2022-2023学年安徽省安庆九一六学校高一（下）第五次调研数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆九一六学校高一（下）第五次调研数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数据7.0，8.2，8.3，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为( )
A. 8.2B. 8.24C. 8.25D. 8.3
2.直径为4的半球形容器，装满水然后将水全部倒入底面直径和高均为4的圆柱容器.则圆柱容器中水面的高度为( )
A. 1B. 23C. 43D. 2
3.设复数z满足z(2−i)=1+bi(b∈R)，若z为纯虚数.则z=( )
A. −iB. iC. −5iD. 5i
4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为( )
A. 7.6B. 7.8C. 8D. 8.2
5.在△ABC中，AB=AC=1，∠A=90°，则AB⋅BC=( )
A. 1B. −1C. 2D. − 2
6.已知直线l，m和平面α，β，下列命题正确的是( )
A. 若l/​/α，l/​/β，则α/​/β
B. 若l⊥α，l⊥β，则α/​/β
C. 若l⊥α，l⊥m，则m/​/α
D. 若l⊂α，m⊂α，l/​/β，m//β，则α/​/β
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则直线AB1与BC所成角的余弦值等于( )
A. 22
B. 32
C. 24
D. 0
8.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=c−2acsB.则角A的取值范围是( )
A. (0,π4)B. (0,π6)C. (π6,π4)D. (π4,π3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的为( )
A. 共线的两个单位向量相等
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若AB//CD，则一定有直线AB/​/CD
D. 若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D不一定在同一直线上
10.已知i为虚数单位，复数z1=a−2i，z2=2+ai(a∈R)，下列结论正确的有( )
A. |z1|=|z2|B. z1−=z2
C. 若2(z1+z2)=z1⋅z2，则a=2D. 若z1z2为实数，则a=2
11.为了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 样本的众数为6712
B. 样本的中位数为6623
C. 样本的平均值为66
D. 该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人
12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点Q为B1C1的中点，点N为DD1的中点，则下列结论正确的是( )
A. CQ与BN为异面直线
B. CQ⊥C1D1
C. 直线BN与平面ABCD所成角为30°
D. 三棱锥Q−NBC的体积为23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=3，b=2c，A=2π3，则△ABC的面积为______．
14.已知向量a=(t−2,3)，b=(3,−1)，且(a+2b)//b，则|a|= ______．
15.在复平面内，复数z满足|z|=2，i为虚数单位，则|z−3+4i|的最小值为 ．
16.已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为185，在此基础上获得新数据9，把新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知向量a=(m,3)，b=(3,−n)，若a+2b=(7,1)，求mn的值；
(2)已知向量a=(1, 3)，b=(3,m)且b在a方向上的投影为−3，求向量a与b的夹角．
18.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1．
(Ⅰ)求证：B1C⊥BD1
(Ⅱ)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5]分成9组，制成了如图的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)估计居民月均用水量的中位数；
(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由．
20.(本小题12分)
已知向量a=( 3sinx,csx)，b=(sin(x+π2),csx).设f(x)=a⋅b．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若f(A)=1，b=4，三角形ABC的面积为2 3，求边a的长．
21.(本小题12分)
在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90∘，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
⑴证明：平面ACD⊥平面ABC；
⑵Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA，求三棱锥Q−ABP的体积．
22.(本小题12分)
如图所求，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点．
(1)求证：PC//平面BFD；
(2)已知M点在PD上满足EC/​/平面BFM，求PMMD的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：数据已从小到大排列，共8个数，
8×30%=2.4，
即该组数据的第30百分位数是从左往右第三个数8.3．
故选：D．
利用百分位数定义求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设水的体积为V，圆柱的底面面积为S，水面的高度为h，
由已知V=12×43×π×23=163π，S=π×22=4π，
故水面高度h=16π3÷4π=43．
故选：C．
由球的体积公式求出水的体积，结合圆柱的体积公式求水面高度．
本题考查球和圆柱的体积，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：由z(2−i)=1+bi，
得z=1+bi2−i=(1+bi)(2+i)(2−i)(2+i)=2−b5+(2b+1)5i，
因为z为纯虚数，
所以2−b=02b+1≠0，解得b=2，
所以z=i．
故选：B．
先根据复数的除法运算化简z，再根据纯虚数的定义求出b，即可得解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，
又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，
又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为6、7、8、9、9，
所以平均数为6+7+8+9+95=7.8．
故选：B．
首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得．
本题主要考查平均数公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：AB⋅BC=AB⋅(BA+AC)=−AB2+AB⋅AC=−1，
故选：B．
利用AB⋅BC=AB⋅(BA+AC)=−AB2+AB⋅AC即可求解．
本题考查了平面向量数量积，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
对于A，α与β相交或平行；对于B，由面面平行的判定定理得α/​/β；对于C，m/​/α或m⊂α；对于D，α与β相交或平行．
【解答】
解：直线l，m和平面α，β，
对于A，若l/​/α，l/​/β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α/​/β，故B正确；
对于C，若l⊥α，l⊥m，则m/​/α或m⊂α，故C错误；
对于D，若l⊂α，m⊂α，l/​/β，m//β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：连接AC1，
因为BC/​/B1C1，所以直线AB1与BC所成的角为∠AB1C1或其补角，
设AB=a，易得AB1= 2a，AC1= 2a，B1C1=a，则由余弦定理知，
cs∠AB1C1=AB12+B1C12−AC122AB1⋅B1C1=2a2+a2−2a22 2a ⋅ a= 24．
故选：C．
连接AC1，根据直三棱柱的性质得到直线AB1与BC所成的角即为∠AB1C1或其补角，设AB=a，然后利用余弦定理解求解．
本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：若a=c−2acsB，
则sinA=sinC−2sinAcsB=sin(A+B)−2sinAcsB=sinAcsB+sinBcsA−2sinAcsB=sin(B−A)，
因为A，B为锐角，
所以−π2