浙江省台州市临海市八年级2022-2023学年下学期期末数学试题

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1．全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸上，写在试题卷、草稿纸上无效．
3．答题前须认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下面各式是最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A选项：＝2，故不是；
B选项：＝，故不是；
C选项：＝3，故不是；
D选项：是最简二次根式.
故选D.
【点睛】考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
【答案】B
【解析】
【分析】当一个三角形中的三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：，∴A选项不符合题意；
∵ ，∴B选项符合题意；
∵，∴C选项不符合题意；
∵，∴D选项不符合题意；
故选B
3. 如图，在中，，是的中点，，则的长为（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：在中，，D是斜边的中点，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．
4. 为迎接2023年杭州亚运会，某高校选拔若干名学生参加开幕式，要求身高比较整齐．假设该高校全体学生身高的方差是，选拔出的这部分学生身高的方差是，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D. 无法比较
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：要求身高比较整齐，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的意义及运算法则，逐一判断．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了根据二次根式的意义与化简．二次根式规律总结：当时，，当时，．
6. 若函数的图象上有两点，，则下列说法正确的是（ ）
A B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
【详解】解：函数中，，
随的增大而增大，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，），当时， 随的增大而增大，当时， 随的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7. 将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，即可得答案．
【详解】解：如图，
由折叠的性质得：，
，

∵四边形是平行四边形
∴，
，
在中
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8. 如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部．现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】解：由题意可知，
当铁块露出水面以前，，浮力不变，
故此过程中弹簧的读数不变；
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
故此过程中弹簧的读数增大；
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故此过程中弹簧的读数不变，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
9. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（ ）

A. 8B. 9C. 12D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】连接，由勾股定理得，代入a，b，c，d整理可得答案．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知：，，，，

在和中，
∵，即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
10. 如图，直线：经过点，直线：经过点，直线，的交点在第四象限，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图像，分类讨论，当时，，的函数值的情况；当时，，的函数值的情况；当时，，，的函数值的情况；由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，当时，直线：的函数值大于零，即；直线：的函数值小于零，即；
∴，
当时，直线：的函数值小于零，即；直线：的函数值小于零，即；
∴，
当时，直线：的函数值小于零，即；直线：的函数值小于零，即；
∴，
综上所述，当或时，，
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握一次函数图像与坐标轴的交点判定函数值的情况是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 二次根式有意义的条件是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数．
12. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．
【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为“两直线平行，同位角相等”．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键．
13. 在□ABCD中，∠A 80°，则∠C=__________________．
【答案】80°
【解析】
【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=80°.
故答案为80°.
【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键.
14. 四分位数能更全面地反映数据的分布特征．我们把一组数据按从小到大排序，可求得中位数，在小于和大于的这两部分数据中，再分别求得它们各自的中位数和．由于把这组从小到大排列后的数据分成四部分，因此它们统称为这组数据的四分位数，我们称，，分别为这组数据的第一、二、三四分位数．则数据：，，，，，，，，的第一四分位数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据中位数的计算方法先求出的值，找出小于部分的数，再根据中位数的计算方法即可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：将数据：，，，，，，，，从小到大排序为：，，，，， ，，，，
∴中位数，
∴小于部分的数据是，，，，
∴这部分的中位数，
∴第一四分位数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查中位数的计算，定义新运算的综合，理解定义新运算的计算方法，掌握中位数的计算方法是解题的关键．
15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”其大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长8尺，则绳索长______尺．
【答案】
【解析】
【分析】设尺，则尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
，
是直角三角形，
，
，
解得：，
绳索长尺，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16. 如图，有一种正方形地砖，它的图案是由四个全等的三角形和一个四边形构成，经测量，中间四边形较小的锐角为．设四边形面积为，正方形的面积为，则______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可证四边形是菱形，设，，在中可求出，用含的式子分别表示出，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，四边形是正方形，，，连接，交于点，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
∴点四点共线，
∴线段是正方形的对角线，则点是对角线的交点，
∵，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，，设，，
∴，且，，
在中，，
∴，即，
∴，且，
∴在中，，
∴四边形的面积，正方形的面积，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，菱形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（第17~20题，每题8分，第21题10分，第22~23题，每题12分，第24题14分，共80分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质和二次根式的除法法则化简，再算加减即可．
【详解】
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
18. 如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题：

