题型一：双曲线的定义与标准方程
例1．（2023·全国·模拟预测）已知，分别是离心率为2的双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，，且，，则的标准方程为 .
【答案】
【解析】
由题意知，∴，由双曲线的定义知，，
则，∴，，∴，∴的标准方程为.
故答案为：.
例2．（2023·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线：（，），矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【解析】由题意得，．如图所示，设，的中点分别为，，
在中，，故．
由双曲线的定义可得，
则，又，所以，．
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：.
例3．（2023·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，
∵=
∴c=5
根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
∴虚轴长为6
∴双曲线方程为
变式1．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为 ．
【答案】
【解析】设渐近线方程为且经过点的双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
所以，所求双曲线的方程为，其标准方程为.
故答案为：.
变式2．（2023·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ．
【答案】
【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为，又C过点，
所以，，
整理得双曲线C的标准方程是．
故答案为：
变式3．（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【解析】设双曲线的方程为，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，与的夹角为，，则双曲线C的标准方程为 .
【答案】
【解析】∵双曲线的一条渐近线为，即，
故焦点到渐近线的距离，∴.
∵向量与的夹角为，∴.
∵，
∴，∴，
由双曲线的定义知，，∴，.
在中，由余弦定理知
，
又，∴，∴，
∴该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
变式5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上，
对于点，，，所以，，即点不在双曲线上，
所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：.
变式6．（2023·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为 ．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为 ．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为 ．
【答案】
【解析】（1）由，设，则，．
设所求双曲线的方程为①或②，
把代入①，得，与矛盾，舍去；
把代入②，得．
∴所求双曲线的标准方程为．
（2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①，
将点的坐标代入①式，得，
∴所求双曲线的标准方程为．
（3）设所求双曲线的方程为，
点在双曲线上，
∴，即，
∴双曲线的标准方程为．
故答案为：；；.
【解题方法总结】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程．
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
题型二：双曲线方程的充要条件
例4．（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】曲线表示双曲线，所以即可.
解得或，
所以实数k的取值范围是：.
故选：B.
例5．（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示双曲线，则，即，
由能推出，必要性成立，
由不能推出，充分性不成立，
故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
例6．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【解析】由题意，解得．
故选：B.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
【答案】B
【解析】由题意得，当时，，
即，要表示椭圆，需满足 ，解得且，
故A错误；
若E表示双曲线，则不能为0，
故化为，
则，即或，故B正确；
由B的分析知，时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，
当时，，此时 ，
则，解得 ，
当时，，此时 ，
则，解得 ，故D错误，
故选：B
变式8．（2023·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
【解题方法总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：．
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例7．（2023·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.
因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
例8．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
【答案】C
【解析】直线与双曲线交于，两点，若，
则四边形为矩形，所以，，
由双曲线可得，，则，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故选：C．
例9．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线得出.
因为，所以.
作于C，则C是AB的中点.
设，则由双曲线的定义，
可得.
故，
又由余弦定理得，
所以，解得.
故选：C
变式9．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左右焦点，且到渐近线的距离为1，过的直线与C的左、右两支曲线分别交于两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为2B．双曲线C的离心率为
C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线C的半焦距为，
因为双曲线C的焦点在x轴上，且，
则其中一条渐近线方程为，即，且，
则到渐近线的距离，可得.
对于选项A：因为，且，
可得，解得，
所以的面积为，故A错误；
对于选项B：双曲线C的离心率为，故B错误；
对于选项C：因为，可得，
所以，故C错误；
对于选项D：设，则，
因为，即，解得，
所以，故D正确；
故选：D.
变式10．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可得，
则的周长为.
