2022-2023学年安徽省安庆市、池州市、铜陵三市联考高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市、池州市、铜陵三市联考高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列−3,54,−79,916,⋯的第11项是( )
A. −23121B. 23121C. −21121D. 21121
2.下列运算正确的是( )
A. (2+sinx)′=2+csxB. (2x)′=x⋅2x−1
C. (ln2x)′=1xD. ( 1−x)′=12 1−x
3.已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为y =2x−1，若i=115yi=23，则i=115xi=( )
A. 12B. 19C. 31D. 46
4.随机变量ξ∼N(μ,σ2)，若P(ξ<0)=0.3，P(0<ξ<6)=0.4，则P(3<ξ<6)=( )
A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2
5.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1=AA1=2，AB=4，则AA1与平面BDD1B1所成角的大小为( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 90∘
6.甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放人乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是( )
A. 14B. 1136C. 13D. 512
7.2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作.若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有( )
A. 162种B. 150种C. 120种D. 114种
8.已知a=0.99,b=cs20.1,c=12−cs0.1，则a，b，c的大小关系为( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆C：x2+y2+2x−4y+1=0，下列说法正确的是( )
A. 圆心为(1,2)B. 半径为2
C. 圆C与直线3x+4y+5=0相离D. 圆C被直线x=0所截弦长为2 3
10.关于(2x+1 x)10的展开式，下列结论正确的是( )
A. 二项式系数和为1028B. 所有项的系数之和为310
C. 第6项的二项式系数最大D. 1x2项的系数为360
11.素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步.素描几何体包括：柱体、锥体、球体以及它们的组合体和穿插体.十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体(记为Γ)拼接而成，体现了数学的对称美.已知在如下图的十字穿插体中，AB=BC=2,CC1=4 2，下列说法正确的是( )
A. ED1⊥平面EMN
B. PE与B1D1所成角的余弦值为 63
C. 平面EMN截该十字穿插体的外接球的截面面积为9π
D. 几何体Γ的体积为20 23
12.形如f(x)=ax+bx(a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数f(x)=x+1x的说法正确的是( )
A. 渐近线方程为x=0和y=x
B. y=f(x)的对称轴方程为y=( 2+1)x和y=(1− 2)x
C. M，N是函数f(x)图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值
D. Q是函数f(x)图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A，B两点，则△OAB的面积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知随机变量X的分布列如表，则X的均值E(X)=______.
14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的动直线l与抛物线交于A，B两点，满足|AB|=4的直线l有且仅有一条，则p=______.
15.已知数列{an}满足a1=0，a2=a3=2，an≠−1，且anan+3+an+an+3=1，若bn=[32an](其中[32an]表示不超过32an的最大整数)，则a5=______；数列{bn}前2023项和S2023=______.
16.已知函数f(x)=aex+x+xlnx，若f(x)≥x2恒成立，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在①f(x)=a⋅b，②f(x)=b2a2这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
已知向量a=(sinx+csx,csx−sinx),b=(sinx+csx,sinx+csx)，且满足_____.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=2,a=3 5,b=6 2，求△ABC的面积.
18.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，2Sn=nan+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=1an⋅an+1，记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<14.
19.(本小题12分)
如图1，已知正三棱锥P−ABC,AB=4 3,M,N分别为AB，BC的中点，将其展开得到如图2的平面展开图，其中△P1MN的面积为6 3.在三棱锥P−ABC中，
(1)求证：AB⊥平面PMC；
(2)求平面PAC与平面PMN夹角的余弦值.
20.(本小题12分)
为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联.某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如表2×2列联表：
(1)完成2×2列联表，试根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
(2)用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
21.(本小题12分)
已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F，椭圆上的点到F的最大距离为3，最小距离为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为A，B，在x=4上有一动点P，连接PA，PB分别和椭圆交于C，D两点，△PAB与△PCD的面积分别为S1，S2.是否存在点P，使得S1S2=43，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=e2x+ax−2.