（1）求整齐叠放在桌面上碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式；
（2）当碗的数量为个时，这摞碗的高度是多少？
【答案】（1）
（2）高度是
【解析】
【分析】（1）根据表格信息可知碗的数量与高度成正比例关系，设碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式，把表格中的数据代入计算即可求解；
（2）把代入（1）中解析式即可求解．
【小问1详解】
解：根据表格中信息可知，碗的数量（个）增加，高度也在增加，即成正比例关系，
∴设碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式，
把，，，代入解析式得，
，解得，，
∴解析式为，
验证，当时，；当时，；与表格中数据一致，
∴碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式．
【小问2详解】
解：由（1）可知碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式，
∴当时，，
∴当碗的数量为个时，这摞碗的高度是．
【点睛】本题主要考查正比例函数在实际问题中的运用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
19. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为．

（1）在图1中作一个以，，，为顶点的平行四边形，使点落在格点上；
（2）在图2中，连接，，仅用无刻度的直尺作边上的中线．（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，分类讨论：①如图所示，连接，以为边；②如图所示，连接，以为边；③如图所示，连接，以为对角线；④如图所示，连接，以为对角线；⑤如图所示，以为对角线，求解即可；
（2）根据平行四边形的性质“对角线相互平分”，由此即可求解．
小问1详解】
解：①如图所示，连接，以为边，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴点为所求 点的位置，四边形是平行四边形；
②如图所示，连接，以为边，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴点不在规定范围的格点上，不符合题意；
③如图所示，连接，以为对角线，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，与上述②的情况相同，

∴点不在规定范围的格点上，不符合题意；
④如图所示，连接，以为对角线，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，与上述①的情况相同，

∴点为所求 点的位置，四边形是平行四边形；
⑤如图所示，以为对角线，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴点不在规定范围的格点上，不符合题意；
综上所述，以为边（第①种作图）或以为对角线（第④种作图）作图，可得以，，，为顶点的平行四边形，点落在格点上．
【小问2详解】
解：如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，

∴四边形是平行四边形，连接，与交于点，
∴点是的中点，
∴是边的中线．
【点睛】本题主要考查平行四边形的作图，性质和判定，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：经过点，且与直线：交于点．

（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）过点作轴的垂线，与直线、分别交于、两点．当时，求的值．
【答案】（1），直线的函数解析式为
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设，表示出P、Q坐标，根据构建方程求解即可．
【小问1详解】
点在直线上，
，
∴直线
点直线上，
，
解得：
，
∵在：上，
，
解得：，
，直线的函数解析式为；
【小问2详解】
∵过点作轴的垂线，与直线、分别交于、两点，
，，
，
解得：或．
【点睛】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且表示出点、两点坐标是解决本题的关键．
21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：

试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，_______
求证：_______

证明：
【答案】见详解
【解析】
【分析】把命题的结论作为求证的内容，延长至，使，连接，通过证明和证明四边形是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
【详解】已知：如图，在中，、分别为边、的中点
求证：且

证明：延长至，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
，，
，．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的证明，掌握等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
22. 据健康标准要求，初中生每天睡眠时间应达到9小时．某学校通过作业改革来增加学生的睡眠时间．在作业改革前、后分别抽取80名学生进行问卷调查，了解学生每天的睡眠情况，将收集的数据制成如下统计图表：
作业改革前睡眠时间分组统计表

根据以上信息，回答下列问题：
（1）作业改革前，被抽取的学生平均每天睡眠时间的中位数落在第______组．请补全作业改革后睡眠时间分组直方图．
（2）该校共有2000名学生，请估计改革前该校学生睡眠时间符合要求的人数．
（3）你认为该校作业改革的效果如何？请利用统计知识说明理由．
【答案】（1）二，图见详解
（2）700 （3）该校作业改革的效果较好，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义可得答案；
（2）由学校总人数乘该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【小问1详解】
把这80名学生平均每天睡眠时间从小到大排列，排在第40和第41的两个数均在第二组，
故抽取的这80名学生平均每天睡眠时间的中位数落在二组；
改革后第四组的人数：
图如下：