故选：C．
变式12．（2023·云南保山·统考模拟预测）已知是离心率等于的双曲线的左右焦点，过焦点的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若的周长20，则等于（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【解析】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为，则，．
因为离心率，则，所以，，
由双曲线的定义知，，，则，
所以的周长，，
故选：D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
【答案】C
【解析】因为双曲线，所以，
不妨设点P在第一象限，则，
若为直角三角形，
当时，则，
又，即，
所以，
，
所以，
所以的周长是，的面积是；
当时，设，
代入方程解得（负值舍去），所以，
故，所以，
所以的周长是，的面积是6，
综上所述，若为直角三角形，
则的周长是或8，
的面积是3或6，
故A、B错误；
若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；
若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.
故选：C.
变式15．（2023·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末）设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设内切圆的半径为，则，，
.
过点作于点，于点，于点，
则由的内切圆圆心为知：，，，，
，解得：，
.
故选：C.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，. 由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.，所以，，，
在双曲线上，设，，
①
由，在根据余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面积
故选：C.
变式17．（2023·上海浦东新·统考三模）设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线，则
不妨设是双曲线的右支上一点，
则由双曲线的定义，得
则,
所以
所以，即
所以
所以
故选：C
【解题方法总结】
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用．
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义，设点在双曲线右支上，则，设，再根据二次函数的性质计算可得；由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等
故选B
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
在双曲线中，，，，
圆的圆心为，半径长为，
所以，双曲线的左、右焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，，
所以，，
当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
变式18．（2023·河北衡水·统考模拟预测）已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为( )
A．3B．C．2D．
【答案】B
【解析】双曲线的右焦点F（5，0）
∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心，1为半径的圆上
∵ ，即圆的半径，即| MP |为圆F的切线长
由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小
∵P是双曲线上一点
∴|FP|最小为c-a=5-3=2，此时| MP |=
故选：B．
变式19．（2023·高二课时练习）已知直线l与双曲线交于A，B两点，且（为坐标原点），若M是直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．12B．6C．16D．8
【答案】D
【解析】由，可知A，B，O三点共线，即直线l过原点O，
根据双曲线对称性知O为AB中点，即，
可得，
当和同时取最小值时，取最小值，
又由的最小值为原点O到直线距离，
且，即的最小值是．
故选：D.
变式20．（2023·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【解析】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，
因为P在双曲线上，所以，所以，
连接，则，
因为，
所以，当三点共线时取等号，
即点和点Q距离的最大值为3，
故选：C
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化．
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
例13．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，
所以可设双曲线的方程为，
又因为双曲线的焦距为8，所以，
而，所以，故双曲线的标准方程为.
由双曲线的定义可知，，
由题意可知，，，，
所以,故的最大值为，
当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.
故选：B
例14．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线.
又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号.
此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故.
故选：B
例15．（2023·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，
从而，又为定值，
所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
变式21．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】D
【解析】拋物线的准线为，
则点到准线的距离为，所以，
则，故，
设是双曲线的右焦点，
则，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
变式23．（2023·福建宁德·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．10
【答案】A
【解析】由双曲线,可得，,
设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，
作，垂足为E，即，
作,垂足为H，则，
因为点P为C左支上的动点，
所以，可得，
故，
由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，
最小值为，
即的最小值为，
故选：A．
变式24．（2023·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
变式25．（2023·全国·高二专题练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．12D．14
【答案】B
【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，
根据题意，作图如下：
则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；
，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；
则，
故可得，
故的最大值为：.
故选：B.
变式26．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知点是右焦点为的双曲线上一点，点是圆上一点，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，则，
设圆的圆心为，则，半径.
因为双曲线表示双曲线的右支（除去顶点），
由定义可知：，
所以
（当且仅当三点共线时等号成立），
因为，
所以的最小值为，
故答案为：.
变式27．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【解析】记双曲线的右焦点为，所以，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．
故选：C．
变式28．（2023·全国·高一专题练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．7D．8
【答案】A
【解析】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
故选：A
变式29．（2023·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中）已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
双曲线中，，，，圆半径为，，
∴，（当且仅当共线且在间时取等号．
∴，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．
∴的最小值是9．
故选：A．
变式30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选D．
【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
例16．（2023·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】结合双曲线的对称性可知，，，
所以为等边三角形，则，则.
