浙江省宁波市镇海区八年级2022-2023学年下学期期末数学试题

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1．全卷共三个大题，24个小题．满分为150分，考试时间为120分钟．
2．请将学校、姓名、班级填写在答题卡的规定位置上．
3．请在答题卡的规定区域作答，在试卷上作答或超出答题卡的规定区域作答无效．
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．是最简二次根式，所以此选项正确；
B．，所以此选项错误；
C．，所以此选项错误；
D．＝3，所以此选项错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2. 方程的两根分别为【 】
A. ＝－1，＝2B. ＝1，＝2C. ＝―l，＝－2D. ＝1，＝－2
【答案】D
【解析】
【详解】（x－1）（x＋2）=0，可化为：x－1=0或x＋2=0，解得：x1=1，x2=－2．故选D
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4. 某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了跳绳测验，班平均分和方差分别为个，个；，，那么成绩较为整齐的是（ ）
A. 甲班B. 乙班C. 两班一样整齐D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的意义知，平均数相同，方差越小，波动性越小，据此即可作答．
【详解】∵平均数相同，，
∴成绩较为整齐的是乙班．
故选：B．
【点睛】本题考查方差的意义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 四个角相等的四边形是矩形D. 四边相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例．
【详解】解：A、有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如梯形，故此命题为假命题，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此命题为假命题，不符合题意；
C、四个角相等的四边形是矩形，故此命题为真命题，符合题意；
D、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此命题为假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解决本题的关键是要熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
6. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是七边形，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
7. 已知点，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：，
∴图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
8. 用反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设（ ）
A. 四个内角都小于B. 至少有一个内角不大于
C. 至多有一个内角大于D. 至多有一个内角不大于
【答案】A
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设四个内角都小于．
故选：A．
【点睛】本题考查反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．掌握反证法的一般步骤是解题的关键．
9. 如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像开口方向，对称轴位置，二次函数的图像与轴交点位置判断A，根据二次函数的图像与轴交点个数可得，从而判断B，由可得点坐标为，从而判断C和D．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，
∴，
∵二次函数的图像的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵二次函数的图像与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴有个交点，
∴，
∴，故B选项不符合题意；
∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，，
∵，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，故D选项符合题意；
∵，
∴，
即，故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，函数图像上点的坐标特殊．解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
10. 如图，为等腰直角三角形，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ）

A. B. C. 四边形D. 四边形
【答案】A
【解析】
【分析】先作出辅助线，利用等腰直角三角形的性质转化角的数量关系得出即可求解．
【详解】如图，连接，，
∵三角形是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，

∴，，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和折叠，解题关键是掌握等腰三角形的两个底角是和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠前后的对应边相等，对应角相等．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
【详解】解：代数式有意义，


故答案为：
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式，即可得出关于的方程，解之即可求出的值．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，，
∴的值是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13. 小恒同学对6月1日至7日的最高气温进行统计分析制作成统计图（如图所示），则这七天最高气温的众数是______，中位数是______．

【答案】 ①. 33 ②. 27
【解析】
【分析】结合折线统计图，根据中位数、众数的定义判断即可，众数是指出现次数最多的数据．
【详解】解：将6月1日至7日的最高气温按从小到大的顺序排列，
可得，，，，，，，
∴中位数为，
在这组数据中，33℃出现的次数最多，
∴众数为，
故答案为：33，27．
【点睛】本题考查折线统计图、中位数、众数，熟练掌握中位数、众数的概念是解答本题的关键．
14. 如图，在中，，分别是，的中点，，平分，交于点．若，则的长度是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据题意求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，进而求出．
【详解】解：∵，分别是，的中点，，
∴是中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴的长度是．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边．熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴，与反比例函数的图象交于点，点，在轴上．若四边形是正方形，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】设点A的坐标为，即可表示出点B的坐标为，根据正方形的性质可得，进而可得关于m的方程，解方程求出m即得答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵轴，
∴点B的坐标为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：，负值已舍去，
∴点A的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和正方形的性质，熟知函数图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
16. 如图，将矩形绕点旋转至矩形，其对角线交点落在边上，连接，，点到直线的距离为9，则______；______．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】连接，，作，取中点，可求，从而可求， ，，设，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，作，取中点，
∵为中点，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
由旋转得：，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
，
．
故答案：，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等，掌握相关的性质及定理是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分80分，计算或解答要求过程完整）
17. 化简或计算：
（1）
（2）
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算，即可求解；
（2）根据平方差公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；
（2）利用求根公式法解方程．
【小问1详解】
解：，
，
，
开方得：，
∴，；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解．掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
19. 某校为加强学生劳动教育，需要制定学生每周劳动时间的合格标准，随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将各类的人数绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）被抽查的学生人数为______人，将条形统计图补充完整；
（2）该校名学生中，家庭劳动时间为小时及以上的估计有多少人？
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准，并用统计量说明其合理性．
【答案】（1），作图见解析
（2）
（3）标准可以定为小时，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由图形中B组的人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其它人数可得C组的人数，再将图形补充完整即可；
（2）根据家庭劳动时间为小时及以上的人数所占的比例乘以即可；
（3）根据中位数所在范围，找一合格标准．
【小问1详解】
解：（人），
∴C组的人数为（人），
补全统计图如图所示：
故答案为：．
【小问2详解】
（人）
∴家庭劳动时间为3小时及以上的估计有人．
【小问3详解】
从中位数范围或频数看，标准可以定为小时，
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在范围内，把标准定为小时，至少有半数以上的学生目前能达标，同时有少部分的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数，掌握两个统计图中数量之间的关系，理解中位数的意义是解题的前提．
20. 如图，二次函数的图象经过点，．

