第10章 统计与成对数据的统计分析 第3节 第1课时　变量间的相关关系及回归模型 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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1.变量的相关关系(1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. (2)正相关、负相关从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现________的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现__________的趋势,则称这两个变量负相关. 
是一种非确定的关系,不是函数关系
(3)线性相关、非线性相关一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条__________附近,我们就称这两个变量线性相关. 一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
微点拨由散点图判断两个变量正相关、负相关的方法:当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左下角到右上角的区域时,两个变量正相关;当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左上角到右下角的区域时,两个变量负相关.
(1)当r>0时,称成对样本数据__________; 当r<0时,称成对样本数据__________. (2)r的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度__________;r的绝对值越接近0,成对样本数据的线性相关程度越弱. 
微点拨经验回归方程不一定都有实际意义.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的经验回归方程才有实际意义.
4.列联表与独立性检验(1)2×2列联表如下表,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表.
(2)独立性检验依据上述2×2列联表构造统计量利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.常用的小概率值和相应的临界值表
作为判断χ2大小的标准
误区警示独立性检验是对两个变量有关系的可信程度 的判断,而不是对其是否有关系的判断.
题组二 回源教材5.(人教B版选择性必修第二册第107页例1改编)咽拭子检测是一种医学检测方法,用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测,可以了解患者病情、口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况,具体数据如表所示:
6.(人教A版选择性必修第三册8.3.2节练习第4题)从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本,将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下:单位:人
依据α=0.05的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?
题组三 连线高考7.(2020·全国Ⅰ,理5,文5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+bln x
解析 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.
8.(2021·全国甲,理17,文17)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
第1课时　变量间的相关关系及回归模型
考点一 成对数据的相关性
例1(1)(2023·天津,7)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.824 5,下列说法正确的是(　　)
A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.824 5
解析 由题中散点图可知这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,表明随花萼长度的增加,相应的花瓣长度呈增加的趋势,由成对样本数据的分布规律可知两者呈线性相关关系,且为正相关,故A,B错误,C正确.同时样本具有随机性,样本相关系数会随着样本成对数据的变化而变化,故D错误.故选C.
(2)(2022·全国乙,理19改编)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01),并判断是否可以认为根部横截面积与材积量的相关性很强.
[对点训练1](多选题)对两组数据进行统计后得到的散点图如图,关于其样本相关系数的结论正确的是(　　)
A.r1<0B.r2>1C.r1+r2>0D.|r1|>|r2|
解析 由散点图可知,样本相关系数r1的图象表示y与x成负相关,故-1r2>0,故B错误;∵样本相关系数r2的点较线性相关系数r1的点密集,故|r2|>|r1|,故r1+r2>0,故C正确,D错误.故选AC.
考点二 一元线性回归模型
例2(2024·河北新乐模拟)某科技公司研发了一项新产品A,经过市场调研,对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计,销售单价x(单位:千元)和销售量y(单位:千件)之间的一组数据如下表所示:
(1)试根据1至5月份的数据,建立y关于x的经验回归方程;(2)若由经验回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差绝对值不超过0.65,则认为所得到的经验回归方程是理想的,试问(1)中所得到的经验回归方程是否理想?
[对点训练2](2024·山东济南模拟)根据国家统计局统计,我国2018~2022年的新生儿数量如下:
(1)由表中数据可以看出,可用一元线性回归模型拟合新生儿数量y与年份编号x的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于x的经验回归方程,并预测我国2023年的新生儿数量.
考点三 非线性回归模型
例3(2024·山西临汾模拟)一只红铃虫的产卵数y(单位:个)和温度x(单位:℃)有关,现收集了7组观测数据如下表所示:
解 (1)散点图如图所示,
根据散点图可以判断,y=aebx适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型.
规律方法非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图; (2)根据散点图选择恰当的拟合函数; (3)作恰当变换,将其化成线性函数,求经验回归方程;(4)在(3)的基础上通过变换,可得非线性经验回归 方程.
[对点训练3]在一次抽样调查中测得5个样本点,得到下表及散点图.
(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+k·x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果试建立y关于x的经验回归方程.(计算结果保留整数)
解 (1)由题中散点图可以判断,y=c+k·x-1适宜作为y关于x的回归方程类型.(2)令t=x-1,则y=c+kt,则