(1)当a=2时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；
(2)已知a≤8时，讨论函数g(x)=f(x)−2ax+a2的零点个数.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：设该数列的第n项为an，
由已知a1=−3,a2=54,a3=−79,a4=916，
变形可得a1=(−1)1×2×1+112,a2=(−1)2×2×2+122,a3=(−1)3×2×3+132,a4=(−1)4×2×4+142，
所以数列{an}的一个通项公式可以是an=(−1)n2n+1n2，
则a11=(−1)112×11+1112=−23121.
故选：A.
由所给数列的前几项归纳数列的通项公式，确定数列的第11项．
本题主要考查了数列的概念和通项公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：(2+sinx)′=csx，故A错误；
(2x)′=2x⋅ln2，故B错误；
(ln2x)′=(ln2+lnx)′=1x，故C正确；
( 1−x)′=−12 1−x，故D错误．
故选：C.
根据求导公式求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为i=115yi=23，所以y−=2315，因为y =2x−1，且过点(x−,y−)，
所以2315=2x−−1，解得x−=1915，则i=115xi=15x−=19.
故选：B.
根据题意，求得y−=2315，结合回归直线方程过样本中心，代入求得x−=1915，即可求解．
本题考查线性回归方程的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由P(ξ<0)=0.3，P(0<ξ<6)=0.4，
可得P(ξ>6)=1−P(0<ξ<6)−P(ξ<0)=0.3=P(ξ<0)，
由对称性可得μ=3，由P(0<ξ<6)=0.4，所以P(3<ξ<6)=12P(0<ξ<6)=0.2.
故选：D.
根据正态曲线的对称性得到μ=3，再结合P(0<ξ<6)=0.4计算可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：将该正四棱台补成正四棱锥P−ABCD，设ABCD的中心为O，如图：
连接PO，设PO∩B1D1=O1，
因为A1B1=AA1=2，AB=4，
所以B1O1=12B1D1= 2，BO=12BD=2 2，
所以B1O1BO=PB1PB=12，
又PB−PB1=BB1=2，
所以PB=4，
由正棱锥的性质可知PO⊥底面ABCD，AO⊂底面ABCD，
所以PO⊥AO，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AO⊥BD，
而PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PDB，
所以AO⊥平面PDB，
则AA1与平面BDD1B1所成角为∠APO，
又PA=PB=4,AO=12AC=2 2，
则在直角三角形PAO中，sin∠APO=AOPA= 22，
又0∘≤∠APO≤90∘，
所以∠APO=45∘.
故选：B.
将该正四棱台补成正四棱锥，利用定义法作出线面角，在直角三角形中求解即可．
本题考查线面角的定义及其求解，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：从甲盒中取出2个红球的概率为C22C42=16，
从甲盒中取出2个黑球的概率为C22C42=16，
从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为C21C21C42=23，
由全概率公式，从乙盒中随机地取出1个红球的概率P=16×16+23×13+16×12=13.
故选：C.
根据题意分别求出从甲盒中取出2个红球的概率，取出2个黑球的概率和取出1个红球1个黑球的概率，然后利用全概率公式可求得结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了全概率公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①先将5人分成三组，要求甲乙不在同一组，
将5人分成三组，其分法有C53+C52C32A22=25种，
其中甲乙同组的分法有C31+C32=6种，
符合甲乙不在同一组的分组方法有25−6=19种，
②将分好的三组再进行分配，安排三项工作，有A33种安排方法．
则共有19×A33=114种不同的安排方案．
故选：D.
根据题意，分2步进行分析：①先将5人分成三组，要求甲乙不在同一组，②将分好的三组再进行分配，安排三项工作，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：方法一：因为a=0.99，b=cs20.1，
所以b−a=cs20.1−0.99=cs20.1+(0.1)2−1，
设f(x)=cs2x+x2−1，x∈(0,1)，
则f′(x)=−2sinxcsx+2x=2x−sin2x
设g(x)=2x−sin2x，则g′(x)=2−2cs2x>0，
则g(x)在(0,1)单调递增，g(x)>g(0)=0，即f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)单调递增，f(x)>f(0)=0，
所以f(0.1)=cs20.1−0.99>0，即b>a.