由双曲线的定义，得，所以，，
则.
故选：A
例17．（2023·陕西西安·高三校联考开学考试）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】结合双曲线的对称性可知，，，
所以为等边三角形，则，则.
由双曲线的定义，得，所以，，
则.
故选：A
例18．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设与y轴交于Q点，连接，则，
因为，故P点在双曲线右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，
故，
由，且三角形内角和为，
故，则，
即，即，
所以的离心率的取值范围为，
故选：A
变式31．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】如图，不妨设点A在第一象限，
由题意可得：，则四边形为平行四边形，
因为，即，则，所以四边形为矩形，
设，则，
因为，即，整理得.
故选：A.
变式32．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知双曲线的左､右焦点分别是，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为（ ）

A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】由已知及平面几何知识可得圆心，在的角平分线上，如图，
设圆，与轴的切点分别为，，显然，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，
所以，由双曲线的定义知，则，
所以，所以，
所以，.
又圆与圆的面积之比为，这样圆与圆的半径之比为，
因为，所以，即，整理得，
故双曲线的离心率.
故选：D.
方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式
变式33．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，即，
所以，
由双曲线的定义知，所以.
如图，过作，为垂足，
因为，所以为的中点，，
由得，即，
所以，在直角中，,
即，即，
所以，解得，
因为，所以双曲线的离心率是.
故选：A
变式34．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】注意到，则，连接．
设，则，
在中，由勾股定理有，解得，
∴，
在中，由，得，
解得．
故选B．
变式35．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知是双曲线的一个焦点，为的虚轴的一个端点，（为坐标原点），直线垂直于的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨设为右焦点，为的虚轴的端点且在轴的正半径轴上，则，则，
因为，所以，即，
所以直线的斜率为，
因为双曲线渐近线方程为，
因为直线垂直于的一条渐近线，所以，
所以，所以，
所以，解得，
因为，所以，
故选：A
变式36．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为，
根据题意，点在第一象限，将代入，
可得，
可得
由求根公式，可得，
因为，且，所以，所以点
由，可得，即，
因为，所以，即，化简得，
两边同除以，得，解得或（舍去）．
故选：C.
变式37．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的右焦点为，则，
则，
为右支上的点，取的中点为B，连接，则，
设，则，则，
在中，，
即，
又直线与以线段为直径的圆相交，故，
设，则，
则需使，解得，
即双曲线离心率的范围为，
即的离心率的取值范围为，
故选：D
变式38．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
方向3：利用，其中为焦距长，
变式39．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知分别是双曲线的左､右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，由题可知，
又因为，所以，
因为直线的斜率为，所以，
设为的中点，连接，易知，
所以，则，解得，
所以双曲线的离心率为．
故选：A.
变式40．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】如图，设交y轴与A，A为的中点，
因为O为的中点，故为的中位线，
则，而，则,
因为直线的斜率为，故中，，
故设，则，
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有，
则，
故选：C
变式41．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】作的平分线交的平分线于，过作轴，垂足分别为，如图，
则点为的内心，有，设，
，则，
于是直线与直线重合，而的角平分线与直线交于点，即与重合，则点为的内心，
因此令，由，得，
因此，即有，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：B
变式42．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，则，
由题意可得：，
因为，整理得.
故选：D.
方向4：坐标法
变式43．（2023·上海嘉定·校考三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，因为，所以，
则，
所以当时取得最小值为，
依题意恒成立，所以，
即，化简整理得，，
即，又，所以，解得.
故选：C
变式44．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，
又，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线与双曲线的一条渐进线平行，所以，即，
所以，又，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
故选：B
变式45．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，由双曲线的渐近线方程为，
联立方程组，解得，
因为且另一条渐近线与直线垂直，可得，
整理得，又由，所以，
解得，所以离心率为.
故选:B.
