第05讲 空间向量及其应用（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第05讲 空间向量及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体中，E，F分别是的中点，则直线与EF所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量，若与垂直，则（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A．B．.C．D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则当点到平面的距离最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．、、、四点可以共面
B．
C．
D．
10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体 ，，是线段上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．该长方体外接球表面积为B．三棱锥的体积为定值
C．当时，D．的最大值为1
11．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，，则（ ）

A．当时，
B．，使得平面
C．，使得平面
D．当时，与平面所成角为
12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．不存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点，到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
13．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则 ．
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为，则其体积为 ．
15．（2023·北京大兴·校考三模）如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:

①存在点，存在点，满足∥平面；
②任意点，存在点，满足∥平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足.
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2023·全国·模拟预测）已知长方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，记直线的夹角为，直线的夹角为，直线的夹角为，则之间的大小关系为 ．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）
17．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，．

(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积．
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
20．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．

(1)求；
(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
21．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点．
（1）证明；
（2）点满足，求二面角的正弦值．
3．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
4．（2022•新高考Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
5．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
6．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2022•甲卷）在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
8．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
9．（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
10．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
11．（2023•乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．