因为b=cs20.1,c=12−cs0.1，
所以c−b=12−cs0.1−cs20.1，
设m(t)=12−t−t2=1−2t2+t32−t,t∈(0,1)，
设h(t)=1−2t2+t3，h′(t)=−4t+3t2=−t(4−3t)<0，
则h(t)在t∈(0,1)单调递减，h(t)>h(1)=0，则m(t)>0，
记t=cs0.1可得m(0.1)>0，
所以c−b=12−cs0.1−cs20.1>0，
所以b因此有a故选：A.
方法二：因为b=cs20.1=1−sin20.1，又a=0.99=1−0.12，
设φ(x)=x−sinx，x∈(0,1)，
则φ′(x)=1−csx>0，
所以函数φ(x)=x−sinx在(0,1)上单调递增，又φ(0)=0，
所以当x∈(0,1)时，φ(x)=x−sinx>0，故sinx所以sin0.1<0.1，
则b=1−sin20.1>1−0.12=0.99=a.
因为b=cs20.1,c=12−cs0.1，
所以c−b=12−cs0.1−cs20.1，
设m(t)=12−t−t2=1−2t2+t32−t,t∈(0,1)，
设h(t)=1−2t2+t3，h′(t)=−4t+3t2=−t(4−3t)<0，
则h(t)在t∈(0,1)单调递减，
所以当t∈(0,1)时，h(t)>h(1)=0，又2−t>0，
所以当t∈(0,1)时，m(t)>0，
所以m(0.1)>0，
所以c−b=12−cs0.1−cs20.1>0，
所以b因此有a故选：A.
方法一：因为b−a=cs20.1−0.99=cs20.1+(0.1)2−1，故考虑设f(x)=cs2x+x2−1，x∈(0,1)，利用导数研究其单调性，由此比较a，b的大小，因为c−b=12−cs0.1−cs20.1，考虑设m(t)=12−t−t2,t∈(0,1)，利用导数研究函数m(t)的单调性，由此比较b，c的大小，由此确定结论．
方法二：因为b=1−sin20.1，a=1−0.12，构造函数φ(x)=x−sinx，x∈(0,1)，利用导数函数的单调性，由此证明b>a，因为c−b=12−cs0.1−cs20.1，考虑设m(t)=12−t−t2,t∈(0,1)，利用导数研究函数m(t)的单调性，由此比较b，c的大小，由此确定结论．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，难点在于构造适当的函数，属于难题．
9.【答案】BD
【解析】解：将圆C：x2+y2+2x−4y+1=0化为标准方程得(x+1)2+(y−2)2=4，
可知圆心C(−1,2)，半径R=2，故A错误，B正确；
由圆心C(−1,2)到直线3x+4y+5=0的距离d=|−3+4×2+5|5=2，
即R=d，直线与圆相切，故C错误；
圆心C(−1,2)到直线x=0的距离为d1=1，
由圆的弦长公式，可得2 R2−d12=2 22−12=2 3，所以D正确．
故选：BD.
把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：(2x+1 x)10的展开式二项式系数和为210=1024，故A错误；
令x=1，可得(2x+1 x)10中所有项的系数之和为310，故B正确；
(2x+1 x)10的展开式中第6项的二项式系数最大，为C105，故C正确；
(2x+1 x)10的展开式的通项为Tk+1=C10k210−kx10−32k，
令10−32k=−2得k=8，此时T9=C10822x−2，所以1x2项的系数为180，故D错误．
故选：BC.
对于A，由题意得二项式系数和公式求解进行判断；
对于B，令x=1可求得结果；
对于C，由二项式系数的性质进行判断；
对于D，求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为−2，求出k，然后代入通项公式可求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，连接B1D1，D1N，D1E，
由AB=BC=2,CC1=4 2，
可知P，Q，M，N均为棱上的四等分点，E，F为棱上的中点，
因为AB=BC=2,CC1=4 2，
所以B1D1=2 2,B1E=2 2，A1N=3 2，
所以ED1=4,EN= 6,D1N= 22，
所以D1N2=ED12+EN2，故ED1⊥EN，
同理可得ED1⊥EM，又EN∩EM=E，EN，EM⊂平面EMN，
所以ED1⊥平面EMN，故A正确；
对于B，连接EF，则PE与B1D1所成角即为PE与EF所成角，
在△PEF中，PE=PF= 6,EF=2 2，
所以PE与EF所成角的余弦值为12EFPE= 2 6= 33，故B错误；
对于C，该十字穿插体的外接球球心即为长方体ABCD−A1B1C1D1的中心O，
半径R=12 22+22+(4 2)2= 10，
球心O到平面EMN的距离d，即为球心O到长方体侧面的距离，所以d=1，
所以截面圆的半径r= R2−d2=3，所以截面面积为9π，故C正确；
对于D，几何体Γ可取为EQFP−A1B1C1D1，设其体积为x,VP−EFN=4 23，
则2x+2VP−EFN=VABCD−A1B1C1D1=16 2，所以x=20 23，故D正确．
故选：ACD.
