陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（理科）试题及答案

这是一份陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（理科）试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若集合 ，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则=（ ）
A．B．2C．D．3
3．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
5．已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．-2B．2C．D．
7．设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（ ）
A．2B．C．3D．
8．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A．28B．20C．18D．12
9．已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
10．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知向量，且，则 .
14．已知锐角满足，，则 .
15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示)
16．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题
17．清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：
(1)根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；
(2)能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
18．在中，内角的对边分别为，，，．
(1)证明：；
(2)若，当A取最大值时，求的面积．
19．如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为等边三角形，，，D为PA的中点．
(1)求证：；
(2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于 、 两点，直线与椭圆相交于 、 两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．
21．已知函数．
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)若（）是的两个极值点，证明：．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB的长度．
23．已知，函数的最小值为2，证明：
(1)；
(2)．
回老家
不回老家
总计
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
40
总计
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．B
【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
2．A
【分析】
利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可.
【详解】，则.
故选：A.
3．C
【分析】
求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.
【详解】
这九个数字中任取两个，有种取法，
和为质数有，共14种情况，
因此所求概率为.
故选：C.
4．B
【分析】
根据圆柱体积公式可求得，代入圆柱侧面积公式即可求得结果.
【详解】
设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；
设体积扩大倍后的底面半径为，则，，
其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.
故选：B.
5．C
【分析】
由圆的垂径定理得，利用勾股关系求得，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.
【详解】
因为中点为P，所以，又，所以，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.
故选：C.
6．C
【分析】因为函数为奇函数，所以从而求解.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，且时，
所以，故C项正确.
故选：C.
7．A
【分析】
先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．
【详解】依题意有，则为等边三角形，
又轴，所以．
故选：A．
8．A
【分析】
由等比数列的通项公式求出，再由等比数列的前项和公式代入化简即可得出答案.
【详解】根据题意得，，解得或（舍），
则.
故选：A.
9．A
【分析】
由可得函数的图象关于对称，由正弦型函数的对称性列方程求的最小值.
【详解】
由已知可得，
即，
所以关于对称，
故，，
所以，又，
所以时，取最小值为．
故选：A．
10．A
【分析】
根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.
【详解】
由，得，
令，，则
，
所以在上恒成立，
所以在上为减函数，
因为，且在上单调性递增；
所以，
所以，
所以，
所以，即．
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可.
11．D
【分析】根据正棱锥的性质得出球心的位置，进而构造相似三角形，根据相似三角形得出球的半径，以及四棱锥的高，即可得出答案.
【详解】
根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上，
设球心为O，在平面ABCD内的射影为H，，
取M为BC中点，则，且.
作于E，设球的半径为r，
则，，，.
因为，，
所以，
所以，
即，整理可得.
连接，则，
所以.
因为平面，所以即为直线PA与平面ABCD所成的角，
所以，PA与平面ABCD所成角的正切值为.
故选：D．
【点睛】思路点睛：根据正棱锥的性质得出球心的位置以及棱锥的高，过球心向棱锥的斜高作垂线，构造相似三角形，根据比例关系，即可得出半径与高的关系.
12．C
【分析】
设出直线l的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率.
【详解】
设，，直线l的方程为，其中，
联立得．
∴，，
由，得，即，
∴，即，
∴，整理得，
∴离心率．
故选：C．
13．
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，，所以，又，
所以，解得，所以，故.
故答案为：.
14．/
【分析】
利用同角三角函数关系可求得，代入两角和差余弦公式即可.
【详解】
均为锐角，，，
.
故答案为：.
15．
【分析】
从图（1）、图（2）、图（3）、…的个数之和找到对应的数字规律.
【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；
第2个图中有11个化学键和10个原子；
第3个图中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.
故答案为：
16．
【分析】
问题转化为对任意恒成立即可求解.
【详解】
，
即，对恒成立，令，
当时，
，
，故符合题意，
当时，，，在上，不合题意，故．
故答案为：
17．(1)列联表见解析；所求概率为
(2)有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关
【分析】
（1）根据已知数据补全列联表后，由古典概型概率公式计算概率；
（2）计算出后可得结论．
【详解】（1）补全表格如下：
该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；
（2）∵，
∴有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据题意结合三角恒等变换整理得，再利用正、余弦定理边化角分析运算；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可得A取最大值时，，，进而可求三角形的面积.
【详解】（1）∵，则，
可得，
∴，
又∵，则，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得.
（2）由（1）可得：，即，
则，
当且仅当，即时，取最大值，
此时，则，
∵，则，可得，
故．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取AC中点E，连接DE，BE，得，由面面垂直性质得线面垂直，从而得线线垂直，再由平行线性质得，从而得证线面垂直后证得题设结论线线垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．
【详解】（1）证明：如图，取AC中点E，连接DE，BE，∵为等边三角形，∴，
又侧面底面ABC，底面ABC，侧面底面，∴平面PAC．
∵平面PAC，∴，
又D，E分别为PA，AC中点，∴，又，∴，
∵，DE，平面BDE，∴平面BDE，又平面BDE，
∴；
（2）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边的边长为4，
∴，，，，，
∴，，，
设平面PBC的法向量为，则，即，则可取，
∴，∴直线BD与平面PBC所成角的正弦值为．
20．(1).
(2)直线过定点，证明见解析.
【分析】
(1)根据椭圆过点及离心率为，列方程组求解；
(2) 将直线方程与椭圆方程联立得到二次方程，用韦达定理表示出中点、的坐标，由对称性可知直线所过x轴上的定点，由三点共线列出方程可解出为定值.
【详解】（1）设点，的坐标分别为、，
由题意有解得故椭圆的标准方程为；
（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，
设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
联立方程消除后有，有，可得，，
同理，，
由对称性可知直线所过的定点必定在 轴上，设点的坐标为，
有，有，化简得，解得，
故直线过定点．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）求导，得切点处的导数值，根据点斜式即可求解切线方程；
（2）根据极值点的定义，可得方程的两个根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成，构造函数，结合导数证明即可.
【详解】（1）
当时，，则，，，
所以在处的切线方程为,即；
（2）
证明：由，可知，
因为（）是的极值点,所以方程的两个不等的正实数根，
所以，，
则
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，即证，
设，则，即证，
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
22．(1)曲线；曲线
(2)
【分析】
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，进而化为极坐标方程即可；
（2）直线过原点，所以化为极坐标方程后与曲线，的极坐标方程联立，利用的几何意义求解即可.
【详解】（1）曲线（为参数），消去参数得，
将代入，得曲线的极坐标方程为，
由得，∴，
∴曲线的直角坐标方程为；
（2）易知直线l的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程
得，，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，得到的最小值为，进而化简得到，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）证明：由于，则，
当且仅当取等号，故的最小值为，
所以，
当且仅当，时取等号.
（2）解：由（1）知，所以，
所以，当且仅当，即时取等号．
回老家
不回老家
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100