（1）求，的值；
（2）结合图象，求当时的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1），
（2）
（3）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位；
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由（1）得出抛物线解析式，在求出抛物线与轴的交点，结合图象求出的取值范围；
（3）先确定顶点坐标，再利用点和顶点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，
解得，
，；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线解析式为，
令，则，
解得或，
当时的取值范围为；
【小问3详解】
解：，
抛物线顶点为，
，
将抛物线顶点先向左平移2单位长度，再行下平移4个单位长度得到，
平移后抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标转化为解方程．也考查了二次函数的性质、二次函数图形与几何变换．
21. 图1，图2，图3是由边长为1且有一个内角为的菱形构成的网格，，是格点．只用不含刻度的直尺按以下要求画图，并保留画图痕迹．

（1）在图1中画出线段关于点的中心对称图形；
（2）在图2中画一个以为一边的矩形（，为格点），并写出矩形的面积；
（3）在图3中以为一边的作一个矩形（，不一定为格点），使其面积为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一个点关于某个点的对称点的方法分别找出点和点关于点的对称点、，连接，则线段就是线段关于点的中心对称图形；
（2）用菱形较短的对角线作矩形的另一边，使、均为格点，顺次连接得到符合要求的矩形，再根据求矩形面积的方法求出面积即可；
（3）根据已知矩形的面积和边的长求出邻边的长，然后找出两个菱形对角线的交点就是符合要求的点和，再连接、和就是符合要求的矩形．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：面积（答案不唯一）
【小问3详解】
解：
【点睛】本题考查了几何变换综合题，主要考查中心对称，菱形的性质，矩形的判断和性质以及尺规作图，深入理解题意是解决问题的关键．
22. 招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式；
（3）当每把扇子定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是，得到，求出的值即可；
（2）设每把扇子降价元，则每把扇子的利润为元，扇子销售量为把，根据：利润＝（售价-进价）×销售量，可求出商店利润关于的函数关系式；
（3）由，即可解决问题．
【小问1详解】
解：设游客人数的平均日增长率为，
由题意得：，
解得：，（负值不符合题意，舍去），
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为；
【小问2详解】
设每把扇子降价元，
根据题意得：，
∴商店利润关于的函数关系式为；
【小问3详解】
∵，
又∵，
∴，
∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元，
此时商品定价为：（元），
∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的应用，平方的非负性的应用．解题的关键是由题意列出关于平均日增长率的方程；商店利润关于的函数关系式．
23. 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．

基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，由平行线的判定可得，即可得证；
（2）如图2，作于，根据勾股定理可得，根据三角形的面积公式可得，可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质得到，由等腰三角形的三线合一性质可得，最后由可得答案；
（3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：如图2，作于，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．

（3）如图3，延长与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在菱形中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数的．
【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 如图1，在正方形中，为对角线上一点（），点，关于直线对称，过点作的垂线，分别交，于点，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，连接并延长与的延长线交于点，连接．若已知，设，用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质得，再得出，又，从而，进而可证结论成立；
（2）设，则，，利用勾股定理求出x的值，然后得出的长即可；
（3）先计算出，作于点P，作于点N，证，求出和，然后得出的面积为的表达式，最后利用配方法求出最大值即可．
【小问1详解】
∵点，关于对称，
∴，
∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
设，∵，
∴，
在正方形中，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【小问3详解】
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
作于，于，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设的面积为，
则
，
当时，的最大值为．即面积的最大值为
【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理等知识是解题的关键．关于某校学生每周劳动时间的调查问卷
你每周参加劳动时间（单位：小时）大约是（ ）
A． B． C． D．