对于A，连接B1D1，D1N，D1E，利用已知的数据结合勾股定理逆定理可得ED1⊥EN，ED1⊥EM，然后利用线面垂直的判定可得结论，对于B，PE与B1D1所成角即为PE与EF所成角，在△PEF中求解即可，对于C，求出球心O到平面EMN的距离，从而可求出截面圆的半径，进而可求出面积，对于D，几何体Γ可取为EQFP−A1B1C1D1，设其体积为x，然后利用2x+2VP−EFN=VABCD−A1B1C1D1可求得结果．
本题考查线面垂直的证明，异面直线所成角的求解，截面问题，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于较难题．
对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果．
【解答】
解：因为f(x)=x+1x是双曲线，由图象可知：函数f(x)图象无限接近x=0和y=x，但不相交，
故渐近线为x=0和y=x，故A正确；
因为f(x)=x+1x是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角平分线，且互相垂直，
一条直线的倾斜角为45∘+45∘2=67.5∘，
由二倍角公式可得tan45∘=2tan22.5∘1−(tan22.5∘)2=1，
整理得(tan22.5∘)2+2tan22.5∘−1=0，解得tan22.5∘= 2−1或tan22.5∘=− 2−1(舍去)，
故k1=tan67.5∘=tan(45∘+22.5∘)=1+tan22.5∘1−tan22.5∘= 2+1，
另一条直线的斜率为k2=−1k1=1− 2，故B正确；
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以kMN=y1−y2x1−x2,kOP=y1+y2x1+x2，
故kMN⋅kOP=y12−y22x12−x22=(x1+1x1)2−(x2+1x2)2x12−x22=1−1x12x22，故C错误；
因为f′(x)=1−1x2，
设Q(t,t+1t)，则Q处切线的斜率k=f′(t)=1−1t2，
所以切线方程为y=(1−1t2)(x−t)+t+1t，
令x=0，可得y=(1−1t2)(−t)+t+1t=2t，即A(0,2t)，则|OA|=2|t|；
令y=x=(1−1t2)(x−t)+t+1t=2t，可得x=2t，即B(2t,2t)，则|OB|=2 2|t|；
故△OAB面积为S△OAB=12×2|t|×2 2|t|× 22=2(定值)，故D正确．
故选：ABD.
13.【答案】0.9
【解析】解：由离散型分布列的性质，可得0.1+0.3+m+2m=1，解得m=0.2，
则E(X)=−1×0.1+0×0.3+1×0.2+2×0.4=0.9.
故答案为：0.9.
根据分布列的性质，求得m=0.2，结合期望的计算公式，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)过F的直线为x=my+p2，
与抛物线联立可得，y2−2pmy−p2=0，故y1+y1=2pm.
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=my1+p2+my2+p2+p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p≥2p，
故当|AB|=2p时，动直线有且仅有一条，即2p=4，故p=2.
故答案为：2.
根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
15.【答案】−13 1685
【解析】解：由anan+3+an+an+3=1，得an+3an+6+an+3+an+6=1，
两式相减得(an+3+1)(an−an+6)=0，
∵an≠−1，∴an=an+6，
则数列{an}的周期为6，
又bn=[32an]，∴数列{bn}的周期也为6，
由a1=0，a2=a3=2，an≠−1，且anan+3+an+an+3=1，得a4=1,a5=a6=−13，
则b1=0，b2=b3=3，b4=1，b5=b6=−1，
∴S2023=337×(b1+b2+⋯+b6)+b1=1685.
故答案为：−13，1685.