故答案为：二；
【小问2详解】
该校学生中睡眠时间符合要求的人数为（人；
答：估计改革前该校学生中睡眠时间符合要求的人数大约为700人；
【小问3详解】
作业改革后学生平均每天睡眠时间符合要求的人数占多数，说明该校作业改革的效果较好．（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了统计图有关知识，解题的关键是仔细地审题，从图中找到进一步解题的信息．
23. 如图1，在菱形中，是边上的一点，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点．
（1）判断：______；（用“”，“”，“”填空）
（2）猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，交于点，连接并延长，交于点．求证：四边形是矩形．
【答案】（1）
（2），理由见详解
（3）证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质，可得，，根据，可得，由此即可求解；
（2）根据是的外角，可得，根据，可得，根据菱形的性质，可得，通过等量代换可得，由此即可解；
（3）如图所示，连接，根据菱形的性质可得是线段的垂直平分线，根据，可证，是等腰三角形，根据也是等腰三角形，可得是的垂直平分线，根据三个角是直角的四边形是矩形，由此即可求证．
【小问1详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，即，
由（1）可知，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，即
∴．
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，则，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，且，即是等腰三角形，
由（2）可知，，即是等腰三角形，且点三点共线，
∴是的垂直平分线，即，
∴，且，，
∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
24. 如图1，有甲、乙两个圆柱体容器，高度均为，底面积分别为和．现以的速度同时往两容器中注水（注水前两容器是空的）．在整个注水过程中，设注水时间为（单位：），记甲的水位高度为（单位：），乙的水位高度为（单位：），设．

（1）当注水时，求的值．
（2）注水后，乙容器的注水速度保持不变；甲容器的注水速度先增加（单位：），注水后，再增加．直到有一个容器注满水时，停止向两容器注水．已知关于的部分函数图像如图2所示，其中平行于轴，点在轴上．
①求的值；
②求线段所在直线的解析式．
（3）当为何值时，两个容器中的水面高度相差？
【答案】（1）的值为
（2）①；②线段所在直线的解析式为
（3）当或时，两个容器中的水面高度相差
【解析】
【分析】（1）根据题意可算出的注水量，根据底面积乘以高可算出甲、乙注水高度，由此即可求解；
（2）①根据函数图像可知当时，的值不变，可算出乙容器的注水高度，由此可求出甲容器的注水量及高度，根据即可求解；②根据甲的注水量及不变的情况可求点的坐标，在根据甲容器、乙容器注水的情况可求出点的坐标，设一次函数解析式为，由此即可求解；
（3）分类讨论，当时，分别算出，；当时，把代入解析式；由此即可求解．
【小问1详解】
解：以的速度同时往两容器中注水，注水，
∴注水量为，
∵甲容器的底面积为，乙容器的底面积为，
∴甲容器：，解得，，乙容器：，解得，，
∴，
∴的值为．
【小问2详解】
解：①由（1）可知，，从图像可知，当时，的值不变，注水后，乙容器的注水速度保持不变，注水时间为，
∴乙容器的水量为，，
∴，解得，，
∴，即，解得，；
②当时间为时，甲容器的注水量为，即，乙容器的注水量为，
∴甲容器还需要注水，乙容器还需要注水，
∴乙容器所需时间为，
∵注水后，甲容器的注水速度再增加，
∴甲容器的注水度数为，
∴甲容器所需时间为，
∴点的横坐标为，即，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴线段所在直线的解析式为．
【小问3详解】
解：当时，，，
∴，解得，；
当时，，
∴，解得，；
综上所述，当或时，两个容器中的水面高度相差．
【点睛】本题主要考查函数与时间问题的综合，理解题设中的数量关系，函数图像的意义，掌握函数图像中横、纵坐标表示的函数，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．碗的数量（个）
高度
组别
睡眠时间分组
人数（频数）
22
30
16
12