变式46．（2023·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，，，
点的横坐标为，代入，又，所以，
，，
则，可得．
即双曲线的离心率为2．
故选：C．
变式47．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，且在第一象限，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线方程知：渐近线方程为，
，，，
设，则，，即，
，，又，，，
，，，
双曲线的离心率.
故选：D.
变式48．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，
由，得，且，
所以，，
因为，且大于，
所以，
所以，解得，
又因为，解得，
所以，
故选：D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理
变式49．（2023·河南郑州·三模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为，则，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
在中，由余弦定理知，
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，解得．
故选：A．
变式50．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则.因.
则.因的周长为8a，，
则.
则.由余弦定理：.
则在中，由余弦定理，
.
故选：C
变式51．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知分别为双曲线E： 的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若是等边三角形，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线的定义，得，，
又，所以，
在中，
即 ，所以 ，即，
所以
故选：C．
变式52．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】由，解得，
因为点A，B关于x轴对称，
所以，
在中，
由余弦定理得，
即，即，
解得，所以或（舍去），
故选：B
变式53．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于点为坐标原点，过点作，垂足为，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，直线的斜率为，可得其倾斜角为，
由题意得，则，
因为，所以，所以，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，即，
又因为，解得.
故选：C.
变式54．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为点A在第一象限，由，可得，
则，
点在双曲线上，则，即，
可得，
可得在点处的切线方程为，
令，解得，
又因为，则，
所以，
即点，
设双曲线C的半焦距为，则，，
因为，则，整理得，
则，
可得，
且点为双曲线C在第一象限的右支上一点，则，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故选：D.
变式55．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线的半焦距为，
由题意可得：，
则，
且，则锐角二面角，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
因为，即，
可得，解得.
故选：C.
变式56．（2023·河南·校联考二模）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为.
由题意，点在双曲线的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根据双曲线定义得，
解得，
故双曲线的离心率.
故选：D
方向6：找几何关系，利用正弦定理
变式57．（多选题）（2023·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
变式58．（2023·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
变式59．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化简得.
故选：D.
方向7：利用基本不等式
变式60．（2023·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
变式61．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设点，其中，易知点、，且有，则，
，
当点在第一象限时，，，则，，且，
由基本不等式可得，
因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，
.
故答案为：.
变式62．（2023·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设点，其中，
易知点，，且有，则，
，
当点P在第一象限时，，，
则，，且，
由基本不等式可得，
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，
则，即，
∴.
故答案为：．
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
变式63．（2023·广西·校联考模拟预测）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】设渐近线的倾斜角为，则，
，则，
解得（舍去）或，
∴，∴.
故选：D．
变式64．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为直线，所以，
由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．
设，，则，且，，
两式作差可得，
即，所以，
则双曲线的离心率为．
故选：D
变式65．（2023·山东聊城·统考三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，不妨设点在第一象限，
由双曲线的性质可得，直线和直线关于轴对称，
所以和关于轴对称，又，则设，，
又直线的方程为：，
所以代入点得：，解得：，
即点，
将点代入双曲线的方程得：，
化解得：，解得：或，
又因为，所以，
则双曲线的离心率，
故选：A.
变式66．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）设F1，F2是双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
则，，
，
在中，，
在中，，
，即，
所以
故选：A ．
变式67．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知P为双曲线上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于，两点（A，B异于点O），若恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】双曲线C的两条渐近线方程为，若恒成立，
则A，B两点始终位于x轴同侧，则，故，即，即，得，又，
所以双曲线离心率的取值范围为．
故选：A．
变式68．（2023·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．
当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由得：，则，
所以，则，
所以，则．
当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由得：，则，则，
所以，则，
所以，则．
综上，的离心率为或．
故选：D
变式69．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，
设双曲线C的焦距为2c，由可得，
所以，即，
所以．
故选：A．
变式70．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，设直线的方程为，圆的方程可化为，即圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切于M，所以，由可化简得，
则直线的方程为，双曲线C的两条渐近线分别为，，
由得，同理可得，
因为M为AB中点，由中点坐标公式可得，
M在圆上，将M的坐标代入圆方程可得，
化简整理得，从而可得，
则双曲线C的离心率.