由anan+3+an+an+3=1，得到an+3an+6+an+3+an+6=1，两式相减得到(an+3+1)(an−an+6)=0，进而得到数列{an}的周期为6，数列{bn}的周期也为6求解．
本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】[1e2,+∞)
【解析】解：由已知不等式f(x)≥x2，可化为aex+x≥x2−xlnx，
两边同时除以x得aexx+1≥x−lnx=lnexx.
令t=exx,x∈(0,+∞)，则t′=exx−exx2，
当0当x>1时，t′>0，函数t=exx在(1,+∞)上单调递增，
所以当x=1时，函数t=exx取最小值，最小值为e，
当x→0时，t→+∞，当x→+∞时，t→+∞，
所以y=exx的范围是[e,+∞),即t≥e.
所以不等式aexx+1≥lnexx可化为at+1≥lnt，其中t≥e，
所以a≥lnt−1t在[e,+∞)上恒成立，
构造函数g(t)=lnt−1t，t∈[e,+∞),
则g′(t)=2−lntt2，令g′(t)=0，可得t=e2，
当e≤t0，函数g(t)在[e,e2)上单调递增，
当t>e2时，g′(t)<0，函数g(t)在(e2,+∞)上单调递减，
所以t=e2时，g(t)取最大值，最大值为1e2，
所以a≥1e2，
所以a的取值范围为[1e2,+∞).
故答案为：[1e2,+∞).
不等式可化为aexx+1≥lnexx，令t=exx,x∈(0,+∞)，可得a≥lnt−1t恒成立，其中t≥e，构造函数g(t)=lnt−1t，t≥e，利用导数求其最大值可得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)若选条件②：
由向量a=(sinx+csx,csx−sinx),b=(sinx+csx,sinx+csx)，
可得b2=(sinx+csx)2+(sinx+csx)2=2sin2x+2，a2=(sinx+csx)2+(csx−sinx)2=2，
所以f(x)=b2a2=sin2x+1，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
若选条件①：
由向量a=(sinx+csx,csx−sinx),b=(sinx+csx,sinx+csx)，
可得f(x)=a⋅b=(sinx+csx)2+cs2x−sin2x=1+sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)+1，
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
(2)选条件①：
由(1)得f(A)= 2sin(2A+π4)+1=2，则sin(2A+π4)= 22，
因为A∈(0,π)，所以2A+π4∈(π4,9π4)，所以2A+π4=3π4，即A=π4，
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
整理得c2−12c+27=0，解得c=3或c=9，
当c=3时，S=12bcsinA=12×6 2×3× 22=9，
当c=9时，S=12bcsinA=12×6 2×9× 22=27，
所以△ABC的面积为9或27.
若选条件②：
由(1)得f(A)=sin2A+1=2，则sin2A=1，
因为A∈(0,π)，所以2A∈(0,2π)，所以2A=π2，即A=π4，
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
整理得c2−12c+27=0，解得c=3或c=9，
当c=3时，S=12bcsinA=12×6 2×3× 22=9，
当c=9时，S=12bcsinA=12×6 2×9× 22=27，
所以△ABC的面积为9或27.
【解析】(1)选条件①，化简得到f(x)= 2sin(2x+π4)+1，即可求得函数f(x)的最小正周期；
选条件②，化简得到f(x)=sin2x+1，即可求得函数f(x)的最小正周期；
(2)选条件①，根据f(A)=2，求得A=π4，利用由余弦定理求得c=3或c=9，结合三角形的面积公式，即可求解；
选条件②：根据f(A)=sin2A+1=2，求得A=π4，利用由余弦定理求得c=3或c=9，结合三角形的面积公式，即可求解；
本题考查解三角形相关知识，属于中档题．
18.【答案】解：(1)依题意，当n≥2时，由2Sn=nan+1，
可得2Sn−1=(n−1)an，
两式相减，可得2an=nan+1−(n−1)an，
化简整理，得nan+1=(n+1)an，
即an+1n+1=ann,(n≥2)，
∵当n=1时，a2=2S1=2a1=2×2=4，
∴a22=2,a11=2，
∴数列{ann}是以2为常数的常数列，
∴ann=2，
∴an=2n，n∈N*.
(2)证明：由(1)可得，
bn=1an⋅an+1=12n⋅2(n+1)=14⋅(1n−1n+1)，
则Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=14⋅(1−12)+14⋅(12−13)+⋅⋅⋅+14⋅(1n−1n+1)
=14⋅(1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1)
=14⋅(1−1n+1)
=14−14(n+1)，
∵n∈N*，∴14(n+1)>0，
∴Tn=14−14(n+1)<14，
故不等式Tn<14对任意n∈N*恒成立．
【解析】(1)依题意，当n≥2时，由2Sn=nan+1，可得2Sn−1=(n−1)an，两式相减进一步推导即可发现数列{ann}是以2为常数的常数列，通过计算数列{ann}的通项公式即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和Tn的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】(1)证明：因为三棱锥P−ABC为正三棱锥，M为AB的中点，
所以AB⊥PM，AB⊥CM，
又PM∩CM=M，PM、CM⊂平面PMC，
所以AB⊥平面PMC.
(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(6,2 3,0),C(0,4 3,0),M(3, 3,0),N(3,3 3,0),P(2,2 3, 5).
所以AP=(2,2 3, 5),AC=(0,4 3,0)，MN=(0,2 3,0),MP=(−1, 3, 5)，
设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅AP=0m⋅AC=0，即2x1+2 3y1+ 5z1=04 3y1=0，
令x1= 5，则y1=0，z1=−2，所以m=( 5,0,−2)，
设平面PMN的法向量为n=(x2,y2,z2)，则n⋅MN=0n⋅MP=0，即2 3y2=0−x2+ 3y2+ 5z2=0，
令x2= 5，则y1=0，z1=1，所以n=( 5,0,1)，
设平面PAC与平面PMN的夹角为θ，则csθ=|m⋅n||m||n|=33× 6= 66，
故平面PAC与平面PMN夹角的余弦值为 66.
【解析】(1)易知AB⊥PM，AB⊥CM，从而有AB⊥平面PMC，得证；
(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC和平面PMN的法向量m与n，设平面PAC与平面PMN的夹角为θ，由csθ=|m⋅n||m|⋅|n|，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理，利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)零假设H0：数学成绩与物理成绩无关联，
补充列联表为：
χ2=100×(20×50−10×20)230×70×40×60≈12.698>10.828.
根据小概率值α=0.001的独立性检验，有充分证据证明推断H0不成立，
故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；
(2)由频率估计概率可得，任取一个学生数学成绩优秀的概率为p=0.4，
设12个学生中数学成绩优秀的人数为ξ，随机变量ξ∼B(12,0.4)，
人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．
设pk=P(ξ=k)=−k，
pkpk−1=−kC12k−10.4k−10.613−k=(13−k)×+5.2−k0.6k，(1≤k≤12且k∈N*)，
当k<5.2时，pk>pk−1，当k>5.2时，pk故k=5时，pk取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．
【解析】(1)根据题意，完成列联表，然后代入计算即可判断；
(2)根据题意，列出不等式，代入计算即可求得pk的最大值，从而得到结果．
本题主要考查独立性检验的应用，属于难题．
21.【答案】解：(1)设椭圆x2a2+y2b2=1的半焦距为c，
因为椭圆上的点到F的最大距离为3，最小距离为1，
所以a+c=3，a−c=1，
又a2=b2+c2，
解得a=2，c=1，b= 3，
故椭圆的标准方程为x24+y23=1；
(2)由(1)可得A(−2,0)，B(2,0)，
假设存在点P(4,t)，使得S1S2=43，
设∠APB=θ，则S1S2=12|PA|⋅|PB|⋅sinθ12|PC|⋅|PD|⋅sinθ=|PA|⋅|PB||PC|⋅|PD|=|PA||PC|⋅|PB||PD|，
设C，D横坐标为xC，xD，
则|PA||PC|=4−(−2)4−xC，|PB||PD|=4−24−xD，
所以S1S2=6×2(4−xC)⋅(4−xD)=43，
整理得(4−xC)⋅(4−xD)=9，①
设P点坐标为(4,t)(t≠0)，直线PA斜率为kPA=t6，PB斜率为kPB=t2，
故kPB=3kPA，设直线PA的斜率为k，
故直线PA方程为y=k(x+2)，直线PB方程为y=3k(x−2)，
将直线PA和椭圆联立x24+y23=1,y=k(x+2),，
可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2−12=0，
由韦达定理可得−2xC=16k2−123+4k2，解得xC=6−8k23+4k2，
将直线PB和椭圆联立x24+y23=1,y=3k(x−2),，
可得(1+12k2)x2−48k2x+48k2−4=0，
由韦达定理可得2xD=48k2−41+12k2，
解得xD=24k2−21+12k2，
将C，D横坐标代入①式可得，(4−6−8k23+4k2)⋅(4−24k2−21+12k2)=9，
整理得(24k2+6)2(3+4k2)(1+12k2)=9，
化简得(4k2−1)2=0，解得k2=14，即k=±12，
当k=12时，直线PA的方程为y=12(x+2)，
代入点P(4,t)可得t=3，即点P的坐标为(4,3)，
当k=−12时，直线PA的方程为y=−12(x+2)，
代入点P(4,t)可得t=−3，即点P的坐标为(4,−3)，
故P点坐标为(4,3)或(4,−3).