故选：B
变式71．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
设双曲线上的点，所以，即
则到两条渐近线的距离分别为，，
所以，
又，
因为恒成立，所以，整理得，即
所以离心率，则的离心率的最大值为.
故选：A.
方向9：利用双曲线第三定义
变式72．（多选题）（2023·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨设过左焦点F的直线与直线平行，交C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，过点与直线平行的直线的方程为，与联立，解得，
设，由，可得，
所以，
所以，即，
所以双曲线的离心率为，故选项A正确；
对于B：由，可得，所以，
所以渐近线方程为，故选项B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，故选项C错误；
对于D：，
所以，
所以，故选项D正确．
故选：ABD.
变式73．（2023·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意知：，，
若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形，
，即，；
设，则，
，
双曲线的离心率.
故答案为：.
变式74．（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（ ）
A．3B．1C．2D．
【答案】B
【解析】由题意可知点关于原点对称，设，则有，，
都在双曲线上，有，，两式相减得，
则，得，即，
又由，则.
故选：.
变式75．（2023·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故.
故选：C.
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
变式76．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故答案为：
变式77．（2023·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，，，结合 可得，从而，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
变式78．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由条件得，所以，即，
又因为，所以，
即，得，
又，所以．
故选：C
变式79．（2023·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为､，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，
又，所以，即，则，
因为双曲线中，，
即，则，即，
又双曲线的离心率大于，所以.
故选：A.
变式80．（2023·湖南·衡阳市八中一模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点P在双曲线的右支上，所以
因为，所以可得
根据点P在双曲线的右支上，可得
所以，即
所以双曲线的离心率e的最大值为
故选：C
变式81．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.
故选:C.
【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
例19．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）等轴双曲线的焦距为 .
【答案】
【解析】由题意得，，故，故，焦距为.
故答案为：
例20．（2023·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为 ．
【答案】
【解析】
双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离,
联立方程组，
解得
可得，
设的内切圆的半径为，在中，，
故答案为：.
例21．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过双曲线上一点（）的直线与直线相交于点，与直线相交于点，则 .
【答案】
【解析】因为在双曲线，即有，又
由得，由得，
因此，，，
则，
所以.
故答案为：
变式82．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程： ．
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】如图，取，且x轴，
可得，，
即，为正三角形，
符合题意，此时双曲线的方程为.
故答案为：.
变式83．（2023·陕西渭南·统考一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为
【答案】
【解析】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，焦点为，
则焦点到渐近线的距离，
由焦距为4得，故，
故C的渐近线方程为.
故答案为：.
变式84．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为 .
【答案】4
【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线为直线，故，故其实轴长为.
变式85．（2023·河北唐山·统考二模）已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为 ．
【答案】2
【解析】直线与轴交点为，斜率为，
由题意，解得，
所以双曲线的实轴长为．
故答案为：2.
变式86．（2023·北京房山·高三统考开学考试）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则 .
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故答案为：．
【解题方法总结】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
题型八：利用第一定义求解轨迹
例22．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 .
【答案】，
【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称，
设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，
所以，即，
所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则，，，
所以轨迹方程为，，即，.
故答案为：，
例23．（2023·全国·高考真题）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，
则，即，
又，则，
整理得，
即点M的轨迹方程为.