【解析】(1)由条件列方程求a，b，c，可得椭圆方程；
(2)设C，D横坐标为xC，xD，结合三角形面积公式可得S1S2=43可化为(4−xC)⋅(4−xD)=9，再证明kPB=3kPA，设直线PA的斜率为k，分别联立PA，PB与椭圆方程求xC，xD，由此计算k，由此可求P的坐标．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=e2x+2x−2，f′(x)=2e2x+2，则切线斜率k=f′(0)=4，切点为(0,−1)，
所以切线方程为y+1=4(x−0)，即4x−y−1=0.
(2)函数g(x)=e2x−ax+a2−2的定义域为R，求导得g′(x)=2e2x−a，
①当a≤0时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，而g(0)=a2−1<0,g(1)=e2−a2−2>0，
因此函数g(x)有一个零点；
②当0当x>12lna2时，g′(x)>0，则g(x)在(−∞,12lna2)上单调递减，在(12lna2,+∞)上单调递增，
g(x)min=g(12lna2)=a−a2lna2−2，令m=min{0,12lna2}(min{0,12lna2}表示0,12lna2中最小值)
当x∈(−∞,m)时，0因此函数g(x)在(−∞,12lna2)上的取值集合为(a−a2lna2−2,+∞)，
令φ(x)=ex−x2，x>1，求导得φ′(x)=ex−2x，令u(x)=φ′(x)=ex−2x，x>1，
则u′(x)=ex−2>0，即函数φ′(x)在(1,+∞)上单调递增，φ′(x)>φ′(1)=e−2>0，
函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增，φ(x)>φ(1)=e−1>0，即有ex>x2(x>1)，
当x>1时，g(x)=e2x−ax+a2−2≥e2x−8x+2>(2x)2−8x+2，
函数y=4x2−8x+2在(1,+∞)上单调递增，函数值集合为(−2,+∞)，而12lna2≤12ln82=ln2<1，
因此函数g(x)在(12lna2,+∞)上的取值集合为(a−a2lna2−2,+∞)，
设h(x)=x−x2lnx2−2,0则h(2)=0,h′(x)=12(1−lnx2),h′(2e)=0，当00，h(x)在(0,2e)单调递增，
当2e0，
即当a∈(0,2)时，g(x)min<0，则g(x)有两个零点；
当a=2时，g(x)min=0，则g(x)有一个零点；
当a∈(2,8]时，g(x)min>0，则g(x)没有零点．
所以当a∈(2,8]时，零点个数为0；
当a∈(−∞,0]∪{2}时，零点个数为1；
当a∈(0,2)时，零点个数为2.
【解析】(1)把a=2代入，求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答．
(2)求出函数g(x)及其导数，利用导数分类讨论g(x)的单调性，最值，结合零点存在性定理推理判断作答．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．X
−1
0
1
2
P
0.1
0.3
m
2m
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
20
20
_____
不优秀
10
50
_____
合计
_____
_____
_____
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
20
20
40
不优秀
10
50
60
合计
30
70
100