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
变式87．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】延长，交于，因为，，
，所以，所以，
所以，
因为M是双曲线C右支上一点，所以，
又因为P是的中点，O是的中点，所以，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
变式88．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
变式89．（2023·全国·高三专题练习）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设圆为可得圆心，半径，
设圆为可得圆心，半径，且，
设动圆圆心为，半径为，因为动圆同时与圆外切和圆外切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
变式90．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,
当动圆与圆，圆外切时,,,
所以,
因为圆心,，即，又
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，
所以,则动圆圆心的轨迹方程是；
故答案为：
变式91．（2023·全国·高三专题练习）已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足，，8成等差数列，则点P的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由已知得，
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
设双曲线的方程为
则a＝4，b＝3，c＝5，
∴点P的轨迹方程为．
故答案为：﹒
变式92．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，
由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=20)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是 ．
【答案】 (x>0且y≠0)
【解析】由sin C－sin B＝sin A，利用正弦定理得 (R为外接圆半径)，
所以|AB|－|AC|＝|BC|=，
可得动点的轨迹为双曲线，为双曲线右支(除去右顶点)．
且实轴长为,虚轴，焦点为，
所以方程为(x>0且y≠0).
故答案为(x>0且y≠0).
变式97．（2023·全国·统考一模）设､是双曲线的左右焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，故，又OQ是的中位线，故，点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，则点Q的轨迹方程为.
【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
题型九：双曲线的渐近线
例25．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】，，即，，
双曲线方程为，渐近线方程为．
故答案为：
例26．（2023·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）双曲线两条渐近线的夹角大小是
【答案】60°/
【解析】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故答案为：.
例27．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，
显然直线不垂直于y轴，设直线，，
由得点的纵坐标，由得点的纵坐标，
由消去x得，
于是，化简得，
直线与x轴交点的横坐标为，
所以的面积.
故答案为：
变式98．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .

【答案】
【解析】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，，
又点在左支上，则，则，
在中，由余弦定理可得，
而与渐近线垂直，于是，即，从而得，
所以，即，化简得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
变式99．（2023·全国·高三专题练习）已知函数点M､N是函数图象上不同的两个点，则（为坐标原点）的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，求导得，即函数在上单调递增，
当时，由，得，于是函数的图
象是焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分，是其渐近线，如图，
令过原点的直线与曲线相切的切点为，则，
整理得，令，，函数在上单调递增，
而，因此当且仅当时，，则的解为，
即过原点的直线与曲线相切的切点为，切线方程为，设其倾斜角为，有，
因为点M、N是函数图象上不同的两个点，则，
而正切函数在上单调递增，因此，
又，
所以的取值范围是.
故答案为：
变式100．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】依题意，，，则，令双曲线半焦距为c，
双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，有，
在中，由余弦定理，
得，整理得，即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
变式101．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，的平分线交x轴于点A，点B满足，，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】过作，
由点满足，
则在方向上的投影与在方向上的投影长度相等,
即，则,
即，即为的平分线,
则为的内心，
连接，又点满足,
,
,
又，则,
又直线的斜率为，,
在中结合余弦定理
，
可得，
化简得，则，
即，即双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【解题方法总结】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长．
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
例28．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的标准方程为，
双曲线的标准方程为，设，
因为双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，则，
设椭圆与双曲线的公共焦点为、，且、为两曲线的左、右焦点，
设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，在第三象限的交点为，
则，解得，
由对称性可知、的中点均为原点，所以，四边形为平行四边形，
因为、、、四点共圆，则有，故，
由勾股定理可得，即，即，
即，故椭圆的离心率为.
故选：C.
例29．（2023·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解.设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
交点到两焦点的距离分别为，焦距为，
则，
又，，故，，
所以，
化简得，
即 .
故选：B
例30．（2023·全国·高二专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
变式102．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线方程为 .
【答案】
【解析】先由椭圆方程求出椭圆的离心率以及，再结合双曲线的离心率得出双曲线方程.椭圆的
双曲线的离心率
由题意可知，解得
故双曲线方程为
故答案为：
【解题方法总结】
椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为：．
1．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
2．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，
所以①，
联立，可得，，即，，
因为直线的斜率，
整理得②，
①②联立得，，，
故双曲线方程为．
故选：．
3．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得，
所求离心率为．
故选：．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．
（3）了解双曲线的简单应用．
2023年甲卷（文）第8题，5分
2023年天津卷第9题，5分
2023年北京卷第12题，5分
2023年I卷第16题，5分
双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率．
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．